圆锥曲线中点弦问题(点差法) - 精讲

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

例1、 过椭圆14

162

2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2、 过椭圆136

642

2=+y x 上一点A （-8，0）作直线交椭圆于P 、Q 两点，求PQ 中点的轨迹方程。

例3、已知双曲线122

2

=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

例4、已知椭圆125

752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

三、弦中点的坐标问题

例5 求直线1-=x y 被抛物线x y 42

=截得线段的中点坐标。

例6、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

四、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例7、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2

1，求椭圆的方程。

五、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例8、已知椭圆13

42

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

例1、 过椭圆14

162

2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k

又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是

1

4)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21

4)2(422221=+-=+k k k x x ，解得21-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，

又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642

222=+y x ，

两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以

21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即2

1-=AB k ，故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)，

因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16

)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，

由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2、 过椭圆136

642

2=+y x 上一点A （-8，0）作直线交椭圆于P 、Q 两点，求PQ 中点的轨迹方程。

解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），

则有⎩⎨⎧=+=+576

16957616922222121y x y x ，两式相减得0)(16)(922212221=-+-y y x x ， 又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ，

所以y x x x y y 1692121=--，而)

8(0---=x y k PQ ，故8169+=x y y x 。 化简可得01672922=++y x x （8-≠x ）。

解法二：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ），由281-=

x x ，21y y =可得821+=x x ，y y 21=， 又因为Q 在椭圆上，所以136642121=+y x ，即136

464)4(42

2=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为19

16)4(2

2=++y x （8-≠x ）。 例3、已知双曲线122

2

=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B

则221=+x x ，221=+y y ，122121=-y x ，122

222=-y x 两式相减，得0))((2

1))((21212121=-+-

-+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩

⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆ 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

例4、已知椭圆125

752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，

则x x x 221=+， y y y 221=+ 又 125752121=+x y ，125

752

222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y