管理运筹学 第四章整数规划与指派问题

则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j c j x j ( x j 0) Cj(xj ) ( x j 0) 0
目标函数是总费用最小 定义
1, x j 0 yj 0, x j 0
min z C j ( x j )
x 1 1 （LP1） z1 = 16 x 1=1 , x 2 =3 x 1 2 （LP2） z2 = 18.66 x 1 = 2 , x 2 =10/3
LP1有整数解,已探明,剪枝,定下界z1=16
LP2: z2=18.66 z1 =16,可能有比z1更优的解
分枝:在LP2 中加入x2 3 x2 4 分成(LP3),(LP4)
max z 4 x1 5 x2 6 x3 100 y1 150 y2 200 y3 2 x1 4 x2 8 x3 500 2 x1 3 x2 4 x3 300 x1 2 x2 3 x3 100 x1 My1 x2 My2 x3 My3 x1 0, x2 0，x3 0且为整数 y1 , y2 , y3 0或1
本章内容的安排
第一节 整数线性规划问题的数学模型 第二节 整数规划的求解方法*
第三节 指派问题及匈牙利解法
第一节 整数线性规划问题的数学模型
1. 引例 2. 逻辑变量在整数规划建模中的作用
3. 整数规划问题的特征与性质
4. 整数规划模型的分类
1. 引例
例1（装载问题） 有一辆卡车的最大载重量为b 吨,现有n 种货物可供装 载。设第j 种货物每件重aj 吨,每件的装载费用为cj 元 (j=1,…n)。问应该采用怎样的装载方案才能使卡车一 次装载货物的收入最大? 解:设xj为卡车装载第j 种货物的件数(j=1,2,…,,n), z表 示卡车一次装载的收入,则该问题的数学模型为 max z = c1x1 + c2x2+…+ c n x n
资源 金属板（张） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8 资源拥有量 500
劳动力（个）
机时（小时）
2
1
3
2
4
3
300
100
利润
4
5
6
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润 引入逻 辑变量
1, x j 0 yj 0, x j 0 j 1, 2, 3
先求放松的LP的最优解，若放松LP问题无解，则原 ILP问题也无解。 若放松LP问题的最优解符合整数要求，则是原ILP的 最优解； 若放松LP问题的最优解含非整数分量，则将ILP问题 分为几个子问题，试图做到：要么找到某个子问题的 最优解，要么判断原问题ILP的最优解一定不在子问 题的可行区域内。

4. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 则称为纯整数规划 (All IP)； 混合整数规划

仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 划(Mixed IP)； 0-1整数规划
要求决策变量只能取0或1值，则称为0-1规划(0-1 Programming)。
第二节 整数规划的求解方法
待定地址 A1 A2 A3 A4 A5 投资总额
投资金额 （万元） 年利润 （万元）
20 10
30 25
25 20
40 25
45 30
100
解：设
1 在A j 投建健身中心 x j 0 不在A 投建健身中心 j
j 1, 2, 3, 4, 5
则该问题的数学模型为
Max z 10 x1 25 x2 20 x3 25 x4 30 x5 20 x1 30 x2 25 x3 40 x4 35 x5 100 x1 x2 x3 2 s.t. x4 x5 1 x j 0, 1 j 1, 2, 3, 4, 5
s.t.
a1x1 + a2x2+…+ a n x n b
x j 0 且为整数(j=1,2,…,,n)
例2.（选址问题—相互排斥的计划） 某公司准备投资100万元在甲、乙两座城市修建健身中心， 经过多方考察，最后选定A1, A2, A3, A4和A5五个位置， 并且决定在甲城市的A1、 A2、 A3三个位置中最多投建 两个；在乙城市的A4、A5两个位置中最少投建一个。 如果已知各点的投资金额和年利润如下表。 问：健身中心投建在哪些位置才会使总的年利润最大？
（LP0） z0 = 218/11
北京物资学院运筹学课件
第四章 整数规划与指派问题
2017年4月
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但 许多实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才 有意义。 例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完 成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。
• 要求全部或部分决策变量的取值为整数的线性规划 问题，称为整数线性规划，简称整数规划(Integer Programming)。
若源自文库j=0时，yj=0,
若xj>0时，yj=1。
2. 逻辑变量在整数规划建模中的作用 (1) m个约束条件中只有k个起作用。
a
j 1
n
ij
x j bi
(i 1, 2,..., m )
1 第i个约束不起作用 定义 y i 0 否则
则上述条件可以表示成
n aij x j bi Myi j 1 y y ... y m k 2 m 1
分枝定界法的算法流程：
解LP
无可行解 问题无界 解x0为整数向量 x0有非整分量 x0为ILP的解 ILP无解
或无界
将原问题分解为两个子问题，使得非整分量恰好排除在外 而又没有去掉原问题的可行解，再分别判断两个子问题。
分枝定界法的两个要点：分枝和定界
如何分枝？
max z CX AX b s.t . X 0 X 为整数向量 0 x [ x i ] i
（ILP0） max z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x1 6 x2 30 s.t . x1 4 x , x 0, 且为整数 1 2
解：先求与之对应的线性规划问题（放松问题）
（LP0） max z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x1 6 x2 30 s.t . x1 4 x , x 0 1 2
j 1
n
则目标函数可以表示成
min z (c j x j K j y j )
j 1 n
x j My j s .t . x j 0 y j 0,1
3. 整数规划问题的特征与性质
特征—变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可行域是离散集合
(LP3) max z = x1 + 5x2 s . t . – x1 + x2 2 5x1 + 6x2 30 2 x1 4 x2 3 x1 0, x2 0 (LP4) max z = x1 + 5x2 s . t . – x1 + x2 2 5x1 + 6x2 30 2 x1 4 x2 4 x1 0, x2 0
max z CX AX b s.t . X 0 X 为整数向量 0 x [ x i ] 1 i
max z CX AX b s.t . X 0 X 为整数向量
max z CX AX b s .t . X 0
如果最优解x i中某个分量 x i0 非整
放松问题的最优目 标函数等值线
整数规划问题的最 优目标函数等值线


整数规划的最优解不一定在顶点上达到； 整数规划的最优解不一定是放松问题最优解的邻近整 数解； 整数可行解的个数远多于顶点个数，枚举法不可取。
整数规划ILP max z CX
AX b X 0, X 为整数。
例4 某公司制造小、中、大3种尺寸的金属容器，所用的资 源为金属板、劳动力和机时。制造一只容器所需的各种资源 数量如下表所示，不考虑固定费用，每售出一只小、中、大 号容器所得的利润分别为4元、5元、6元，可使用的金属板 有500张，劳动力有300个，机时有100小时，如果生产某种 容器，不管生产数量多少，都要支付一笔固定费用，小、中、 大号容器的固定费用分别为100元、150元、200元，现要制 订一生产计划，使获得的利润最大。
1. 分支定界法
2. 割平面法
1.分支定界法
分枝定界法是本世纪60年代初由Land Doig和Dakin 等人提出的，可用于解纯整数规划或混合整数规划。
整数规划ILP max z CX
AX b X 0, X 为整数。
放松的线性规划LP
max z CX AX b X 0
min z cij xij d i yi
i 1 j 1 i 1 m n m
该问题的数 学模型为
n i 1, 2, ..., m xij ai yi j 1 m x b j 1, 2, ..., n ij j i 1 xij 0 i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n yi 1或0 i 1, 2, ..., m
分枝定界法的两个要点：分枝和定界
如何定界？
• • • 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原 整数规划ILP目标函数值的上界； 如果当前的ILP最好的整数解的目标函数值不小于某 一 子问题的目标函数值，则可剪枝。
例5：求解下列整数线性规划问题
例 3 工厂选址问题：
某商品有n 个销地，各销地的需求量为bj 吨/天；现拟在m 个地点中选址建生产厂，一个地点最多只能建一个工厂； 若选i 地建厂，生产能力为ai吨/天，固定费用为di元/天；已 知i 地至第j 销地的单位运费为cij元/吨。问如何选址和安排 调运，才能使总费用最小？
设：yi=1，表示选择第i 地建厂， yi=0，表示不选择第i 地建 厂；从厂址i 至销地j 运量为xij，总费用为z。

(18/11,40/11) z 0 = 218/11


(LP0)的解不是(ILP0)的解
分枝 x1 1 , x1 2

B C
B: (1,3), z 1 =16
C: (2,10/3), z2 = 56/3


（LP0） z0 =218/11
x 1 = 18/11 , x 2 =40/11
则上述条件可以表示成
(3) 两组条件中满足其中的一组
若 x1 4, 则 x2 1
若 x1 4, 则 x2 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi 0 第i组条件起作用
x1 4 y1 M x2 1 y1 M x1 4 y2 M x 3 y M 2 2 y1 y2 1
(2) 约束条件的右端可能是 r个值中的某一个
a
j 1
n
ij
x j b1 or b2 ... or br
定义
1 约束右端项为bi yi 0 否则
r n aij x j bi yi i 1 j 1 y y ... y 1 1 2 r
放松的线性规划LP
max z CX AX b X 0
整数规划ILP和放松问题LP的关系 ILP的可行区域是LP的可行区域的子集； 如果LP无可行解，则ILP无可行解； LP的最优值是ILP的最优值的一个上界； 若LP的最优解为整数向量，则它也是ILP的最优解。
分枝定界法的基本思想