概率论与数理统计习题 1
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50
样本空间里含的样本点数有250个. 这样 的原始的样本空间不便于我们表达和讨 论有关事件的研究.
该如何简化呢?
答案是根据研究目的引进随机变量, 从而建立原 始样本点和数的关系, 得到一个新的由数构成的 简单的样本空间.
例如在本例中, 我们感兴趣的数量仅仅是 50个人中同意该项政策的人数. 记X为50 个人中同意该项政策的人数, 则对于每一 个原始样本空间的样本点, X有唯一的数 与之相对应.
(2) “车间里同一时刻发生故障的机床台数不 超过m台”可用{X≤k}来表示
这样, 我们对随机事件的研究就可以转化成对随机 变量的研究.
正如研究随机试验那样, 我们不仅要知道随机试验可能 出现哪些结果, 更要了解这些结果出现的概率有多大.
同样对随机变量, 我们不仅要知道它取哪些值, 还要知道它取这些值的概率, 也就是该随机变量 的概率分布.
随机变量的定义: 设Ω={ω} 为试验的样本空间, 如 果对每个ω∈Ω, 都对应一个实数X(ω), 则称 这样的实值函数X(ω)为随机变量.
X(ω)可理ຫໍສະໝຸດ Baidu成样 本点ω的某一个数
字特征
随机变量常用大写字母X, Y, Z等来表示, 其取值常 用相应的小写字母x, y, z来表示.
随机变量的一些例子如:
第二章 随机变量及其分布
这一章里我们介绍概率统计的一个非常重要 的概念: 随机变量.
借助于随机变量, 概率统计 对随机现象的研 究才能完全量化的以较统一的方式进行, 从而使概率统计的研究能够向深入发展.
第一节 随机变量及其分布
1. 随机变量的概念 2. 随机变量的分布函数 3. 离散随机变量的概率分布列 4. 连续随机变量的概率密度函数
故 X是一个离散随机变量, 可求得X的概率分布为
x
0123
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
所以根据分布函数的定义有: 当x<0时, F(x)=P(X≤x)=0 当0≤x<1时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=1/8
当1≤x<2时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=1/2
Random Variable).
例如例一中的X是一个离散随机变量, 灯泡的寿 命T是一个连续随机变量.
有了随机变量的概念后, 随机事件就可以通过随机 变量来表示.
例如在维修人员的配备问题中, 用X表示同一时刻发生故障 的台数, 则X是一个随机变量. 有关事件如
(1)“同一时刻恰有k台机床发生故障”可用 {X=k}来表示;
• 但在很多的情况下, 样本空间的样本点本身不是 数, 而且数量多, 这会对相关事件的深入研究造 成麻烦. 而且, 我们感兴趣的往往不是样本点本身, 而仅仅是其某一个数字特征.
例如, 对50个人进行对于某项政策是否同意的民 意调查, 其每一个样本点是50个“同意”或“不 同意”的排列, 如
(同意, 不同意,不同意,同意,同意,同意, …不同意)
定义 设X是一个随机变量, 对任意实数x, 称
F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的分布函数, 记为 X~F(x).
分布函数刻画的是变量X落在(-∞,x]这种区间里的 概率.
那么其它种类的区间呢?
X落在其它种类区间的概率均可以用F(x)来表示. 如:
P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)
当2≤x<3时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/8
当x≥3时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1
综上所述, X的分布函数为:
0 F ( x) 11//28
7/8 1
当 x 0 当0 x 1 当1 x 2 当2 x 3 当3 x
P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)
这方面更详细的讨论待我们介绍完分布函数的性 质再继续.
例一. 连续抛一枚硬币三次, 定义X=获得的正 面的次数. 求X的分布函数.
解: X的取值情况如下表
ω HHH HHT HTH THH TTH THT HTT TTT X(ω) 3 2 2 2 1 1 1 0
所以说, 随机变量的引进大大方便了对概率的研究.
以上的例子表明, 在随机试验里, 有这样的一种 量X, 它要么就是试验结果即样本点, 要么跟试 验结果相关, 它随着试验结果的不同而取不同 的值, 所以是变量. 这就是随机变量的通俗的定 义.
从数学的角度看, 随机变量X本质上是试验结 果即样本点的函数。故有如下的数学的定义.
所以, X是样本点的函数, 根据试验结果的 不同取不同的值, 我们把X称为一个随机 变量.
该例中引入随机变量的好处有哪些?
引入变量X后, X对应的样本空间为{0,1,…,50}, 与原 始样本空间相比有两个优点: (1)数量化, (2)元素少; 而且用原始样本空间难以表达的事件, 如有一半人同 意该项政策, 可以用随机变量简单表示成{ω∈Ω: X(ω)=25}, 或缩写成 {X=25}.
1. 随机变量的概念
为什么要引进随机变量?
上一章里, 我们介绍了随机现象, 样本空间, 事件 及其概率等知识, 知道了随机现象的样本空间的 类型很多, 即其样本点的类型和数量在不同的研 究中有很大差别:
• 有时样本空间的样本点本身就是数量. 如掷一颗 骰子, 样本点是出现的点数; 电视机的寿命, 样 本点是电视机可能的寿命.
概率分布的定义
随机变量X的可能取值和它取这些值的概率称为X 的概率分布.
本章的重点就是考察随机变量的概率分布. 概率分 布由于随机变量的特点有不同的表达方式, 下面首 先介绍一个通用的工具:随机变量的分布函数.
2. 随机变量的分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称 cdf)
(1) 同时掷两只骰子, 令X=掷得的数 字和;
(2) 连续抛一枚硬币25次, 令Y=25次 中的到的正面的次数.
变量的分类
• 假如一个随机变量只能取有限个或可列无穷个值, 则称其为离散随机变量(Discrete Random Variable). • 假如一个随机变量的可能取值充满数轴的一个区 间, 如(a,b), 则称其为连续随机变量(Continuous
样本空间里含的样本点数有250个. 这样 的原始的样本空间不便于我们表达和讨 论有关事件的研究.
该如何简化呢?
答案是根据研究目的引进随机变量, 从而建立原 始样本点和数的关系, 得到一个新的由数构成的 简单的样本空间.
例如在本例中, 我们感兴趣的数量仅仅是 50个人中同意该项政策的人数. 记X为50 个人中同意该项政策的人数, 则对于每一 个原始样本空间的样本点, X有唯一的数 与之相对应.
(2) “车间里同一时刻发生故障的机床台数不 超过m台”可用{X≤k}来表示
这样, 我们对随机事件的研究就可以转化成对随机 变量的研究.
正如研究随机试验那样, 我们不仅要知道随机试验可能 出现哪些结果, 更要了解这些结果出现的概率有多大.
同样对随机变量, 我们不仅要知道它取哪些值, 还要知道它取这些值的概率, 也就是该随机变量 的概率分布.
随机变量的定义: 设Ω={ω} 为试验的样本空间, 如 果对每个ω∈Ω, 都对应一个实数X(ω), 则称 这样的实值函数X(ω)为随机变量.
X(ω)可理ຫໍສະໝຸດ Baidu成样 本点ω的某一个数
字特征
随机变量常用大写字母X, Y, Z等来表示, 其取值常 用相应的小写字母x, y, z来表示.
随机变量的一些例子如:
第二章 随机变量及其分布
这一章里我们介绍概率统计的一个非常重要 的概念: 随机变量.
借助于随机变量, 概率统计 对随机现象的研 究才能完全量化的以较统一的方式进行, 从而使概率统计的研究能够向深入发展.
第一节 随机变量及其分布
1. 随机变量的概念 2. 随机变量的分布函数 3. 离散随机变量的概率分布列 4. 连续随机变量的概率密度函数
故 X是一个离散随机变量, 可求得X的概率分布为
x
0123
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
所以根据分布函数的定义有: 当x<0时, F(x)=P(X≤x)=0 当0≤x<1时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=1/8
当1≤x<2时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=1/2
Random Variable).
例如例一中的X是一个离散随机变量, 灯泡的寿 命T是一个连续随机变量.
有了随机变量的概念后, 随机事件就可以通过随机 变量来表示.
例如在维修人员的配备问题中, 用X表示同一时刻发生故障 的台数, 则X是一个随机变量. 有关事件如
(1)“同一时刻恰有k台机床发生故障”可用 {X=k}来表示;
• 但在很多的情况下, 样本空间的样本点本身不是 数, 而且数量多, 这会对相关事件的深入研究造 成麻烦. 而且, 我们感兴趣的往往不是样本点本身, 而仅仅是其某一个数字特征.
例如, 对50个人进行对于某项政策是否同意的民 意调查, 其每一个样本点是50个“同意”或“不 同意”的排列, 如
(同意, 不同意,不同意,同意,同意,同意, …不同意)
定义 设X是一个随机变量, 对任意实数x, 称
F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的分布函数, 记为 X~F(x).
分布函数刻画的是变量X落在(-∞,x]这种区间里的 概率.
那么其它种类的区间呢?
X落在其它种类区间的概率均可以用F(x)来表示. 如:
P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)
当2≤x<3时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/8
当x≥3时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1
综上所述, X的分布函数为:
0 F ( x) 11//28
7/8 1
当 x 0 当0 x 1 当1 x 2 当2 x 3 当3 x
P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)
这方面更详细的讨论待我们介绍完分布函数的性 质再继续.
例一. 连续抛一枚硬币三次, 定义X=获得的正 面的次数. 求X的分布函数.
解: X的取值情况如下表
ω HHH HHT HTH THH TTH THT HTT TTT X(ω) 3 2 2 2 1 1 1 0
所以说, 随机变量的引进大大方便了对概率的研究.
以上的例子表明, 在随机试验里, 有这样的一种 量X, 它要么就是试验结果即样本点, 要么跟试 验结果相关, 它随着试验结果的不同而取不同 的值, 所以是变量. 这就是随机变量的通俗的定 义.
从数学的角度看, 随机变量X本质上是试验结 果即样本点的函数。故有如下的数学的定义.
所以, X是样本点的函数, 根据试验结果的 不同取不同的值, 我们把X称为一个随机 变量.
该例中引入随机变量的好处有哪些?
引入变量X后, X对应的样本空间为{0,1,…,50}, 与原 始样本空间相比有两个优点: (1)数量化, (2)元素少; 而且用原始样本空间难以表达的事件, 如有一半人同 意该项政策, 可以用随机变量简单表示成{ω∈Ω: X(ω)=25}, 或缩写成 {X=25}.
1. 随机变量的概念
为什么要引进随机变量?
上一章里, 我们介绍了随机现象, 样本空间, 事件 及其概率等知识, 知道了随机现象的样本空间的 类型很多, 即其样本点的类型和数量在不同的研 究中有很大差别:
• 有时样本空间的样本点本身就是数量. 如掷一颗 骰子, 样本点是出现的点数; 电视机的寿命, 样 本点是电视机可能的寿命.
概率分布的定义
随机变量X的可能取值和它取这些值的概率称为X 的概率分布.
本章的重点就是考察随机变量的概率分布. 概率分 布由于随机变量的特点有不同的表达方式, 下面首 先介绍一个通用的工具:随机变量的分布函数.
2. 随机变量的分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称 cdf)
(1) 同时掷两只骰子, 令X=掷得的数 字和;
(2) 连续抛一枚硬币25次, 令Y=25次 中的到的正面的次数.
变量的分类
• 假如一个随机变量只能取有限个或可列无穷个值, 则称其为离散随机变量(Discrete Random Variable). • 假如一个随机变量的可能取值充满数轴的一个区 间, 如(a,b), 则称其为连续随机变量(Continuous