(完整版)矩阵的概念教案

9.1 矩阵的概念

一、新课引入：

分析二元一次方程组的求解过程，探讨研究矩阵的有关知识：

二、新课讲授 1、矩阵的概念

（1）矩阵：我们把上述矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。

（2）系数矩阵和增广矩阵：矩阵???? ??-13

叫方程组的系数矩阵，它是2行2列的矩阵，可记作22?A 。矩阵???

? ??-81

521

叫方程组的增广矩阵它是2行3列的矩阵，可记作32?A 。

（3）方矩阵：把行数与列数相等的矩阵叫方矩阵，简称为方阵。上述矩阵是2阶方矩阵，

（3）方阵???

??10

叫单位矩阵。（5）行向量和列向量：1行2列的矩阵（1，－2）、（3 ，1）叫系数矩阵的两

个行向量，2行1列的矩阵???? ??31、???

??-12叫系数矩阵的两个列向量。

2、概念巩固

1、二元一次方程组???=-=+5431

32y x y x 的增广矩阵为，它是行

列的矩阵，可记作，这个矩阵的两个行向量为；

2、二元一次方程组???+=-=+7436

53x y y x 的系数矩阵为，它是方阵，

这个矩阵有个元素；

3、三元一次方程组??

??=-+=--=-+0132207306z y y x z x 的增广矩阵为，

这个矩阵的列向量有；

4、若方矩阵22?A 是单位矩阵，则22?A = ；

5、关于x,y 的二元一次方程组的增广矩阵为???

? ??-73

112

，写出对应的方程组；

6、关于x,y,z 的三元一次方程组的增广矩阵为???

?--82

02520

1012，其对应的方程组为

3、矩阵的变换

讨论总结：类比二元一次方程组求解的变化过程，方程组相应的增广矩阵的行发生着怎样的变换呢？变换有规则吗？请讨论后说出你的看法。

矩阵的变换：（1）互换矩阵的两行

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数（3）某一行乘以一个数加到另一行

4、例题举隅

例1、用矩阵变换的方法解二元一次方程组：???=+=+;852,

1025y x y x

例2、《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二值金十两，牛二羊五值金八两. 问每头牛羊各值金几何？

总结：用矩阵变换的方法解线性方程组的一般步骤：（1）写出方程组的增广矩阵

（2）对增广矩阵进行行变换，把系数矩阵变为单位矩阵（3）写出方程组的解（增广矩阵最后一列）

5、巩固练习课后练习9.1（1）

三、课堂小结 1.矩阵的相关概念 2.相等的矩阵 3.矩阵的变换

4.用矩阵变换的方法解线性方程组的一般步骤

四、作业布置同步练习9.1A B

概念

1.网络控制系统(Networked Control Systems):简称NCS,是指通过网络将分布于不同地理位置的传感器、控制器和执行器等节点设备连接起来,形成闭环的一种全分布实时反馈控制系统.控制器通过网络与远地被控对象交换信息,并实现对远程被控对象的控制. 从广义上讲,网络控制系统是通过各类网络（包括现场总线、工业以太网、内部局域网、Internet 等），将传感测量设备、控制器（计算机）和执行机构与设备连接起来，实现相互通信，并对一定范围内对象（过程、状态、设备）实现监测与控制，使该区域内不同地点的用户实现资源共享和协调操作. 2.NCS的优势:可以实现资源共享,远程分布控制,系统构建模块化,集成化,成本低,故障诊断和维护方便,易扩展、灵活性强,控制区域广,数据传输大,兼容性好,使用方便… 3.NCS应用领域:航空航天,生产过程控制,交通控制,信息通信,高速铁路,轨道列车,经营管理, 远程医疗,危险、特殊环境等. 4.应用意义：NCS应用于生产领域,可以提升企业的自动化水平,提高其生产效率和竞争能力;应用于国防工业,可以提供先进、高性能的无人系统,增强国防和国家安全实力. 早期的4大骨干网：中国公用计算机互联网CHINANet；中国教育与科研计算机网CERNet；中国科技网CSTNet；中国金桥信息网CHINAGBN。未来的国家骨干网：天基综合信息网天基综合信息网络是以航天飞行器作为载体,来进行信息获取、信息传输和信息处理的网络系统. 天基综合信息网络是通过星间、星地链路连接在一起的不同轨道、种类、性能的卫星、星座及相应地面设施所组成的天基网络，以及由天基网络所支持的指挥、控制、通信及其他各种应用系统的集合。 5、天基综合信息网六个特点：一体化的信息交换以及信息处理。它的优势在于信息交换的自由灵活，为了维护统一的网络环境，不同卫星内部可以采用不同的信息处理方法。⊙多种功能融合。它是一个具有多种功能和用途的天地一体化综合性网络。 ⊙它是一可实现无缝覆盖、具有巨大空间覆盖能力的三维网络。 ⊙动态立体网络结构。它是一个具有立体结构的动态网络。 ⊙它是一个高度开放的无线网络。 ⊙建立和保持星间链路及星地链路特别复杂困难。 6. NCS控制网络包括：现场总线、基于TCP/IP的嵌入式系统、工业以太网、无线通信网络、现场总线与以太网或Internet的集成等. 7. 网络控制系统类型与范畴 —按控制方式划分集中控制系统(Centralized Control System，CCS)、分散控制系统(Decentralized Control System，DCS)、分布式控制系统(Distributed Control System，DCS),又称集散控制系统、现场总线控制系统(FCS) 中央控制系统（中控），是指通过一定的专用设备(通信网络)，连接驳各类终端和系统设

苏教版高中数学高二选修4-2 矩阵乘法的概念

选修4－2矩阵与变换 2.3.1 矩阵乘法的概念编写人：编号：008 学习目标 1、熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2、理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?举例说明。归纳1：矩阵乘法法则: 归纳2：矩阵乘法的几何意义：（二）初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。练习、.?? ??????????10110110=（） A 、???? ??1110 B 、??????1011 C 、? ? ? ???0111 D 、??????0110 、已知矩阵X 、M 、N,若M =?? ? ???--1111, N =??????--3322，则下列X 中不满足:XM=N ,的一个是（） A 、X =???? ??--2120 B 、X =??????--1211 C 、X =??????--3031 D 、X =? ? ? ???-3053

二、课堂训练：例1．（1）已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ，B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB （2）已知A= 10 02 ?? ? ?? ，B= 14 23 ?? ? - ?? ，计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ，B= 10 01 ?? ? ?? ，C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2、已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M (2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。

矩阵行列式的概念与运算

知识点总结：一、矩阵的概念与运算 1、矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数

事实性知识、概念性知识和程序性知识三者在含义、作用以及教学策略设计上有根本的区别。

事实性知识、概念性知识和程序性知识三者在含义、作用以及教学策略设计上有根本的区别。首先事实性知识的含义是事实性知识又叫事实，是一种重要的知识类型，安德森等人认为是指学习者通晓一门学科或解决其中的问题所必须知道的基本要素。伊根等人认为事实性知识是一种单独出现的、存在于过去和当前多的、不具有预测价值并且只能通过观察过程而获得的内容类型。从这两个定义中，我们可以发现事实性知识有以下这些特点。一是事实性知识的点滴性或孤立性。比如我们在回答“皖”是我国哪个省份的简称的时候，我们会回答是安徽省的简称，而不需要知道安徽为什么简称“皖”、安徽的地理位置、民俗风情、土特产等方面的信息，因而这条属于点滴性的事实性知识。二是这种知识的抽象概括水平较低。如学生能陈述“1824年鸦片战争爆发”，即证明了他掌握了一条历史方面的事实性知识。三是事实性知识的基础性。如儿童习得了自家养的宠物狗及邻居家养的宠物狗的一些事实，才有可能形成“狗”的概念。概念性知识是一种较为抽象概括的、有组织的知识性类型。各门学科中的概念、原理、理论都属于这类知识。概念性知识的特点是抽象概括性和组织性。如儿童第一次见到某只猫，知道这只猫右耳朵，嘴巴旁边长有胡须，有四条腿，会喵喵的叫。这些特征对所有的猫来说是共同具有的，儿童此时的认识就超越了单个猫的特征而有了一定的概括性，也可以说，儿童形成了有关猫的概念性知识。又如，“经常进行体育锻炼的人心率较慢”描述不是我们认识的单个人的情况，但我们能够理解他们心率通常较常人慢的特点。这种知识具有一定的概括性，也属于概念性知识。猫的概念还与宠物、老鼠、动物等概念密切联系，按一定结构组织起来的就属于概念性知识。程序性知识是关于如何做事的一套程序或步骤。程序性知识与概念性知识有联系也有区别。运用程序性知识可以获得概念性知识，而对概念性知识的理解则是程序性知识运用的前提条件，但程序性知识要回答如何做的问题，而概念性知识则要回答为什么要这么做的问题。概念性知识与事实性知识的区别在地理和历史学科中体现得最为明显。如地理老师唱将地理学科知识分为“地”和“理”两方面。这里的“地”主要指具体的地理知识，而“理”则有一定的抽象概念性，因而，他们分别想当与事实性知识和概念性知识。历史学科的老师也常将历史学科的知识分为具体知识和规律性知识，前者体现历史发展过程的体事件、现象、人物活动等，后者主要指揭示历史现象本质的历史概念、历史发展的客观规律等。如洪秀全领导的太平天国运动最终失败，这是具体的知识，而其失败的原因之一是农民阶级在当时并不代表先进的生产力，这就揭示了历史现象背后的本质，属于规律性知识。历史学科中的这两类知识也分别相应于事实性知识和概念性知识。程序性知识不同于概念性知识。概念性知识是一套做事的步骤，强调的重点是如何做；而概念性知识则强调概念之间的关系，重点是在一定的关系中理解某一概念或原理。在下面的例子中体现得较为突出。一位教师执教求平均数应用题：“五年级一班分成三组投篮球。优秀组6人，共投中42个；联系组21人，共投中63个；提高组3人，共投中3个。全班平均每人投中多少个？”学生利用“总数量／总分数=平均数”这一求平均数的基本数量关系式很快列出算式平均为3.6个。对其他条件有所变换的题目，学生运用这一关系式能得心应手的做。但在如下问题上，全班的正常率只有28%：某公司要招聘20名员工，年龄40岁以下，高中以上文凭，月平均工资不低于1000元。一位受聘者第一个月只领到800元工资，他到法院上控告该公司未履行合同。这位员工的官司能打赢吗？这两道题都是关于求平均数的问题，学生的反应为何不同？第二题题目则要求学生具备有关平均数的概念性知识，即学生要理解一些列原始数据的大小与平均数大小之间的关系。班上大多数学生正是缺少这种对平均数理解的概念性知识才不能正确回答后一道题，相反，他们对求平均数的程序性知识则掌握得很好。对概念性知识的理解是运用程序性知识的前提条件。在学生遇到新颖的问

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案第一章线性方程组与矩阵授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

下定义和作诠释的区别

如何区别下定义和作诠释？一、什么是下定义下定义是用一种基本固定的判断格式，简明地对说明对象的本质属性加以概括的说明方法。作用：能够起到准确简明地科学地说明事物的本质特征。例：统筹方法，是一种合理安排工作进程的数学方法。二、什么是作诠释作诠释对事物进行解释的说明方法。作用：通俗易懂、给人以清晰的认识，更便于理解。例“铀，是银白色的金属”就采用了作诠释，若颠倒，“银白色的金属是铀”就不准确了，因为“银”也是银白色的金属。三、区分下定义和作诠释： 1、下定义：甲是乙＝乙是甲√，作诠释：甲是乙＝乙是甲×。下定义：要求完整严密，句子前后颠倒，表意准确；作诠释：不要求完整严密，句子前后颠倒，表意有误 2、从特点上看（1）下定义要准确简明，概括性较强；作诠释则具体而通俗，有时带有一定的描述性（2）从科学性的角度看

作诠释的语言比不上下定义（3）从内容上看下定义着眼于事物的本质属性，作诠释注重于外观的表象、性质和特点。四、判断说明方法，下定义还是作诠释？ 1、食物是一种能构成躯体和供应能量的物质。（下定义） 2、激光是一种颜色单纯的光。（作诠释） 3、在太阳和月亮的周围，有时出现一种美丽的七彩光圈，里层是红色的，外层是紫色的，这种光圈叫做晕。（作诠释） 4、日月光有时经过冰晶反射后进入人眼，也会形成白色的晕，由于冰晶取向多样，折射反射过程复杂，就形成了多种多样晕的现象。（作诠释） 5、晕是悬浮在大气中的冰晶(卷状云、冰雾等)对日光或月光的折射和反射作用而形成的呈环状、弧状、柱状或亮点状的光学现象。（下定义） 6、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。（下定义） 7、在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形。（下定义）五、下定义公式被定义概念＝种差＋属概念 “属概念”就是被定义概念所属的大类，也就是归类；“种差”就是在大类之中，被定义概念与同类相邻概念间的主要差别。

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。 3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此

都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：（1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA

第一讲矩阵的概念、运算

第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求：理解矩阵概念；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点：矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21112 11 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ??????? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵），简记为n A 。只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即

),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是不同的. ??????? ??=100010001 n I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B , 规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时逆矩阵的概念

第09课时逆矩阵的概念一、要点讲解 1．二阶逆矩阵的概念： 2．逆矩阵的求法：二、知识梳理 1．对于二阶矩阵，若有______________________，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．在六种变换中，__________变换一定不存在逆矩阵． 3．一般地，对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠?????? ，它的逆矩阵为1A -=________________． 4．若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1=____________． 5．已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB = AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则___________．三、例题讲解例1．对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换(先T A 后 T B )的结果与恒等变换的结果相同？ (1)以x 为反射轴的反射变换； (2)绕原点逆时针旋转60o作旋转变换； (3)横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； (4)沿y 轴方向，向x 轴作投影变换； (5)纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x + 2y ，y ）．例2．用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不存在，请说明理由． (1)0110??????=A ； (2)11210??????????=B ； (3)0110??-????=C ； (4)1010?????? =D ；例3．求矩阵3221??? ???=A 的逆矩阵．四、巩固练习 1. 已知矩阵122301,,231210??????? ?????--??????===B C A ，求满足AXB = C 的矩阵X ．

概念、含义、定义和涵义的区别复习进程

概念、含义、定义和涵义的区别

概念、含义、定义和涵义的区别概念、定义、含义和涵义之间到底有什么区别啊？我们在使用的过程中很不在意，但是貌似他们之间又有着很大的区别。含义是指：（词句等）所包含的具体意义。含义和涵义的意思具体相同，无异议。概念的含义比定义广一、概念----理性思维的基本形式之一，是客观事物的本质属性在人们头脑中的概括反映。人们在感性认识的基础上，从同类事物的许多属性中，概括出其所特有的属性，形成用词或词组表达的概念。概念具有抽象性和普遍性，因而能反映同类事物的本质。二、定义----对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的确切表述。最有代表性的定义是“属+种差”定义，即把某一概念包含在它的属概念中，并揭示它与同一个属概念下的其他种概念之间的差别。如“人”在“动物”这一属概念下，人和其他动物的差别是“能制造生产工具”，从而得出“人是能制造生产工具的动物”这一定义。三、含义----（字、词、话语等）里边所包含的意义。（在以上这些词语解释中所含有的门派学说里生硬甚至错误的归纳性术语个人是予以否定的）由此可见，“概念”与“定义”的区别是：

1、“概念”抽象普遍，“定义”具体确切。 2、“定义可包含概念”或“定义是概念的细化和引申/延伸。 5 整数集为什么用Z 自然数集为什么用N 实数集为什么用R 复数集为什么用C 有理数集为什么用Q 谢谢了~~ 1.用Q表示有理数集: 由于两个数相比的结果(商)叫做有理数，商英文是quotient，所以就用Q了 2.用Z表示整数集: 这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。 1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环）。她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时候起整数集就用Z表示了。 3.用N表示自然数集: 自然数：Natural number 所以就用N了 4.用R表示实数集：实数：Real number 所以就用R了 5.用C表示复数集：复数：Complex number 所以就用C了

矩阵论课程教学大纲

《矩阵论》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课考核方式：考试开课专业：工科各专业开课学期：1 总学时：36学时总学分： 2学分二、课程目的和任务矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；

2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。五、教学方法及手段（含现代化教学手段）本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使

42矩阵教案

§2.1.1矩阵的概念教学目标：知识与技能：1.掌握矩阵的概念以及基本组成的含义(行、列、元素) 2.掌握零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念. 3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来, 用矩阵表示丰富的问题, 体会矩阵的现实意义. 过程与方法：从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义教学过程：一、问题情境: 设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP → (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为???? ?? 2 3 2 （1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示： A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．图——矩阵 2 3 2 3 ???? ??80 90 86 88

二、建构数学矩阵：记号：A ，B ，C ，…或（a ij ） (其中i,j 分别元素a ij 所在的行和列) 要素：行——列——元素矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。特别：（1）2×1矩阵，2× 2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵（2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12] 列矩阵：???? ?? a 11 a 21 ，一般用，等表示。（4）行向量与列向量三、教学运用例1、用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) . 思考: 如果用矩阵M=00??? 12 3 2 40? ?? 表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征? 例2、某种水果的产地为A 1 , A 2 , 销地为B 1 , B 2 , 请用矩阵表示产地A i 运到销地B j 的水果数量(a ij ), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 . 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 A B C 0 3 1 3 0 0 1 0 2

矩阵的概念和运算

1。4 矩阵的概念和运算教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉教学内容：前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。但是Cramer 法则有它的局限性： 1.0 2. D ≠?? ?所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数）同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。一．矩阵的概念 123123123 23124621x x x x x x x x x -+=?? -+-=-??+-=? 它的系数行列式 1 232 4601 1 1 D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示： 123124621111A ?-? ?=--- ? ?-?? 这正是“换汤不换药”，以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。 123246111A -?? ?=-- ? ?-?? 这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。关于以上线性方程组我们后面将介绍。更一般地，对于线性方程组：

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时矩阵的概念

第01课时矩阵的概念一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等：二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ．三、例题讲解例1．用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)．例2．设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ．例3．已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式．四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．

概念与判断

概念与判断 1 逻辑学所说的概念是指反映客观事物的本质属性的思维形式。概念就是事物的本质属性在人头脑中的反映，是对客观事物的本质的认识。例如，“人”这个概念是指能够制造和使用工具、能思维会说话的高级动物。概念的形成，需要借助语言（语词）；概念的表达也需要借助语言（语词）。因此，概念与语言有较为密切的联系。这种联系表现为概念是语言（语词）的思想内容，语言（语词）则是概念的表现形式。汉语中，有的词（语词）表示概念，有的词不表示概念。一般情况下，汉语的实词有实在意义，能表示概念。汉语的虚词没有实在意义，一般不能用于表示概念，不充当句子成分。有的词在不同的情况和语言环境中可以表达不同的概念。例如：“你干得漂亮！”这儿的“漂亮”指好、成功。“她长得真漂亮！”这儿的“漂亮”指美丽、貌美。有的时候，同一个概念也可以用不同的词语来阐释表达。如：“父亲”和“爸爸”指同一对象；“自来水笔”和“钢笔”指同一文具。 2 概念包括内涵和外延。概念要明确，就是要求把概念的内涵和外延明确。所谓内涵，指概念反映的事物的本质属性。例如“书”的内涵是指装订成册的著作。所谓外延，是指概念所包括的全部对象，例如“书”的外延包括教科书、工具书、知识书、科技书、文艺书等一切著作。内涵和外延的关系，表现为：内涵的增加或者减少会引起外延的缩小或扩大。换句话说，一个概念，内涵越少，外延越大；内涵越多，外延越小。二者成反比例关系。简单说，概念的内涵和外延的关系，反映了事物的一般性和个别性的关系。概念不明确，会使语言（语句）表达产生混乱和毛病。 3 (1)从概念的内涵方面一般可划分为： ①具体概念。所谓具体概念，是指反映具体人或事物的概念。例如，“新中国”、“北京”、“电视机”、“工人”、“农民”等。 ②抽象概念。所谓抽象概念，是指反映事物的特性（特点）的概念。例如，“思想”、“道德”、“品质”、“电”、“二万”、“形容词”等。这一类概念在人的头脑中形成独立思维对象，因为它是从事物中分出来的特性。它们常常表现为语法中的修饰、限制成分与中心词的关系。 (2)从概念的外延方面一般可划分为： ①单独概念。所谓单独概念，是指单独事物的概念，它的外延一般只涉及一个特有的事物。例如，“茅盾”、“巴金”、“《子夜》”、“《家》”、“阿Q”等。这种单独概念在语法中表现为短语（词组），且这些短语（词组）一般有定型的结构方式。例如，“伟大的祖国”、“人民万岁”、“杯弓蛇影”等。 ②普遍概念。所谓普遍概念，是指反映一个类别（类型）事物的概念。它的外延涉及一类事物中的每一个“成员”，即每一个“分子”。例如，“共青团员”，这个普遍概念，它可指“团员”这一类事物，可指一个姓王的男的共青团员，也可指一个姓汪的女的共青团员。 ③集合概念。所谓集合概念，是指反映集体（群体）事物的概念，它的外延一般涉及到这一类事物的整体。例如，“部队”，指的是许多军事人员的集合体，不指其中某一个战士或军官。 4

高等代数张禾瑞版教案第章矩阵

第五章矩阵教学目的： 1.掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。 2.了解几种特殊矩阵的性质。教学内容： 5.1矩阵的运算 1矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。令F是一个数域。用F的元素a ij作成的一个m行n列矩阵叫做（a ij 一个 F (a+b)A=Aa+Ba； a(bA)=(ab)A；这里A,B和C表示任意m*n矩阵，而a和b表示F中的任意数。利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法： A—B=A+（—B）。于是有 A+B=C?A=C—B。由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。 4乘法

定义3数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij )的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第I 行第j 列（I=1,2,…，m;j=1,2,…p ）的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和： c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。我们看一个例子: =??? ? ???-+?+-?-?-+?+??+?-+-?-?+?-+?0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =???? ??--81570. 5 矩阵乘法的运算规律： B np 和B nm A nn 那么u il 因此(1)l (2)111l k k ===由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律. 我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质. 我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵 1 0 0 01 0 ………… 001 叫做n 阶单位距阵，记作I n ,有时简记作I. I n 显然有以下性质： I n A np =A np ;A mn I n =A mn . 距阵的乘法和加法满足分配律：

矩阵乘法的概念

矩阵乘法的概念 The latest revision on November 22, 2020

2006-2007后塍高中高二下学期数学教案（矩阵乘法的概念）命题人：瞿蕴雅教学目标： 1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2．理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换的角度来看,它表示的是原来两个矩阵的连续两次变换。教学重点：矩阵乘法的概念。教学过程：一、问题情境问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样二、建构数学 1.矩阵乘法法则: 2.矩阵乘法的几何意义： 3．初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。三、数学应用 1．例题例1:（1）已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ，B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB （2）已知A= 10 02 ?? ? ?? ，B= 14 23 ?? ? - ?? ，计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ，B= 10 01 ?? ? ?? ，C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2:已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M

(2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。例3: 已知A= cos sin sin cos αα αα - ?? ? ?? ，B= cos sin sin cos ββ ββ - ?? ? ?? ，试求AB,并对其几何意义给予解释。 2．课堂练习 P46 1,2 四、回顾小结 1. 二阶矩阵乘法运算法则 2. 二阶矩阵乘法的几何意义五、课外作业同步导学

如何区分下定义与作诠释

如何区分下定义与作诠释人教版八年级语文上册第三、第四单元是说明文单元。学生们初学说明文,对说明方法的判断有一定难度,尤其是对有部分相似性、区别度小的下定义与作诠释的说明方法。如何迅速准确地区分这两种说明方法呢?可依据以下三点来进行判断。 1.根据定义来判断。下定义,就是运用简洁、准确、周密的语言，揭示这一事物区别于其他事物属性的说明方法。作诠释,就是通俗地介绍或解说事理特点的说明方法。例：根据这两者的定义界定,阅读下文,完成文后习题。我国传统的桥梁有三大基本形式：用梁作为桥身主要承重结构的叫“梁桥”，用拱作为桥身主要承重结构的叫“拱桥”，用悬挂的缆索作为桥身主要承重结构的叫“悬索桥”，亦称“吊桥”。在人类有历史记载以前，就有这三种桥。河边的大树被风吹倒，恰巧横跨河上，就成为“梁桥”。两山间有瀑布，中为石脊所阻，水穿石隙成孔，逐渐扩大，孔上面的表层，磨成圆形就成了“拱桥”。一群猴子过河，一个先上树，第二个上去抱着它，第三个又上去抱着第二个，如此一个一个上去连成一串，把地上的猴子甩过河去，尾巴上的猴子抱住对岸一棵树这就成为一串“猴桥”，形式上就是现代的“吊桥”。所有千变万化的各种桥，都由此脱胎而来。

（1）第一段的说明方法是和。（2）第二段的说明方法是和。 2.根据所揭示概念的范围来判断。下定义是揭示概念的全部内涵；作诠释比下定义自由灵活，它不要求完整地揭示事物的全部本质特性，只揭示概念的一部分内涵即可。如： A桥梁是架在水面上或空中以便行人、车辆等通行的建筑物。 B每两个石拱之间有石砌桥墩，把11个石拱连成一个整体。由于各拱相连，所以这种桥叫做联拱石桥。 A句通过下定义，指出桥梁的性质特点，使它与别的事物区别开来。 B句只介绍“联拱”的特点，所以属于作诠释。另如，《向沙漠进军》中对沙漠的说明：沙漠是人类最顽强的敌人之一。有史以来，人类就同沙漠不断的斗争。但是从古代的传说和史书的记载来看，过去人类没有能征服沙漠，若干住人的地方反而为沙漠所并吞。这段说明文的第一句，不是下定义，因为这一句没有解释沙漠的本质特性。不过，它形象地阐明了沙漠与人类的关系，也是对沙漠的一种诠释。又如：珠江，是我国南方的大河。过去在广州市内这段的江中有一海珠石，所以把流经广州的一段河道叫珠江，并作为西江、北江、