波函数及其统计意义(ppt 51)
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10-1 量子力学概述
1. 波函数及其统计意义
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。 用电子双缝衍射说明了波函数的物理意义。 单个电子在何处出现时随机的，但在空间各处出现 的概率具有确定的分布。波动性是单个粒子的特性
P1
S
1 D 2
A B
P
P2
粒子数分布是单个粒子概率分布的积累效应。
物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明
光波振幅平方大 光强度大 光子在该处出现 的概率大 （微粒观点）
（波动观点）
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） 单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大
在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率正 比于该时刻、该地点波函数的平方。
在空间一很小区域(以体积元dV=dx dy dz表征)出 现粒子的概率为：
x
电子 a
P
1
Px
z
电子沿 z 方向通过狭缝后，假设全部散布在 中央亮纹的范围内。 衍射角1、缝宽 a 和入射波波长 间满足 a sin1 =
狭缝处的电子 x 坐标不确定范围：x～a x 方向动量的不确定范围:可由电子能到达 屏上的位置来估算 px～p sin 1 h h p x p sin 1 p p a x x x
则测得的电子能量有不确定范围 E。 能级宽度和能级寿命的不确定关系： 设原子处于某能级状态的寿命为
（显然，测量其能量只能在此时间范围内进行，不 能超过 ） 则测得该能级的能量必有不确定度 E， E 即该 能级的自然宽度。
满足关系
E ≥ /2
所以，只有基态能级的自然宽度为零。
微观粒子有二象性：
p k
三、薛定谔方程： 奥地利物理学家 薛定谔（Schrodinger 1887-1961） 提出量子力学中最基本的方程。
1933年薛定谔获 诺贝尔物理奖。 量子力学找微观粒子在 不同条件下的波函数， 就是：求不同条件下 薛定谔方程的解。
二、薛定谔方程：
2 i (r , t ) [ V (r , t )] (r, t ) t 2m
( x ) A cos(kx )
则 c1Ψ 1 ( r , t ) c2Ψ 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。
主要原因在于薛定谔方程是线性偏微分方程。
（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。
（4）它是非相对论形式的方程。
三、 定态薛定谔方程
比较简单的问题是微观粒子在稳定力场中运动。 其势能函数 v与源自文库间 t 无关，这种稳定的势场问题， 称为定态问题。 例如： 自由运动粒子…………V= 0
dV dV
称为概率密度，表示在某一时刻在某点处
2
2
单位体积内粒子出现的概率。
波函数还须满足：
2
dv 1
归一化条件
及单值、连续、有限等标准化条件
二、 不确定关系
波动性使微观粒子没有确定的轨道，即坐标和 动量不能同时取确定值，存在一个不确定关系。 以电子的单缝衍射实验来说明不确定关系：
U=0（0<x<a）
U = U0（其他）
无限深 势阱
1= 0
3= 0
0 （1）U 与t 无关，写定态定谔方程
a
x
量子力学预言：阱里的粒子的能量 只可能是一系列分立的本征值,对应 的波函数只能是能量本征态波函数。
d 2 2mE (0 x a ) 0 2 2 dx 2mE 2 （2）解方程 令 k 2 d 2 2 ( x ) A cos(kx ) k 0 dx 2 to3
1 e 氢原子中的电子…… V r 4 0 r
2
这时波函数 可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。
以一维运动的情况为例，波函数可写成
( x ,t ) ( x ) f ( t )
一个是变量为t 的方程 其解为
df i Edt f
f e
微观粒子的状态用波函数 ( r , t ) 描述；
微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态， 例如，电子在氢原子中时 和 在无外电场时 的状态应该是不同的, 波函数也应该是不同的。
既有粒子性，又有波动性；
怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的 不同状态的具体的波函数？ 要解薛定谔方程！
§16.6 波函数 一维定态薛定谔方程
i Et
一个是变量为x 的方程
其解 (x) 与粒子所处 的条件（外力场V）有关。可以把它解出来为： ( x)
则
d 2m ( E v) 0 2 dx h
2
( x, t ) ( x)
e
i Et
是粒子的波函数
四、一维无限深势阱中的粒子
U
U0
势 能
一. 波函数及其统计解释
描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数 一般是空间和时间的函数，即 Ψ Ψr , t 自由粒子的波函数 设自由粒子沿 x 轴正向运动
且不受外力的作用因此 ：
它的动能E和动量P为恒量。对应的德布罗意波具有 E h 频率和波长也为恒量： h p 或者用角频率和波矢量表示：
得
x px～h
对坐标 x 测量得越精确（x 越小）， 动量不确定性 px 就越大(衍射越厉害)。
严格的理论给出坐标与动量的不确定关系为
x px≥ /2 y py≥ /2 z pz≥ /2
(作习题用)
★ 时间与能量的不确定关系 tE≥ /2
（推导见书）
如果对电子测量能量的时间为 t，
2
式中
m……粒子的质量 V……粒子在外力场中的势能函数（所处条件） 2……拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
说明：
（1）它是一个关于r,t的线性偏微分方程； 其解波函数 Ψr , t 是一个复函数。 （2）它的解满足态的叠加原理 若 Ψ 1 ( r , t )和 Ψ 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解，
1. 波函数及其统计意义
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。 用电子双缝衍射说明了波函数的物理意义。 单个电子在何处出现时随机的，但在空间各处出现 的概率具有确定的分布。波动性是单个粒子的特性
P1
S
1 D 2
A B
P
P2
粒子数分布是单个粒子概率分布的积累效应。
物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明
光波振幅平方大 光强度大 光子在该处出现 的概率大 （微粒观点）
（波动观点）
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） 单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大
在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率正 比于该时刻、该地点波函数的平方。
在空间一很小区域(以体积元dV=dx dy dz表征)出 现粒子的概率为：
x
电子 a
P
1
Px
z
电子沿 z 方向通过狭缝后，假设全部散布在 中央亮纹的范围内。 衍射角1、缝宽 a 和入射波波长 间满足 a sin1 =
狭缝处的电子 x 坐标不确定范围：x～a x 方向动量的不确定范围:可由电子能到达 屏上的位置来估算 px～p sin 1 h h p x p sin 1 p p a x x x
则测得的电子能量有不确定范围 E。 能级宽度和能级寿命的不确定关系： 设原子处于某能级状态的寿命为
（显然，测量其能量只能在此时间范围内进行，不 能超过 ） 则测得该能级的能量必有不确定度 E， E 即该 能级的自然宽度。
满足关系
E ≥ /2
所以，只有基态能级的自然宽度为零。
微观粒子有二象性：
p k
三、薛定谔方程： 奥地利物理学家 薛定谔（Schrodinger 1887-1961） 提出量子力学中最基本的方程。
1933年薛定谔获 诺贝尔物理奖。 量子力学找微观粒子在 不同条件下的波函数， 就是：求不同条件下 薛定谔方程的解。
二、薛定谔方程：
2 i (r , t ) [ V (r , t )] (r, t ) t 2m
( x ) A cos(kx )
则 c1Ψ 1 ( r , t ) c2Ψ 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。
主要原因在于薛定谔方程是线性偏微分方程。
（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。
（4）它是非相对论形式的方程。
三、 定态薛定谔方程
比较简单的问题是微观粒子在稳定力场中运动。 其势能函数 v与源自文库间 t 无关，这种稳定的势场问题， 称为定态问题。 例如： 自由运动粒子…………V= 0
dV dV
称为概率密度，表示在某一时刻在某点处
2
2
单位体积内粒子出现的概率。
波函数还须满足：
2
dv 1
归一化条件
及单值、连续、有限等标准化条件
二、 不确定关系
波动性使微观粒子没有确定的轨道，即坐标和 动量不能同时取确定值，存在一个不确定关系。 以电子的单缝衍射实验来说明不确定关系：
U=0（0<x<a）
U = U0（其他）
无限深 势阱
1= 0
3= 0
0 （1）U 与t 无关，写定态定谔方程
a
x
量子力学预言：阱里的粒子的能量 只可能是一系列分立的本征值,对应 的波函数只能是能量本征态波函数。
d 2 2mE (0 x a ) 0 2 2 dx 2mE 2 （2）解方程 令 k 2 d 2 2 ( x ) A cos(kx ) k 0 dx 2 to3
1 e 氢原子中的电子…… V r 4 0 r
2
这时波函数 可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。
以一维运动的情况为例，波函数可写成
( x ,t ) ( x ) f ( t )
一个是变量为t 的方程 其解为
df i Edt f
f e
微观粒子的状态用波函数 ( r , t ) 描述；
微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态， 例如，电子在氢原子中时 和 在无外电场时 的状态应该是不同的, 波函数也应该是不同的。
既有粒子性，又有波动性；
怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的 不同状态的具体的波函数？ 要解薛定谔方程！
§16.6 波函数 一维定态薛定谔方程
i Et
一个是变量为x 的方程
其解 (x) 与粒子所处 的条件（外力场V）有关。可以把它解出来为： ( x)
则
d 2m ( E v) 0 2 dx h
2
( x, t ) ( x)
e
i Et
是粒子的波函数
四、一维无限深势阱中的粒子
U
U0
势 能
一. 波函数及其统计解释
描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数 一般是空间和时间的函数，即 Ψ Ψr , t 自由粒子的波函数 设自由粒子沿 x 轴正向运动
且不受外力的作用因此 ：
它的动能E和动量P为恒量。对应的德布罗意波具有 E h 频率和波长也为恒量： h p 或者用角频率和波矢量表示：
得
x px～h
对坐标 x 测量得越精确（x 越小）， 动量不确定性 px 就越大(衍射越厉害)。
严格的理论给出坐标与动量的不确定关系为
x px≥ /2 y py≥ /2 z pz≥ /2
(作习题用)
★ 时间与能量的不确定关系 tE≥ /2
（推导见书）
如果对电子测量能量的时间为 t，
2
式中
m……粒子的质量 V……粒子在外力场中的势能函数（所处条件） 2……拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
说明：
（1）它是一个关于r,t的线性偏微分方程； 其解波函数 Ψr , t 是一个复函数。 （2）它的解满足态的叠加原理 若 Ψ 1 ( r , t )和 Ψ 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解，