追求数学教育的本来面目(章建跃)

• 数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴 上的点一一对应（存在性、唯一性）。 • 这样要求的意义：等价性，将问题转化后 所得到的结论就是原问题的结过——需要 学生逐渐体会。 • 在这样的要求下，明确规定原点、方向和 单位长度“三要素”是必须而且自然的。
数轴的“三要素”与实数集的“三要素” • 原点 0（原点和0的“基准”作用） • 单位长度 1（“单位”的“标准”作用 ） • 方向 符号（“方向”、“长度”是标记 “空间位置差别”的两个要素。数轴的方 向“左”“右”，具有“相反意义”，对 应于负数、正数。 • 教学重点是：体会数轴的三要素；体会用 数轴上的点表示数的合理性。
4．小结、布置作业 • 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请 学生回答以下问题： （1）本节课学了哪些主要内容？ （2）数轴的“三要素”各指什么？它们各起什么 作用？ （3）你能举出引进数轴概念的一个好处吗？ • 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内 容，掌握本节课的核心——数轴“三要素”，感 受通过数轴把数与形结合起来的好处． • 布置作业： 教科书练习第3题，习题1.2第2题．
• 李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不 是玩技巧．技巧不足道也！ • 数学是思维的科学，概念是思维的细胞 ——概念不理解，其他一切都免谈。因 此，概念教学是最基本也是最重要的。
（3）概念Байду номын сангаас学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学概 念中的数学家的思维打开，以典型丰富的 实例为载体，引导学生展开观察、分析各 事例的属性、抽象概括共同本质属性，归 纳得出数学概念。
（1）当前概念教学的问题 • 概念教学走过场，常常采用“一个定义， 三项注意”的方式，在概念的背景引入上 着墨不够，没有给学生提供充分的概括本 质特征的机会。 • 以解题教学代替概念教学，学生在数学上 耗费大量时间、精力，结果可能是对数学 的内容、方法和意义知之甚少． • 有些老师不知如何教概念．
（2）教概念的意义
• 理解数学，理解学生，理解教学。 • “三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识； 中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学 生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解 释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识； 等。特别是，“内容所反映的数学思想方法”的 理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。
(四)教学过程设计 1．问题情境下的三次概括 • 问题1 在一条东西向的马路上，有一个汽 车站牌，汽车站牌往东3ｍ和7.5m处分别有 一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和 4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试 画图表示这一情境． • 师生活动： 学生小组讨论解决问题的方法， 学生板演．
学生画图后提问： （1）马路可以用什么几何图形代表？（直线） （2）你认为站牌起什么作用？（基准点） （3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？ （方向，与站牌的距离） • 设计意图：“三要素”为定向，用直线、点、方 向、距离等几何符号表示实际问题．这是实际问 题的第一次数学抽象． • 说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示．有 不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪 个更方便．
（4）上述方法表示了这些树、电线杆与 汽车站牌的相对位置关系．例如，－4.8表 示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆．你 能自己再举个例子吗？ 设计意图：继续以“三要素”为定向，将 点用数表示，实现第二次抽象，为定义数 轴概念提供直观基础．
• 问题3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度 计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什 么数学知识？ • 教师可以先解释0度的含义（冰水混合物的温度规 定为0度——温度的基准点）． • 设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、 负数的作用．引导学生用“三要素”表达，为定 义数轴概念提供又一个直观基础．
数学教学目标系统
• 教育方针：学校一切学科的目标。 • 课程目标： ——宏观目标，要付出大量时间和精力， 经过长期努力才能实现的学习结果；包含 多方面的、更为具体的目标。 ——由课程专家制定。 ——用“总体目标+学段目标”的方式呈现 。
• 单元目标： ——中观目标，用于计划需要几周或几个 月的时间学习的单元，是课程目标的具体 化。例如，“理解有理数加法法则”就是 一个单元目标。 ——由课程专家制定。 ——课标中“内容标准”中所列的都是单 元目标。
（3）你是怎么理解“选取适当的长度为单 位长度”的？（与问题的需要相关，表示 较大的数，单位长度取小一些等） （4）数轴上，在原点的右边，离原点越远 的点所表示的数 ；在原点的左边，离 原点越远的点所表示的数 ．（宏观看 大小） • 设计意图：明晰概念，加深对数轴“三要 素”的理解．
3．练习、巩固概念 （1）课本练习1，2； （2）数轴上表示3的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多 少个单位长度？表示数－ 2的点在原点的哪一侧？与原点 的距离是多少个单位长度？设a是一个正数，对表示a的点 和表示－a的点进行同样的讨论． • 设计意图： 练习（1）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的 有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所 有的有理数都可以用数轴上的点表示． 练习（2）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位 置（原点左右）点的特点．培养学生的抽象概括（由具体 的数到字母表示的数）能力．
• 我们要不断地问自己，数学的本来面目是 什么？数学教育的本来面目是什么？ • 我们要不断求索的是数学教育内在的本质 在哪里，永恒不变的究竟是什么，万变不 离其宗的“宗”在哪里？ • 旧典时式——将永恒不变的本真用符合时 代精神的方式表达出来，这就是不断接近 本来面目的过程，也就是改革的过程！
一、“三个理解”是基石
• 问题2 上面的问题中，“东”与“西”、“左” 与“右”都具有相反意义．我们知道，正数和负 数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用 数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？ • 学生画图表示后提问： （1）0代表什么？（基准点） （2）数的符号的实际意义是什么？（方向） （3）如图，在一条直线上，A，B的距离等于B， C的距离，B点用3表示，C点用7.5表示，行吗？ 为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符） O A B C 0 1 3 7.5
（三）教学问题诊断分析
• 学生第一次遇到用形表示数的问题，领会 其中蕴含的思想、体验这一方法的意义， 尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生 活经验。在基本思想上，还是要借助于具 体情境，教师先讲解，学生获得体验后进 行模仿式举例。 • 教学难点：数轴“三要素”与数集中0，1 以及数的符号的对应性。
（二）目标和目标解析
• 目标 （1）能用数轴上的点表示有理数； （2）能借助具体实例，解释数轴三要素的作 用。
• 目标解析： • 目标（1）属于“理解”层次，是指学生能画出数轴 并找到表示给定数的点； • 目标（2）也属“理解”层次，是指学生能判断一种 情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要 素分别对应起来。 • 从发展的角度看，学生还应体会到，“用点表示数” 时，数轴“三要素”保证了点与数的“一一对应”， 即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数 轴上任意一个点对应于唯一一个数。这里，概念所反 映的基本思想需要逐步体会，还要逐步积累借助数轴 的直观研究问题的经验。
（4）概念教学的基本环节
• 概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系 的发展过程或解决实际问题的需要引入概念； • 内涵的概括——提供典型丰富的具体例证，进行 属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同 特征； • 概念的明确——下定义，给出准确的数学语言描 述（文字的、符号的）；
• 概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义 （恰当使用反例）； • 概念的巩固——用概念作判断的具体事例，形成 用概念作判断的具体步骤； • 概念的应用——纳入概念系统，建立与相关概念 的联系。
例 数轴概念的教学设计
（一）内容和内容分析 • 内容：数轴的概念，用数轴上的点表示数 （点与数的一一对应）。 • 内容分析：数形结合思想的产物。由此， 数的概念和运算与位置、方向、距离相统 一，使数的语言得到了几何解释，数有了 直观意义，有助于数的概念的理解，还可 以从中得到启发而提出新的问题或结论， 如相反数、绝对值等。
• 例 在“二元一次方程组”的学习中，学生 在认知上会有哪些问题？应如何化解？
二、高度重视教学目标的制定
• 当前，教学目标的表达比较混乱。五花八 门，“三维目标”成为时髦；也有按“知 识技能、数学思考、问题解决、情感态度” 的；也有按“知识、技能、能力、价值观” 的；等等。
“三维目标”的理解
• “三维目标”是课程目标的设计思路，是 同一学习过程中的三个心理维度，不是教 学目标的维度。 • 教学目标取决于教学内容的特点，要在 “三个维度”的指导下，综合考虑学段目 标、内容特点和学情来确定；课堂教学不 是为了体现课程目标的“三个维度”而存 在，而是要具体而扎实地把课程内容传递 给学生，促进学生健康发展。
• 丘成桐先生说，调和的思想也可说贯穿了 古代数学直到近代数学的发展。数学的美 ，使我们与大自然更为接近，大自然的美 开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野 „„很幸运的是，自然界的真理往往是极 为美妙的。所以从数学的美选择出来的方 程、选择出来的图形，往往能够解释大自 然里的真理。
我的粗浅领悟
• 数学与大自然同构，数学与哲学相通，数 学是思维的科学因而数学又是一门“内心 科学”。 • 数学不仅能证明大自然的真理，而且能解 释人的内心世界，这就是数学的本来面目 ，也是数学内在力量之所在。
• 例：为什么说 在有理数乘法 法则的教材设 计中，渗透了 数系扩充的基 本思想——原 有数系的运算 和运算律保持 不变？
• 例：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的 意义。那么，难点在哪里？ • 难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时， 描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变 化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负 数表示．这与学生的日常经验有一定的矛盾，需 要一个“心理转换”：把“体重减少1kg”转换为 “体重增长－1kg”，需要对“负”与“正”的相 对性有较好的理解。
四、课堂教学的高立意与低起点
• 立意不高——许多教师的“匠气”太浓，“题型+ 技巧”的教学，弥漫着“功利”，缺少思想、精 神的追求。 • 提高课堂教学立意的关键是提高思想性。 • 具体做法上，要注意“先行组织者”的使用，要 加强思想方法的引导——构建研究数学问题的框 架，以增强学生学习的自觉性、主动性，使学生 的数学思考更有目的性、有序性和有效性，培养 良好的数学思维习惯。
• 课堂教学目标： ——微观目标，专注于具体内容的学习，只处理细节 ，它们在计划日常教学中发挥作用。 例如，“理解 有理数的加法法则”这一单元目标要具体化为： （1）能借助实际事例解释有理数加法法则； （2）会根据有理数加法法则计算两个有理数和． ——由教师根据课标要求和本班学生实际制定。
三、大力提高概念教学水平
追求数学教育的本来面目
人教社中数室 章建跃
感悟数学的“本来面目”
• 毕达哥拉斯学派：宇宙的实体有两个，一 个是数字，万物皆数，数的存在是有限方 面的实体；一个是无限的空间，空间的存 在是无限方面的实体。数字跟空间结合在 一起就产生出宇宙万象。
• 19世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学 可以用来决定最一般的规律，同时也可以 量度时间、空间、温度，所以数学跟大自 然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同 的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁 、稳定。
• 问题4 你能说说上述两个实例的共同点吗？ • 设计意图：完成第三次概括，即进一步明 确“三要素”的意义，体会“用点表示数” 和“用数表示点”的思想方法，为定义数 轴概念提供进一步的直观基础．
2．定义、辨析数轴概念 • 请你带着下列问题阅读教科书： （1）画数轴的步骤是什么？ （2）根据上述实例的经验，“原点”起什么 作用？（“原点”是数轴的“基准”，表示0， 是表示正数和负数的分界点）