结构力学课件 结构的极限荷载

制作：周书敬 郭延华 12
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
随着荷载的增大，塑性区逐渐扩大；最后，在某截 面处弯矩首先达到极限值，形成塑性铰。
这时原体系已成为机构，其变形可以继续增大而承 载力不能增大，这种状态称为极限状态，相应的荷载称 为极限荷载FPu。 极限荷载FPu 可根据塑性铰截面的弯矩等于极限值 的条件，利用平衡方程求出。 F 例11-2-1 设有矩形截面简 支梁在跨中承受集中荷载作用， (b) 试求极限荷载FPu。
1 2 由W+Wi=0，可得 qu l 4 M u 0 4
所以有
16 M u qu l2
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结构的极限荷载
例11-3-3 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。 q 解：静力法
塑性铰位置：A截面及 跨中最大弯矩截面C 整体平衡
A l B
M
理想弹塑性模型
D

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(2) 应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之间不再 存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应 变ε与之对应。
s A A1 1
O

C
C1 B1
B
A
B
C

可见，弹塑性问题与加载路径有关。
A
0
qu
B FRB B FRB
A M 1 1 2 Mu C u FRB ( qu l M u ) l-x x l 2 qu Mu 1 FRB qu l (1) 2 l C FQC Mu x Fy 0 BC段平衡
FQC FRB qu x 0 FRB qu x (2) !? C截面弯矩特点
式中， S1、S2分别为面积A1、A2对等面积轴的静矩。
三、极限状态、极限荷载
由前述讨论可知：加载初期，各截面弯矩M<Ms(弹 性极限弯矩)；再继续加载，有某一个截面的弯矩M首 先达到Ms 时，弹性阶段结束；此时对应的荷载称作 “弹性极限荷载FPs”。 当荷载超过弹性极限荷载FPs 时，在梁中形成塑性 区。
9 FPu M u l ( Mu 3Mu )
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l/3
l/3
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(b) 弹塑性硬化模型
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(1) 残余应变
当应力达到屈服应力σs 后，从C点卸载至D点，即 应力减小为零。此时，应变并不等于零，而为εP。由下 图可以看出，ε=εs+εp，εp是应变的塑性部分，称为残余 应变。
s

A
C
B
O
s p s
怎样确定结构的极限荷载呢？必须考虑材料的塑性 变形，进行结构的塑性分析。
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结构的极限荷载
二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性，其应 力与应变关系如下：
s

A C B
s


A
C
B
O
s p s
D
O
s

D
(a) 理想弹塑性模型
一、单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，即 确定塑性铰的位置及数量。
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结构的极限荷载
塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载的增 大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有 自由度的机构从而丧失承载能力为止。
极限荷载的求解无需考虑变形协调条件、结构变形 的过程以及塑性铰形成的次序。 利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法。 利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。 例11-3-1 求梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu。 解：结构在A、C截面出现 塑性铰。 下面用两方法分别求解。
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结构的极限荷载
二、 塑性铰
当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩值Mu 不 变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有限的 相对转角，这种情况与带铰的截面相似。因此，当截面 弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了塑性铰。
塑性铰是单向铰。加载至弹塑性阶段或塑性流动阶 段后再行卸载，由于卸载时应力增量 与应变增量 仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性铰只能沿 弯矩增大的方向发生有限的相对转角；若沿相反方向变 形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再具有铰的性质。 下面分析非矩形截面时，极限弯矩的计算。
第十一章 结构的极限荷载
§11-1 概述
§11-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §11-3 超静定梁的极限荷载 §11-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理 §11-5 刚架的极限荷载
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结构的极限荷载
§11-1 概述
一、弹性设计与塑性设计
弹性计算所采用的假定条件：应力与应变为线性关 系，结构在卸载后没有残余变形。 弹性设计方法：是指利用弹性计算的结果，以许用 应力（弹性极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验 算。
(a)
P
l/2
l/2
FP
Mu
解：在跨中形成塑性铰。
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由静力平衡条件，有：
FPu l Mu 4
由此得出极限荷载FPu。
4Mu FPu l
(a) l/2
FP l/2
这几个概念非常重要。 利用矩形截面梁在纯弯曲 状态下所获得的结果，也可以 (b) 讨论其它形式截面梁。
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C2 FP＝FPu C Mu C1
B
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(2) 虚功法
右图所示为破坏机构的一种可 能位移，设跨中位移为，则有
2 1 , l 荷载作的功为 4 2 l W FPu
Mu A FPu Mu B
1

2
6 杆端弯矩作的功为 Wi ( M u1 M u 2 ) M u l 6 列虚功方程 FPu M u 0 l 这种方法称为 6Mu 由此可得： FPu “极限平衡法” l
结构设计方法分为：弹性设计方法和塑性设计方法。
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结构的极限荷载
弹性设计方法的缺点：对于塑性材料的结构，尤其 是超静定结构当最大应力到达屈服极限，甚至某一局部 已进入塑性阶段时，结构并未破坏，即是说，结构并未 耗尽全部承载能力；弹性设计没有考虑材料超过屈服极 限后结构的这部分承载力，所以弹性设计是不够经济合 理的。 塑性设计方法：首先确定结构破坏时所能承担的荷 载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载系数得出容 许荷载，并以此为依据来进行设计。 这就消除了弹性设计方法的缺点。
所以，结构的弹塑性计算要远比结构的弹性计算复 杂得多。
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结构的极限荷载
§11-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
一、 极限弯矩
下图示为理想弹塑性材料的矩形截面纯弯梁。
M M b h
随着M增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最 后到塑性阶段的过程。
实验表明：无论在哪一个阶段，平截面假定都成立。
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(1)式和(2)式联立可得
Mu 1 qu l qu x 2 l 1 Mu x l 2 qu l
C
qu
FQC Mu x C B FRB
BC段平衡
M
0
1 1 1 FRB qu x 2 2 2 2 M u FRB x qu x qu x qu x qu x 2 2 2 Mu 2 1 1 1 qu ( l ) (qu l 2 2 M u )2 2 2 qu l 8qu l 2
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各阶段截面应力的变化过程如下图所示。
(a) h b z (b) s (c) s y0 y0 (d) s
y
s
s
s
图d——截面处于塑性流动阶段。在弹塑性阶段， 图c——截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为 图b——截面还处在弹性阶段，最外纤维处应力达 塑性区，在截面内部仍为弹性区，称为弹性核。 随着M增大，弹性核高度逐渐减小最后y00。此时相 到屈服极限σs ，截面弯矩为： 应的弯矩为： y bh2 S bh2 s s 矩形截面 M M u y0 6 s Mu=1.5Ms 4 Ms 称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。 Mu 是截面所能承受的最大弯矩，称为极限弯矩。
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下图所示只有一个对称轴的截面。
(a) 形心轴 等面积轴 A B C (b) A
s
(c)
s
y0 B y0
(d)
s
C
s
s
由平衡条件知，截面法向应力之和等于零，即有： 图b——弹性阶段，应力为直线分布，中性轴通过 截面形心。 受拉区面积A1=受压区面积A2
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q A l/2 C
l/2
B
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右图所示为破坏机构的一种可能位移。
荷载虚功
1 l l W 2 qu 2 2 2 1 2 qu l 4
A Mu Mu l
2
qu B C Mu 2
杆端弯矩虚功
Wi ( M u M u 2 M u ) 4 M u
即： qu l 2 M u ) 8qu l M u (
2 2 2
2 12l 2uM u 4 M u 02 M u 或：l q 12l 2 M qu 11.314l 解得： qu 2l 4 4 2 u
Mu qu 11.657 2 l
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FP A l/2 C C l/2 B
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(1) 静力法
极限状态的弯矩图如右图。
A1 Mu
在图中三解形A1C1B是简支 A 梁在极限荷载FPu 作用下的弯矩 图，其跨中竖矩为 FPu l C 2C1 4 另一方面 C 2C1 CC1 1 AA1 1.5 M u 2 FPu l 因此有 1.5 M u 4 由此可求出极限荷载： FPu 6 M u l
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超静定结构极限荷载计算的特点：
(1) 极限荷载FPu的计算无需考虑结构弹塑性变形的 发展过程，只需考虑最后的破坏机构。
(2) 极限荷载FPu的计算无需考虑变形协调条件，只 需考虑静力平衡条件。比弹性计算简单。
(3) 极限荷载FPu不受温度变化、支座移动等因素的 影响。这些因素只影响结构变形的发展过程，不影响 FPu的数值。 例11-3-2 求梁的极限荷载， 已知极限弯矩为Mu。 解：虚功法
图c——弹塑性阶段，中性轴位置随弯矩的大小而 也就是说：在塑性流动阶段，中性轴应平分截面面 变化。 积。 图d——塑性流动阶段，受拉区和受压区的应力均 为常量(+s和-s)。
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此时，可求得极限弯矩为：
M u s ( S1 S2 )
结构的极限荷载
例11-3-4
求图示变截面梁的极限荷载。
FP A B D C
解：设AB段极限弯矩为M'u ， BC段极限弯矩为Mu。 塑性铰可能位置：A、B、D。 (1) B、D截面出现塑性铰 由弯矩图知，只有当M'u3Mu 时，此破坏形态才可能实现。
3 6 B D l l FPu M u B M u D
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FP
Mu
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§11-3 超静定梁的极限荷载
静定结构：当一个截面出现塑性铰时，结构就变成 了具有一个自由度的机构而破坏。 超静定结构(有n个多余约束)：当出现n+1个塑性铰 时，该结构变为机构而破坏；或者出现的塑性铰数虽少 于n+1个，但结构局部已经变为机构而破坏。 即：对于超静定结构，必须有足够的塑性铰出现， 才会使结构变成机构。
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结构的极限荷载
小结：
(1) 材料在加载与卸载时情形不同，加载时是弹塑 性的，卸载时是弹性的。
(2) 在经历塑性变形后，应力与应变之间不再存在 单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值， 同一个应变值可对应于不同的应力值。 (3) 要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变 形过程。