同济第六《高等数学》教案版第章无穷级数
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例2证明级数
123n
是发散的
证此级数的部分和为
显然 因此所给级数是发散的
例3判别无穷级数
的收敛性
解由于
因此
从而
所以这级数收敛它的和是1
例3判别无穷级数 的收敛性
解因为
从而
所以这级数收敛它的和是1
提示
二、收敛级数的基本性质
性质1如果级数 收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛且其和为ks
则级数 和级数 同时收敛或同时发散
定理3(比较审敛法的极限形式)
设 和 都是正项级数
(1)如果 (0l)且级数 收敛则级数 收敛
(2)如果 且级数 发散则级数 发散
定理3(比较审敛法的极限形式)
设un和vn都是正项级数
(1)如果lim(un/vn)l(0l)且vn收敛则un收敛
(2)如果lim(un/vn)l(0l)且vn发散则un发散
性质1如果级数 收敛于和s则级数 也收敛且其和为ks
性质1如果 则
这是因为设 与 的部分和分别为sn与n则
这表明级数 收敛且和为ks
性质2如果级数 、 分别收敛于和s、则级数 也收敛且其和为s
性质2 如果 、 则
这是因为如果 、 、 的部分和分别为sn、n、n则
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性
10．掌握 ， 和 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x)它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)
在收敛域上有
二、幂级数及其收敛性
幂级数
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数
项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是
a0a1xa2x2anxn
其中常数a0a1a2an叫做幂级数的系数
例9证明级数 收敛并估计和及余项
证 这是一个交错级数因为此级数满足
(1) (n1, 2,)(2)
由莱布尼茨定理级数是收敛的且其和su11余项
三、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛
若级数 收敛则称级数 绝对收敛若级数
收敛而级数 发散则称级 条件收敛
例10级数 是绝对收敛的而级数 是条件收敛的
定理7如果级数 绝对收敛则级数 必定收敛
例5证明级数
是收敛的
解 因为
根据比值审敛法可知所给级数收敛
例6判别级数 的收敛性
解 因为
根据比值审敛法可知所给级数发散
例7判别级数 的收敛性
解
这时1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收敛性
因为 而级数 收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛
解 因为 而级数 收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛
提示 比值审敛法失效
点x0是级数 的发散点
收敛域与发散域
函数项级数 的所有收敛点的全体称为它的收敛域所
有发散点的全体称为它的发散域
和函数
在收敛域上函数项级数 的和是x的函数s(x)
s(x)称为函数项级数 的和函数并写成
∑un(x)是 的简便记法以下不再重述
在收敛域上函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)
s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数并写成s(x)∑un(x)
因为 而级数 收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛
定理5(根值审敛法柯西判别法)
设 是正项级数如果它的一般项un的n次根的极限等于
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
定理5(根值审敛法柯西判别法)
若正项级数 满足 则当1时级数收敛
当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
由s2n(u1u2)(u3u4)(u2n1u2n)及
s2nu1(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u2n
看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1)所以收敛
设s2ns(n)则也有s2n1s2nu2n1s(n)所以sns(n)从而级数是收敛的且snu1
因为|rn|un1un2也是收敛的交错级数所以|rn|un1
比如级数 是收敛的
级数 也是收敛的
级数 也是收敛的
性质4如果级数 收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数
11)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
值得注意的问题
如果级数 发散我们不能断定级数 也发散
但是如果我们用比值法或根值法判定级数 发散
则我们可以断定级数 必定发散
这是因为此时|un|不趋向于零从而un也不趋向于零因此级数 也是发散的
例11判别级数 的收敛性
解 因为| 而级数 是收敛的
所以级数 也收敛从而级数 绝对收敛
例12判别级数 的收敛性
证明 由极限的定义可知对 存在自然数N当nN时有不等式
即
再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论
例3 判别级数 的收敛性
解 因为 而级数 发散
根据比较审敛法的极限形式级数 发散
例4判别级数 的收敛性
解 因为 而级数 收敛
根据比较审敛法的极限形式级数 收敛
定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)
若正项级数 的后项与前项之比值的极限等于
例1 讨论p级数
的收敛性其中常数p0
例1讨论p级数 的收敛性
解 设p1这时 而调和级数 发散由比较审敛法知当p1时级数 发散
设p1此时有
(n2, 3,)
对于级数 其部分和
因为
所以级数 收敛从而根据比较审敛法的推论1可知级数 当p1时收敛
综上所述p级数 当p1时收敛当p1时发散
解 当p1时 而调和级数 发散由比较审敛法知
证 仅就unvn(n12)情形证明设级数vn收敛其和为则级数un的部分和
snu1u2unv1v2vn(n1, 2,)
即部分和数列{sn}有界因此级数un收敛
反之设级数un发散则级数vn必发散因为若级数
vn收敛由上已证明的结论级数un也收敛与假设矛盾
推论设 和 都是正项级数如果级数 收敛且存在自然数N使当nN时有unkvn(k0)成立则级数 收敛如果级数 发散且当nN时有unkvn(k0)成立则级数 发散
性质5如果 收敛则它的一般项un趋于零即
性质5如果 收敛则
证 设级数 的部分和为sn且 则
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例4证明调和级数
是发散的
例4证明调和级数 是发散的
证假若级数 收敛且其和为ssn是它的部分和
显然有 及 于是
但另一方面
故 矛盾这矛盾说明级数 必定发散
§112常数项级数的审敛法
解由 有
可知 因此级数 发散
§ 113幂级数
一、函数项级数的概念
函数项级数给定一个定义在区间I上的函数列{un(x)}由这函数列构成的表达式
u1(x)u2(x)u3(x)un(x)
称为定义在区间I上的(函数项)级数记为
收敛点与发散点
对于区间I内的一定点x0若常数项级数 收敛则称
点x0是级数 的收敛点若常数项级数 发散则称
一、正项级数及其审敛法
正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数
定理1正项级数 收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界
定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数且unห้องสมุดไป่ตู้n(n12)若级数 收敛则级数 收敛反之若级数 发散则级数 发散
定理2(比较审敛法)
设 和 都是正项级数且unvn(k0nN)
若 收敛则 收敛若 发散则 发散
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
所以根据根值审敛法知所给级数收敛
定理6(极限审敛法)
设 为正项级数
(1)如果 则级数 发散
(2)如果p1而 则级数 收敛
例7 判定级数 的收敛性
解 因为 故
根据极限审敛法知所给级数收敛
例8 判定级数 的收敛性
解 因为
根据极限审敛法知所给级数收敛
二、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的
当|q|>1时因为 所以此时级数 发散
如果|q|1则当q1时snna因此级数 发散
当q1时级数 成为
aaaa
时|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零
所以sn的极限不存在从而这时级数 也发散
综上所述如果|q|1则级数 收敛其和为 如果|q|1则级数 发散
仅当|q|1时几何级数 a0)收敛其和为
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、 ， 和 的麦克劳林展开式；
6、傅里叶级数。
教学难点：
1、比较判别法的极限形式；
2、莱布尼茨判别法；
3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
4、函数项级数的收敛域及和函数；
5、泰勒级数；
定理5(根值审敛法柯西判别法)
设 为正项级数如果
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
例8证明级数 是收敛的
并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差
解 因为
所以根据根值审敛法可知所给级数收敛
以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为
例6判定级数 的收敛性
解 因为
第十一章 无穷级数
教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
交错级数的一般形式为 其中
例如 是交错级数但 不是交错级数
定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数 满足条件
(1)unun1(n123)(2)
则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1
定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数 满足(1) (2)
则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1
简要证明设前n项部分和为sn
设un和vn都是正项级数且unkvn(k0nN)若级数vn收敛则级数un收敛反之若级数un发散则级数vn发散
证 设级数 收敛于和则级数 的部分和
snu1u2unv1v2vn(n1, 2,)
即部分和数列{sn}有界由定理1知级数 收敛
反之设级数 发散则级数 必发散因为若级数
收敛由上已证明的结论将有级数 也收敛与假设矛盾
当p1时级数 发散
当p1时
(n2, 3,)
而级数 是收敛的根据比较审敛法的推论可知
级数 当p1时收敛
提示
级数 的部分和为
因为
所以级数 收敛
p级数的收敛性p级数 当p1时收敛当p1时发散
例2证明级数 是发散的
证 因为
而级数 是发散的
根据比较审敛法可知所给级数也是发散的
定理3(比较审敛法的极限形式)
设 和 都是正项级数如果 (0l)
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)
若正项级数 满足 则当1时级数收敛
当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)设 为正项级数如果
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
则称无穷级数 收敛这时极限s叫做这级数的和
并写成
如果 没有极限则称无穷级数 发散
余项当级数 收敛时其部分和sn是级数 的和s的近似值它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数 的余项
例1讨论等比级数(几何级数)
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
例1讨论等比级数 (a0)的敛散性
解如果q1则部分和
当|q|1时因为 所以此时级数 收敛其和为
这函数的定义就是级数的收敛域
部分和
函数项级数 的前n项的部分和记作sn(x)
函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x)即
sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)
在收敛域上有 或sn(x)s(x)(n)
余项
函数项级数 的和函数s(x)与部分和sn(x)的差
rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数 的余项
6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
§111 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数给定一个数列
u1u2u3un
则由这数列构成的表达式
u1u2u3un
叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为 即
其中第n项un叫做级数的一般项
级数的部分和作级数 的前n项和
称为级数 的部分和
级数敛散性定义如果级数 的部分和数列 有极限s即
123n
是发散的
证此级数的部分和为
显然 因此所给级数是发散的
例3判别无穷级数
的收敛性
解由于
因此
从而
所以这级数收敛它的和是1
例3判别无穷级数 的收敛性
解因为
从而
所以这级数收敛它的和是1
提示
二、收敛级数的基本性质
性质1如果级数 收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛且其和为ks
则级数 和级数 同时收敛或同时发散
定理3(比较审敛法的极限形式)
设 和 都是正项级数
(1)如果 (0l)且级数 收敛则级数 收敛
(2)如果 且级数 发散则级数 发散
定理3(比较审敛法的极限形式)
设un和vn都是正项级数
(1)如果lim(un/vn)l(0l)且vn收敛则un收敛
(2)如果lim(un/vn)l(0l)且vn发散则un发散
性质1如果级数 收敛于和s则级数 也收敛且其和为ks
性质1如果 则
这是因为设 与 的部分和分别为sn与n则
这表明级数 收敛且和为ks
性质2如果级数 、 分别收敛于和s、则级数 也收敛且其和为s
性质2 如果 、 则
这是因为如果 、 、 的部分和分别为sn、n、n则
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性
10．掌握 ， 和 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x)它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)
在收敛域上有
二、幂级数及其收敛性
幂级数
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数
项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是
a0a1xa2x2anxn
其中常数a0a1a2an叫做幂级数的系数
例9证明级数 收敛并估计和及余项
证 这是一个交错级数因为此级数满足
(1) (n1, 2,)(2)
由莱布尼茨定理级数是收敛的且其和su11余项
三、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛
若级数 收敛则称级数 绝对收敛若级数
收敛而级数 发散则称级 条件收敛
例10级数 是绝对收敛的而级数 是条件收敛的
定理7如果级数 绝对收敛则级数 必定收敛
例5证明级数
是收敛的
解 因为
根据比值审敛法可知所给级数收敛
例6判别级数 的收敛性
解 因为
根据比值审敛法可知所给级数发散
例7判别级数 的收敛性
解
这时1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收敛性
因为 而级数 收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛
解 因为 而级数 收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛
提示 比值审敛法失效
点x0是级数 的发散点
收敛域与发散域
函数项级数 的所有收敛点的全体称为它的收敛域所
有发散点的全体称为它的发散域
和函数
在收敛域上函数项级数 的和是x的函数s(x)
s(x)称为函数项级数 的和函数并写成
∑un(x)是 的简便记法以下不再重述
在收敛域上函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)
s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数并写成s(x)∑un(x)
因为 而级数 收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛
定理5(根值审敛法柯西判别法)
设 是正项级数如果它的一般项un的n次根的极限等于
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
定理5(根值审敛法柯西判别法)
若正项级数 满足 则当1时级数收敛
当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
由s2n(u1u2)(u3u4)(u2n1u2n)及
s2nu1(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u2n
看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1)所以收敛
设s2ns(n)则也有s2n1s2nu2n1s(n)所以sns(n)从而级数是收敛的且snu1
因为|rn|un1un2也是收敛的交错级数所以|rn|un1
比如级数 是收敛的
级数 也是收敛的
级数 也是收敛的
性质4如果级数 收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数
11)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
值得注意的问题
如果级数 发散我们不能断定级数 也发散
但是如果我们用比值法或根值法判定级数 发散
则我们可以断定级数 必定发散
这是因为此时|un|不趋向于零从而un也不趋向于零因此级数 也是发散的
例11判别级数 的收敛性
解 因为| 而级数 是收敛的
所以级数 也收敛从而级数 绝对收敛
例12判别级数 的收敛性
证明 由极限的定义可知对 存在自然数N当nN时有不等式
即
再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论
例3 判别级数 的收敛性
解 因为 而级数 发散
根据比较审敛法的极限形式级数 发散
例4判别级数 的收敛性
解 因为 而级数 收敛
根据比较审敛法的极限形式级数 收敛
定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)
若正项级数 的后项与前项之比值的极限等于
例1 讨论p级数
的收敛性其中常数p0
例1讨论p级数 的收敛性
解 设p1这时 而调和级数 发散由比较审敛法知当p1时级数 发散
设p1此时有
(n2, 3,)
对于级数 其部分和
因为
所以级数 收敛从而根据比较审敛法的推论1可知级数 当p1时收敛
综上所述p级数 当p1时收敛当p1时发散
解 当p1时 而调和级数 发散由比较审敛法知
证 仅就unvn(n12)情形证明设级数vn收敛其和为则级数un的部分和
snu1u2unv1v2vn(n1, 2,)
即部分和数列{sn}有界因此级数un收敛
反之设级数un发散则级数vn必发散因为若级数
vn收敛由上已证明的结论级数un也收敛与假设矛盾
推论设 和 都是正项级数如果级数 收敛且存在自然数N使当nN时有unkvn(k0)成立则级数 收敛如果级数 发散且当nN时有unkvn(k0)成立则级数 发散
性质5如果 收敛则它的一般项un趋于零即
性质5如果 收敛则
证 设级数 的部分和为sn且 则
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例4证明调和级数
是发散的
例4证明调和级数 是发散的
证假若级数 收敛且其和为ssn是它的部分和
显然有 及 于是
但另一方面
故 矛盾这矛盾说明级数 必定发散
§112常数项级数的审敛法
解由 有
可知 因此级数 发散
§ 113幂级数
一、函数项级数的概念
函数项级数给定一个定义在区间I上的函数列{un(x)}由这函数列构成的表达式
u1(x)u2(x)u3(x)un(x)
称为定义在区间I上的(函数项)级数记为
收敛点与发散点
对于区间I内的一定点x0若常数项级数 收敛则称
点x0是级数 的收敛点若常数项级数 发散则称
一、正项级数及其审敛法
正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数
定理1正项级数 收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界
定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数且unห้องสมุดไป่ตู้n(n12)若级数 收敛则级数 收敛反之若级数 发散则级数 发散
定理2(比较审敛法)
设 和 都是正项级数且unvn(k0nN)
若 收敛则 收敛若 发散则 发散
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
所以根据根值审敛法知所给级数收敛
定理6(极限审敛法)
设 为正项级数
(1)如果 则级数 发散
(2)如果p1而 则级数 收敛
例7 判定级数 的收敛性
解 因为 故
根据极限审敛法知所给级数收敛
例8 判定级数 的收敛性
解 因为
根据极限审敛法知所给级数收敛
二、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的
当|q|>1时因为 所以此时级数 发散
如果|q|1则当q1时snna因此级数 发散
当q1时级数 成为
aaaa
时|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零
所以sn的极限不存在从而这时级数 也发散
综上所述如果|q|1则级数 收敛其和为 如果|q|1则级数 发散
仅当|q|1时几何级数 a0)收敛其和为
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、 ， 和 的麦克劳林展开式；
6、傅里叶级数。
教学难点：
1、比较判别法的极限形式；
2、莱布尼茨判别法；
3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
4、函数项级数的收敛域及和函数；
5、泰勒级数；
定理5(根值审敛法柯西判别法)
设 为正项级数如果
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
例8证明级数 是收敛的
并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差
解 因为
所以根据根值审敛法可知所给级数收敛
以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为
例6判定级数 的收敛性
解 因为
第十一章 无穷级数
教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
交错级数的一般形式为 其中
例如 是交错级数但 不是交错级数
定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数 满足条件
(1)unun1(n123)(2)
则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1
定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数 满足(1) (2)
则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1
简要证明设前n项部分和为sn
设un和vn都是正项级数且unkvn(k0nN)若级数vn收敛则级数un收敛反之若级数un发散则级数vn发散
证 设级数 收敛于和则级数 的部分和
snu1u2unv1v2vn(n1, 2,)
即部分和数列{sn}有界由定理1知级数 收敛
反之设级数 发散则级数 必发散因为若级数
收敛由上已证明的结论将有级数 也收敛与假设矛盾
当p1时级数 发散
当p1时
(n2, 3,)
而级数 是收敛的根据比较审敛法的推论可知
级数 当p1时收敛
提示
级数 的部分和为
因为
所以级数 收敛
p级数的收敛性p级数 当p1时收敛当p1时发散
例2证明级数 是发散的
证 因为
而级数 是发散的
根据比较审敛法可知所给级数也是发散的
定理3(比较审敛法的极限形式)
设 和 都是正项级数如果 (0l)
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)
若正项级数 满足 则当1时级数收敛
当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)设 为正项级数如果
则当1时级数收敛当1(或 )时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散
则称无穷级数 收敛这时极限s叫做这级数的和
并写成
如果 没有极限则称无穷级数 发散
余项当级数 收敛时其部分和sn是级数 的和s的近似值它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数 的余项
例1讨论等比级数(几何级数)
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
例1讨论等比级数 (a0)的敛散性
解如果q1则部分和
当|q|1时因为 所以此时级数 收敛其和为
这函数的定义就是级数的收敛域
部分和
函数项级数 的前n项的部分和记作sn(x)
函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x)即
sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)
在收敛域上有 或sn(x)s(x)(n)
余项
函数项级数 的和函数s(x)与部分和sn(x)的差
rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数 的余项
6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
§111 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数给定一个数列
u1u2u3un
则由这数列构成的表达式
u1u2u3un
叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为 即
其中第n项un叫做级数的一般项
级数的部分和作级数 的前n项和
称为级数 的部分和
级数敛散性定义如果级数 的部分和数列 有极限s即