华东师范数学分析-一般项级数资料

例E7: (1)n1 1 = ln 2 重排后可发散
解:∵
1 2n-1
n
发散(积分判别法)n1使得
n1 1
1
C1
k 1
2k
1
2
1
1
kn1 1 2k 1
1
k…n2…1 2k 1 1
2k 1 kni-11
n1
发散，∴n2 > n1使 C2 发散，∴ n3 > n2使 C3
发散，∴ ni > ni-1使Ci
∵{un}单减,∴上式中(ui-ui+1)0,
{S2m1}递减数列,{S2m }是递增数列.
[S2m , S2m1 ] [S2(m1) , S2(m1)1 ] (ii)，0 S2m1 S2m u2m 0 (m ),
从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套.
1
1 n2
1
1
n3
1
n2
1 1
kn11 2k 1 4
n3
1 1
kn2 1 2k 1 6
ni
1
1
kni-11 2k 1 2i
1
ni
1
1
1
1
1
Ci
k 1
2k
1
2
2k k n1 1
1
4
2k kn2 1
1
6
2k k ni-11
1
2i
为原级数的一个重排, 发散，
∴重排后级数可发散
2. 级数的乘积
n 10n
收敛
二、绝对收敛级数及其性质
定义2 级数∑un为绝对收敛级数：
若级数 u1 u2 un = un 各项取绝对值， u1 u2 un = |un| 收敛,
性质1(定理12.12 ) 绝对收敛的级数是收敛的.
即|un|收敛 un收敛
证 ∵ ∑| un |收敛,根据级数的柯西收敛准则,
由区间套定理,|SR, 使得
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
S.
数列 {Sn} 收敛, 即级数 (-1)n+1un收敛. / /
|S-Sn|=|un+1-(un+2 -un+3 )- | < un+1
P24Ex. 1(2,2-6); 3,8
推论 若 (-1)n+1un满足Leibniz判别法的条件,
n 2345678
1 (1)n1 1 1 1 1 1 ln 2 . %两边 1
2
n 2468
2
2
1 1 1 1 1 1 = 3ln 2 . %上两级数相加,
32574
2
是 (1)n1 1
n
的重排，重排后级数和有变化.
性质2(Th12.13 ) ∑un绝对收敛重排后仍绝对收敛,和不变
(1)
定理12.11 (Leibniz判别法) 若交错级数(-1)n+1un满足:
(i) 数列{un} 单调递减;
(-1)n+1un收敛.
(ii)
lim
n
un
0,
证 :记交错级数 (-1)n+1un的部分和数列{Sn}:
S2m1 u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ),
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ).
任意重排后的级数∑vn绝对收敛,且和也为S.
性质2(定理12.13 ) 设∑un绝对收敛, 其和为S, 任意重排后的级数∑vn绝对收敛,且和也为S.
注 定理12.13只对绝对收敛级数成立. 但条件收敛级数 适当重排后, 既可以得到发散级数, 也可以收敛于
任何事先指定的数.
例: (1)n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ln 2. %条件收敛
收敛
收敛级数 un =A, aun aun =aA,
m
m
(a1 a2 am ) un ak un =A ak
§3 一般项级数
由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以对一般项级数的收敛性 讨论只限于某些特殊类型级数.
一、交错级数
二、绝对收敛级数及其性质
三、Abel判别法和Dirichlet判别法
一、交错级数
定义1 交错级数：若级数的各项un( 0) 符号正负相间, 即
(-1)n+1un = u1 u2 u3 u4 (1)n1un
n，
|un|=
2n 100 n 3n 1
解:n
2n 100 n 3n 1
2n 100 3n 1
2 3
<1 (n )
(1)n
2n 100 3n 1
n绝对收敛
∑un收敛
绝对收敛：
条件收敛:
∑| ∑|
un un
|收敛 |发散
正项级数判别法 Leibniz判别法
1.级数的重排--绝对收敛级数性质
n1
1 n2
收敛，
sin nx 绝对收敛
n!
Th:级数∑| un |收敛 ∑un收敛
定义 ∑un为条件收敛:若级数∑un收敛,但∑| un |不收敛,
例:(1) (1)n1 n=1
(2) (1)n1
1 条件收敛 n
P24Ex.
1 绝对收敛
1;
4
(2n 1)!
E1(7)
(1)n
2n 100 3n 1
正整数列
一一映射k：{1,2,…,n, …}→ {1,2,…,n, …}
n k(n) {k(1),k(2), }
un =u1 u2 un
正整数列的重排
uk(n) =uk(1) uk(2) uk(n) 级数的重排 =v1 v2 vn = vn
性质2(定理12.13 ) 设∑un绝对收敛, 其和为S,
对 >0,总 N >0, st,n N和p N ,有
um1 um2 um p um1 um2 um p
∴由柯西准则知级数∑un也收敛. 注:级数∑un绝对收敛 ∑|un|收敛,可用正项级数判别法
例1 级数 n 2 n
n1 n!
2!
n!
绝对值收敛否？
解:
n
2
n
.正项级数
n!
2!
n!
lim un1 u n
n
lim
n
n+1
(n 1)!
n!
| |n
lim
n
n
1
0
1,
∴ n
n1 n!
对任何实数 都绝对收敛.
例E1.1:级数
sin nx n!
绝对收敛？
解：∵|
sin nx | n!
1 n(n -1)
(n
1 -1) 2
n2
1 (n -1)2
收敛级数(-1)n+1un的余项估计式: Rn un1.
例:(1)1 1 1 (1)n1 1
23
n
= (1)n1 1 收敛
n=1
n
Leibniz判别法
(2)1 1 1 1 (1)n1 1 收敛
3! 5! 7!
(2n 1)!
(3) 1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1