微积分第四章不定积分习题课

7 cos x − 3 sin x 解答： 解答： ∫ 5 cos x + 2 sin x dx =
d ( 5 cos x + 2 sin x ) = ∫ dx + ∫ = x + ln 5 cos x + 2 sin x + c 5 cos x + 2 sin x
练习8 练习
计算
xe x
∫
xe x e −2
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练习13 练习
求 m 1, x}dx ax{
∫
解答： 解答：设 f ( x ) = max{1, x } ，则
− x f ( x) = 1 x x < −1 -1 ≤ x ≤ 1
由于 f ( x ) 在 ( −∞ ,+∞ )
上连续， x > 1 上连续，所以存在原函数F ( x )
lnsinx
dx
I =
cos x dx = sin x
∫
a ln sin x (ln sin x ) ′dx
= a
∫
ln sin x
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a lnsin x d (ln sin x ) = +c ln a
练习1 练习
=
∫
ln( x +
dx 2 2 1 + x ( ln( x + 1 + x )
f ( x) f ( x) ′ =∫ ⋅[ ] dx f ′( x ) f ′( x ) f ( x) f ( x) =∫ ⋅d f ′( x ) f ′( x ) 1 f ( x) 2 = [ ] +C 2 f ′( x )
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2x2 例 5 设 f ( x2 + 1) = ln 2 ， x −1 且 f [ϕ( x)] = ln x ，求： φ( x)dx ∫
1 令 C = C1 C 2 = C + C3 = C + 1 2 x2 x < −1 +C − 2 1 -1 ≤ x ≤ 1 ∫ max{1, x }dx = x + 2 + C 2 x +1+ C x>1 2
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2
1 2 解答： 解答： f ( x )F ( x )dx = ∫ F ( x )dF ( x ) = F ( x ) + c1 ∫ 2
又∫
1 1 1 f ( x )F ( x )dx = ∫ (sin x + )dx = ( 2 x − sin 2 x ) + c 2 2 2 2
2
1 F ( x ) = 2 x − sin 2 x + c 2
理解的概念
不定积分的性质
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基本计算能力
基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分 简单的无理函数的积分
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应掌握的定理、性质、公式 应掌握的定理、性质、
原函数存在定理 分部积分公式 换元积分公式
x < −1 -1 ≤ x ≤ 1 x>1
x2 + C1 − 2 F ( x) = x + C2 x2 + C3 2
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连续， 由于 F ( x ) 连续， 所以必有
x2 lim+ ( x + C 2 ) = lim− ( − + C1 ) x → −1 x → −1 2 1 即：C1 − C 2 + = 0 2 1 x2 C lim ( x + C 2 ) = lim ( + C 3 ) 即： 2 − C 3 + = 0 − + x →1 x →1 2 2
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练习3 练习
e (1+ sin x) dx. 求∫ 1+ cos x
x
x
解
x x e (1+ 2sin cos ) 2 2 dx 原式= ∫ 2 x 2cos 2 1 x x x = ∫ (e + e tan )dx 2 2 x 2cos 2 x x x x x x = ∫ [(e d(tan ) + tan de ]= ∫ d(e tan ) 2 2 2
例4
f ( x) f ( x) ⋅ f ′′( x) 求∫ [ 的值 ]dx − 3 f ′( x) f ′ ( x)
2
解答： 解答：
∫
=
f ( x ) ⋅ [ f ′2 ( x ) − f ( x ) ⋅ f ′′( x )] dx 3 f ′ ( x)
∫
f ( x ) f ′2 ( x ) − f ( x ) ⋅ f ′′( x ) ⋅ dx 2 f ′( x ) f ′ ( x)
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dx 练习11 计算积分 ∫ 练习 1+ x + 1+ x
11 解答： 解答：令 t = xx + x + 1 ，则 8 1 x 解答： 解答： ∫ dx = ∫ dx 4 (1 + x 8 ) 2 4 (1 + 1 8 ) 2 x t4 −1 二式相减得： 二式相减得： x = t − dx = dt 2 3 2t 1 tan 2t t 4 2 令x = tan t = 11 ∫ sec−4 1 sec tdt x dx 1 t 4 dx 计算积分 ∫ = 4 8 2 t dt 练习12 练习 4
2
y( x − y ) 2 = x
t
3
中有： 中有：x − t )t 2 = x (
2 2
t t ( t − 3) x= 2 ,y= 2 , dx = 2 dt 2 t −1 t −1 ( t − 1)
t 2 ( t 2 − 3) dt • 2 3 2 ∫ t 3t ( t − 1) − 2 2 t −1 t −1 t 1 1 2 = ∫ 2 dt = ln t − 1 + C = ln ( x − y ) 2 − 1 + C t −1 2 2 dx =∫ x − 3y 1
cos 2 x 解答： 解答： ∫ 1 + sin x cos x dx =
dx ∫ sec 2 x + tan x 令 u = tan x 则
du 1 1 2 tan x + 1 I=∫ arctan = ln 1 + sin x cos x + +c 2 2 (1 + u + u )(1 + u ) 2 3 3
反想
例1
∫
sin2x 4 − cos x
4
dx
d(cos2 x) = 2sin xcos x
= −∫
2
解
原式 =
∫
2 sin x cos x 4 − cos 4 x
d (cos
2
x)
2
4 − (cos
x )2
cos x )+C = − arcsin( 2
例2 解
∫cot x ⋅ a
∫a
ln sin x
x
dx ( x > 1)
x ex − 2 d (e x − 2) = 2 x e x − 2 − 2∫ e x − 2dx
解答： 解答：∫
ex − 2
dx = ∫
ex = 2( x − 2) e x − 2 + 4 2 arctan −1 + c 2
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1 + x 2 ) ]′ 1 + x
2
1
∫
[ln( x +
dx = 2 ( ln( x +
1 + x 2 )) + c
练习2 练习
∫ 1+ e
−2 x
1
dx 2x
−2 x e − 1 ( 1 + e )′ dx = =∫ −2 x ∫ 1 + e − 2 x dx 2 1+ e
− 1 d(1 + e−2 x ) −1 dx = ln(1 + e−2 x ) + c = ∫ −2 x 2 1+ e 2
x +1 − x =
1 t
∫ 1+
1 2x3 x + 1 + x (1+ ∫ t )( t + 1)x 4 − = (arctan 8
1 x 1 x( x + 1) + c = x − ln( x + x + 1) + − 2 2 2
x )+ c 8 1+ x
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=∫
d (1 + 1 + x 2 ) 1 + 1 + x2
= 2 1 + 1 + x2 + C
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练习6 练习 解 令
∫
e
3 x
x
sin (e
3 x
3
3 x
) dx
3 x
u=e
du = e
3 x
3 2 x
dx
∫
e3
x
2 1 2 3 2 = − ∫ 1 − cos u d cos u = − cos u − cos u + C 3 3 3
2
由 F ( 0) = 2 可得 c = 4 ，则
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1 F ( x ) = 2 x − sin 2 x + 4 2
dx 练习12 练习 设 y( x − y) = x，求 ∫ x − 3y 解答： 解答：设 x − y = t ，则 y = x − t ，将其带入
(
x
sin (e
3
)
2 3 ) dx = ∫ sin u du 3
2 3 = − [cos e 3
x
1 3 3 x − cos e ] + c 3
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练习7 练习
7cos x − 3sin x 计算 ∫ dx 5cos x + 2sin x
5 cos x + 2 sin x + 2 cos x − 5 sin x dx ∫ 5 cos x + 2 sin x
2( x 2 + 1) − 2 f ( x 2 + 1) = ln 2 解答： 解答：由于 ( x + 1) − 2
则
2x − 2 f ( x ) = ln x−2
2ϕ ( x ) − 2 f [ϕ ( x )] = ln = ln x ϕ ( x) − 2
2ϕ ( x ) − 2 2。 x − 1) ( = x,ϕ ( x ) = 2− x ϕ ( x) − 2
y + 1 ) − 4(
3
y + 1) + c
练习5 练习
∫
x 1+ x2 + (1+ x2 )3
xdx
dx.
解答： 解答：
I=∫ =∫ 1 + x 2 + (1 + x 2 ) 1 + x 2 xdx 1 + x2 1 d (1 + x 2 ) = ∫ 1 + 1 + x2 2 1 + x2 1 + 1 + x2
x −1 ∫ φ ( x)dx = 2∫ 2 − x dx = 2(ln x − 2 + x ) + c
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恒正， 例 6 设 f (x)的原函数 F(x)恒正，且
1 F(0) = 2当 x ≥ 0时，有 f ( x)F( x) = sin x + 2 试求 f (x)
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怎样计算不定积分？ 怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想： 不定积分计算的基本思想： 求不定积分是求导的逆运算 导数基本公式——积分基本公式 积分基本公式 导数基本公式 微分法——积分法 积分法 微分法 逆运算
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x
x = e tan + C. 2 Department of Mathematics
练习4 练习
∫
1
dy y +1
y +1 = t
Biblioteka Baidu解： 令
2
y = t −1
2
(
)
2
2( t − 1)2t 2 dt = 4( ∫ t − 1)dt 原式=∫ t
4 3 4 = t − 4t = ( 3 3
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练习9 练习
dx 计算积分 ∫ 4sin x + 3cos x + 5
x 解答： 解答：令 t = tan , 则 2 1 dt dx ∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 = ∫ ( t + 2)2 = − x + c tan + 2 2
cos2 x dx 练习10 计算积分 ∫ 练习 1+ sin x cos x
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主要内容介绍 典型例题选讲 课堂自主练习
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基 本 概 念
熟练掌握的概念
原函数、不定积分等 原函数、