矩阵的概念及其线性运算

第二章 矩阵

§2.1 矩阵的概念及其线性运算

学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念

矩阵是一张简化了的表格,一般地

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素

用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()

i j

m n

a ⨯表示。矩阵既然是一张表，就不能象行

列式那样算出一个数来。

所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。

两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。

如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。

在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=100010001

E n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列

向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。

二．矩阵的加、减运算

如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230321A ， ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=035234B

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++++-=+20555302)3(35023324

1B A

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-26511502)3(35023324

1B A

三．矩阵的数乘

矩阵A 与数k 相乘记为A k 或A k 。A k 表示将k 乘A 中的所有元素得到的矩阵。例如

⎪

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=150342A ，⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯=315091261353033343233A

当1-=k 时，我们简记(1)A A -=-，称为A 的负矩阵。

矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。

例 2.1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=864297510213A ，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=612379154257B ，已知

B X A =+2，求X 。

解 在等式中移项得 A B X -=2，再除以2得 )(2

1

A B X -=。通过心算立得

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=12712111222232

X

例2.2 设A 为三阶矩阵。已知2-=A ，求行列式A 3的值。

解 设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=32

1

321

321

c c c b b b a a a A ，则⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=32

1321

321

3333333333c c c b b b a a a A 。 显然行列式A 3中每行都有公因子3，因此

542733321

3

21

3-===A A c c c b b b a a a 。

§2.2 矩阵的乘法与转置

一．矩阵的乘法

如果矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相同，即A 是s m ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，那么A 、B 可以相乘，记为AB 或B A ⋅，称为矩阵A 、B 的乘积。C AB =表示一个n m ⨯矩阵，矩阵C 的构成规则如下：

B 的第1列元素依次与A 的各行元素相组合，形成

C 的第1列元素；B 的第2列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第2列元素；……以此类推，最后B 的第n 列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第n 列元素。这里

的“组合”表示两两相乘再相加。

若记()

s

m j

i a ⨯=A ，()

n

s j

i b ⨯=B ，()

n

m j

i c ⨯=C ，且AB C =，则乘积矩阵C

的元素可用公式表示为

∑==s

k j k k i j i b a c 1

（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ） （2.1）

例如 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-01232112413013 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯-+⨯=013211)2(22112043114)2(12411033013)2(023100)1(331)1()2(32)1(13⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=

63

4329036971 利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

22221211

1212111 （2.2） 是含有m 个方程、n 个变量的线性方程组，若记

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211A ，⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n x x x 21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21b 则方程组可表示为矩阵方程

b Ax = （2.3）

这个矩阵方程两端都是1⨯m 矩阵，因此相当于m 个等式，恰好是（2.2）

式的m 个方程。（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。以后，矩阵形式（2.3）将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中A 称为线性方程组的系数矩阵，x 称为变量列，b 称为常数列。