江苏省2019高考数学专题六应用题课件
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三角应用题的解题策略 (1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就 要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解． (2)解三角应用题常见的两种情况： ①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三 角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． ②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以 上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后 逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方 程(组)，解方程(组)得出所要求的解． (3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、 导数法．
解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2， 在△AMN 中，
由正弦定理得siMn N60°＝sAinNθ＝sin1A2M0°－θ，
ห้องสมุดไป่ตู้所以
AN＝4
3
3 sin
θ，
AM＝4 3 3sin(120°－θ)＝4 3 3sin(θ＋60°)．
(2)在△AMP 中，由余弦定理可得 AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝136sin2(θ＋60°)＋4－163 3sin(θ＋60°)cos(θ＋60°) ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－8 3 3sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[ 3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋230 ＝230－136sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°， 当且仅当 2θ＋150°＝270°，即 θ＝60°时，工厂产生的噪声 对居民的影响最小，此时 AN＝AM＝2.
过点 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于点 G 和 K，则 GK＝KN＝10.
连结 OG，令∠GOK＝θ0，则 sin θ0＝14，θ0∈0，π6. 当 θ∈θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sin θ 的取值范围是14，1. 答：矩形 ABCD 的面积为 800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米， △CDP 的面积为 1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ 的取值 范围是14，1.
法二：由 2a≤x≤2a0，得 a≤ 10. 所得正四棱柱的体积 V＝a2x≤a22a0＝20a≤20 10. 所以当 a＝ 10，x＝2 10时，Vmax＝20 10 dm3. 答：当 x 为 2 10时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．
题型(二)
与三角形、多边形 有关的实际应用题
解：(1)设所得圆柱的底面半径为 r dm，
则(2πr＋2r)×4r＝100，解得
r＝5
2π＋1 2π＋1 .
(2) 设所得正四棱柱的底面边长为 a dm，
则aa≤ ≤x21， 0x0－4a，
即aa≤ ≤x22x， 0.
法一：所得正四棱柱的体积 V＝a2x≤x4403x，0，0<xx>≤2 2101，0， 记函数 p(x)＝4x40x3，0，0<xx>≤2 2101.0， 则 p(x)在(0,2 10 ]上单调递增，在(2 10，＋∞)上单调递减，所 以当 x＝2 10时，p(x)max＝20 10. 所以当 x＝2 10，a＝ 10时，Vmax＝20 10 dm3. 答：当 x 为 2 10时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．
专题六
应用题
[江苏卷 5 年考情分析]
“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意 向，而应用能力的考查又是近几年能力考查的重点．江苏卷一直 在坚持以建模为主．所以如何由实际问题转化为数学问题的建模 过程的探索应是复习的关键．
应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、 不等式知识解决问题.2014 年应用考题(2)可以理解为一次函数模 型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还 是有趣的；2015、2016 年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数 求解；2016、2017 年应用考题是立体几何模型，2017 年应用考题 需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解；2018 年应用考 题是三角模型，需利用三角函数和导数知识求解．
(2)设 A1B1＝a m，PO1＝h m，则 0＜h＜6， O1O＝4h.连结 O1B1.
因为在 Rt△PO1B1 中，O1B21＋PO21＝PB12， 所以 22a2＋h2＝36，即 a2＝2(36－h2)． 于是仓库的容积 V＝V 柱＋V 锥＝a2·4h＋13a2·h＝133a2h＝236 (36h－h3)，0＜h＜6，从而 V′＝236(36－3h2)＝26(12－h2)． 令 V′＝0，得 h＝2 3或 h＝－2 3(舍去)． 当 0＜h＜2 3时，V′＞0，V 是单调增函数； 当 2 3＜h＜6 时，V′＜0，V 是单调减函数． 故当 h＝2 3时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当 PO1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．
(1)若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库 的容积最大？
[解] (1)由 PO1＝2 知 O1O＝4PO1＝8. 因为 A1B1＝AB＝6， 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积 V 锥＝13·A1B21·PO1＝13×62×2＝24(m3)； 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V 柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以仓库的容积 V＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m3)．
题型(三)
与圆有关的实际 应用题
主要考查与直线和圆有关的实际应用题， 在航海与建筑规划中的实际问题中常见.
[典例感悟]
[例 3] 一缉私艇巡航至距领海边界线 l(一条 南北方向的直线)3.8 海里的 A 处，发现在其北偏 东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃 跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是 走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均 按直线方向以最大航速航行．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3， 设甲的单位面积的年产值为 4k(k>0)，乙的单位面积的年 产值为 3k(k＞0)， 则年总产值为 4k×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k(sin θ cos θ ＋cos θ)，θ∈θ0，π2. 设 f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈θ0，π2， 则 f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sin θ＝－(2sin2θ＋sin θ－1) ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．
[演练冲关]
如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB， AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一 工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M， N(异于村庄 A)，要求 PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ. (1)将 AN，AM 用含 θ 的关系式表示出来； (2)如何设计(即 AN，AM 为多长)，使得工厂产生的噪声对居民 的影响最小(即工厂与村庄的距离 AP 最大)?
解：(1)由题意可得，L(x)＝164－x＋3 1－x－2x＝64－x4＋81－
3x(0≤x≤5)．
(2)
法
一
：
L(x)
＝
64 －
48 x＋1
－
3x
＝
67 －
x4＋81＋3x＋1
≤67
－
2 x4＋81·3x＋1＝43.
当且仅当x4＋81＝3(x＋1)，即 x＝3 时取等号．
故 L(x)max＝43. 答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植水蜜桃树获得的利润
最大，最大利润是 4 300 元.
法二：由(1)可得 L′(x)＝x＋4812－3(0≤x≤5)， 由 L′(x)＝0，得 x＝3. 故当 x∈(0,3)时，L′(x)>0，L(x)在(0,3)上单调递增； 当 x∈(3,5)时，L′(x)<0，L(x)在(3,5)上单调递减． 所以当 x＝3 时，L(x)取得极大值，也是最大值， 故 L(x)max＝L(3)＝43. 答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植水蜜桃树获得的利润 最大，最大利润是 4 300 元．
过点 O 作 OE⊥BC 于点 E，则 OE∥MN， 所以∠COE＝θ，故 OE＝40cos θ，EC＝40sin θ，则矩形 ABCD 的面积为 2×40cos θ·(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)， △CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．
(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sin θ 的 取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使 甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
[解] (1)如图，设 PO 的延长线交 MN 于点 H，则 PH⊥MN，所以 OH＝10.
主要考查与三角形有关的实际应用题，所 建立函数模型多为三角函数模型.
[典例感悟]
[例 2] (2018·江苏高考)某农场有一块农田，如 图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆 弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上 修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内 的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆 弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ.
[方法技巧] 解函数应用题的四步骤
[演练冲关]
1．(2018·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树 的产量 w(单位：百千克)与肥料费用 x(单位：百元)满足如 下关系：w＝4－x＋3 1，且投入的肥料费用不超过 5 百元．此 外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已 知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克(即 16 百元/百千 克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利 润为 L(x)(单位：百元)． (1)求利润函数 L(x)的函数关系式，并写出定义域； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最 大？最大利润是多少？
令 f′(θ)＝0，得 θ＝π6， 当 θ∈θ0，π6时，f′(θ)＞0，所以 f(θ)为增函数； 当 θ∈π6，π2时，f′(θ)＜0，所以 f(θ)为减函数． 所以当 θ＝π6时，f(θ)取到最大值． 答：当 θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
[方法技巧]
题型(一)
函数模型的构建及 求解
主要考查以构建函数模型为背景的应用题， 一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积 最值问题中.
[典例感悟]
[例 1] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓 库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱 锥 P-A1B1C1D1 ， 下 部 的 形 状 是 正 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四 棱锥的高 PO1 的 4 倍．
2.(2018·江苏六市二调)将一铁块高温熔化后制成 一张厚度忽略不计、面积为 100 dm2 的矩形薄 铁皮(如图)，并沿虚线 l1，l2 裁剪成 A，B，C 三个矩形(B，C 全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以 l1 为母线，将 A 作为圆柱的侧面展开图，并从 B， C 中各裁剪出一个圆作为圆柱的两个底面； 方案②：以 l1 为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从 B，C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与 l1 或 l2 垂直)作为正四 棱柱的两个底面． (1)设 B，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱 的底面，求底面半径； (2)设 l1 的长为 x dm，则当 x 为多少时，能使按方案②制成的 正四棱柱的体积最大？
解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2， 在△AMN 中，
由正弦定理得siMn N60°＝sAinNθ＝sin1A2M0°－θ，
ห้องสมุดไป่ตู้所以
AN＝4
3
3 sin
θ，
AM＝4 3 3sin(120°－θ)＝4 3 3sin(θ＋60°)．
(2)在△AMP 中，由余弦定理可得 AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝136sin2(θ＋60°)＋4－163 3sin(θ＋60°)cos(θ＋60°) ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－8 3 3sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[ 3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋230 ＝230－136sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°， 当且仅当 2θ＋150°＝270°，即 θ＝60°时，工厂产生的噪声 对居民的影响最小，此时 AN＝AM＝2.
过点 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于点 G 和 K，则 GK＝KN＝10.
连结 OG，令∠GOK＝θ0，则 sin θ0＝14，θ0∈0，π6. 当 θ∈θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sin θ 的取值范围是14，1. 答：矩形 ABCD 的面积为 800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米， △CDP 的面积为 1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ 的取值 范围是14，1.
法二：由 2a≤x≤2a0，得 a≤ 10. 所得正四棱柱的体积 V＝a2x≤a22a0＝20a≤20 10. 所以当 a＝ 10，x＝2 10时，Vmax＝20 10 dm3. 答：当 x 为 2 10时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．
题型(二)
与三角形、多边形 有关的实际应用题
解：(1)设所得圆柱的底面半径为 r dm，
则(2πr＋2r)×4r＝100，解得
r＝5
2π＋1 2π＋1 .
(2) 设所得正四棱柱的底面边长为 a dm，
则aa≤ ≤x21， 0x0－4a，
即aa≤ ≤x22x， 0.
法一：所得正四棱柱的体积 V＝a2x≤x4403x，0，0<xx>≤2 2101，0， 记函数 p(x)＝4x40x3，0，0<xx>≤2 2101.0， 则 p(x)在(0,2 10 ]上单调递增，在(2 10，＋∞)上单调递减，所 以当 x＝2 10时，p(x)max＝20 10. 所以当 x＝2 10，a＝ 10时，Vmax＝20 10 dm3. 答：当 x 为 2 10时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．
专题六
应用题
[江苏卷 5 年考情分析]
“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意 向，而应用能力的考查又是近几年能力考查的重点．江苏卷一直 在坚持以建模为主．所以如何由实际问题转化为数学问题的建模 过程的探索应是复习的关键．
应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、 不等式知识解决问题.2014 年应用考题(2)可以理解为一次函数模 型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还 是有趣的；2015、2016 年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数 求解；2016、2017 年应用考题是立体几何模型，2017 年应用考题 需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解；2018 年应用考 题是三角模型，需利用三角函数和导数知识求解．
(2)设 A1B1＝a m，PO1＝h m，则 0＜h＜6， O1O＝4h.连结 O1B1.
因为在 Rt△PO1B1 中，O1B21＋PO21＝PB12， 所以 22a2＋h2＝36，即 a2＝2(36－h2)． 于是仓库的容积 V＝V 柱＋V 锥＝a2·4h＋13a2·h＝133a2h＝236 (36h－h3)，0＜h＜6，从而 V′＝236(36－3h2)＝26(12－h2)． 令 V′＝0，得 h＝2 3或 h＝－2 3(舍去)． 当 0＜h＜2 3时，V′＞0，V 是单调增函数； 当 2 3＜h＜6 时，V′＜0，V 是单调减函数． 故当 h＝2 3时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当 PO1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．
(1)若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库 的容积最大？
[解] (1)由 PO1＝2 知 O1O＝4PO1＝8. 因为 A1B1＝AB＝6， 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积 V 锥＝13·A1B21·PO1＝13×62×2＝24(m3)； 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V 柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以仓库的容积 V＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m3)．
题型(三)
与圆有关的实际 应用题
主要考查与直线和圆有关的实际应用题， 在航海与建筑规划中的实际问题中常见.
[典例感悟]
[例 3] 一缉私艇巡航至距领海边界线 l(一条 南北方向的直线)3.8 海里的 A 处，发现在其北偏 东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃 跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是 走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均 按直线方向以最大航速航行．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3， 设甲的单位面积的年产值为 4k(k>0)，乙的单位面积的年 产值为 3k(k＞0)， 则年总产值为 4k×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k(sin θ cos θ ＋cos θ)，θ∈θ0，π2. 设 f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈θ0，π2， 则 f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sin θ＝－(2sin2θ＋sin θ－1) ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．
[演练冲关]
如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB， AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一 工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M， N(异于村庄 A)，要求 PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ. (1)将 AN，AM 用含 θ 的关系式表示出来； (2)如何设计(即 AN，AM 为多长)，使得工厂产生的噪声对居民 的影响最小(即工厂与村庄的距离 AP 最大)?
解：(1)由题意可得，L(x)＝164－x＋3 1－x－2x＝64－x4＋81－
3x(0≤x≤5)．
(2)
法
一
：
L(x)
＝
64 －
48 x＋1
－
3x
＝
67 －
x4＋81＋3x＋1
≤67
－
2 x4＋81·3x＋1＝43.
当且仅当x4＋81＝3(x＋1)，即 x＝3 时取等号．
故 L(x)max＝43. 答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植水蜜桃树获得的利润
最大，最大利润是 4 300 元.
法二：由(1)可得 L′(x)＝x＋4812－3(0≤x≤5)， 由 L′(x)＝0，得 x＝3. 故当 x∈(0,3)时，L′(x)>0，L(x)在(0,3)上单调递增； 当 x∈(3,5)时，L′(x)<0，L(x)在(3,5)上单调递减． 所以当 x＝3 时，L(x)取得极大值，也是最大值， 故 L(x)max＝L(3)＝43. 答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植水蜜桃树获得的利润 最大，最大利润是 4 300 元．
过点 O 作 OE⊥BC 于点 E，则 OE∥MN， 所以∠COE＝θ，故 OE＝40cos θ，EC＝40sin θ，则矩形 ABCD 的面积为 2×40cos θ·(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)， △CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．
(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sin θ 的 取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使 甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
[解] (1)如图，设 PO 的延长线交 MN 于点 H，则 PH⊥MN，所以 OH＝10.
主要考查与三角形有关的实际应用题，所 建立函数模型多为三角函数模型.
[典例感悟]
[例 2] (2018·江苏高考)某农场有一块农田，如 图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆 弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上 修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内 的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆 弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ.
[方法技巧] 解函数应用题的四步骤
[演练冲关]
1．(2018·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树 的产量 w(单位：百千克)与肥料费用 x(单位：百元)满足如 下关系：w＝4－x＋3 1，且投入的肥料费用不超过 5 百元．此 外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已 知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克(即 16 百元/百千 克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利 润为 L(x)(单位：百元)． (1)求利润函数 L(x)的函数关系式，并写出定义域； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最 大？最大利润是多少？
令 f′(θ)＝0，得 θ＝π6， 当 θ∈θ0，π6时，f′(θ)＞0，所以 f(θ)为增函数； 当 θ∈π6，π2时，f′(θ)＜0，所以 f(θ)为减函数． 所以当 θ＝π6时，f(θ)取到最大值． 答：当 θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
[方法技巧]
题型(一)
函数模型的构建及 求解
主要考查以构建函数模型为背景的应用题， 一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积 最值问题中.
[典例感悟]
[例 1] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓 库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱 锥 P-A1B1C1D1 ， 下 部 的 形 状 是 正 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四 棱锥的高 PO1 的 4 倍．
2.(2018·江苏六市二调)将一铁块高温熔化后制成 一张厚度忽略不计、面积为 100 dm2 的矩形薄 铁皮(如图)，并沿虚线 l1，l2 裁剪成 A，B，C 三个矩形(B，C 全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以 l1 为母线，将 A 作为圆柱的侧面展开图，并从 B， C 中各裁剪出一个圆作为圆柱的两个底面； 方案②：以 l1 为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从 B，C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与 l1 或 l2 垂直)作为正四 棱柱的两个底面． (1)设 B，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱 的底面，求底面半径； (2)设 l1 的长为 x dm，则当 x 为多少时，能使按方案②制成的 正四棱柱的体积最大？