复变函数第9讲x

必 定 先 经 过 使 级的 数点 收， 敛然 后 到 达
级 数 发 散 .的 点
故 在 一存 定 cR 在 ： zR ,
在CR内 级 数3） （绝 对 收 敛 ；
在CR外 级 数3） （发 散 .
此时，| z | R和 | z | R 分 别 称 为 级 数(3)的 收 敛 圆 和收敛圆周；
R为 级 数(3)的 收 敛 半 径.
2）若 z0为发散点，则对 z，任只意要 z 点z0
级数皆发散.
y
.z0 收敛点
0
x
y
. z0发散点
0
x
15
证明 (1)n0cnz0 n收,则 敛 ln im cnz0 n0.
于 是 ， 存M 在 0常 ,使数 得
cnz0n M,n0,1,2,(?)
因 z 为 z0, 所 |z|以 |z0| q 1 ,
R . 27
4、幂级数的性质
定理4 设cn(zz0)nf(z), zz0R（收敛 , n0
则 (1) f(z)在 zz0R 内解 ,且析
f'(z)[ cn(zz0)n]' [cn(zz0)n]'
n0
n0
ncn(zz0)n1, zz0 R; n1
---幂级数的逐项求导运算
实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导
则求复幂级数的收径敛可半以转化为求实数幂级
收敛半径 . 联系在《高等数学已》经中学过求
幂级数收敛半径的，方我法们有
22
定3理 如果幂 cnzn的 级系 数 cn合 数 于 n0 lim cn1 (比值法 ) c n n
或
lim
n
n
|
cn
|
(根值法
),
则 cn z n的收敛半径 n0
n 0
n 0
于是 0 ， , 0 ,使 存c 得 n 在 n 收 , 敛 c nn 发 . 散
n 0
n 0
由Abel 定理，在圆周 c :
z 内，级数 (3) 收敛；
在圆周 c : z 外，级
数(3) 发散.
显然，< .
否则，级数(3)将在处发散. 19
当点 z沿着正实轴z由 点 向z 运动时 ,
再由比较 法 an, 知 bn绝对收敛，
n1 n1
于 是 an, bn收敛， n也 从收 而 . 敛
n1 n1
n1
由不等式*，我们得到
定理5 级 数 n收 敛 an和 bn都收 .
n 1
n 1
n 1
8
定义4
若n 收敛，则称n为绝对收敛；
n1
n1
若n发散，而 n收敛，则称n为
n1
n1
n1
29
5、 幂级数的运算
与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.
设 anzn f (z), | z | r1, n0
bnzn g(z), | z | r2.
n0
则
a n z n b n z n (a n b n )z n f(z ) g (z ),z R ,
n 0
n 0
n 0
其R 中 mri1,n r2)(. ---幂级数的加、减运算 30
n
0.
n 2
定理1 l n im n l n ia n m a , l n ib n m b .
证明 “ ”已 ln i m 知 n, 即 0,N0,当 nN ,恒有 n.3
n(ana)i(bnb) (ana)2(bnb)2 anan, bnbn,
故 n l im ana, n l im bnb.
级数前n项的和
n
sn12n i ---级数的部分和 i1
定义3 若部分{和 sn}以 数有 列s限 为数 极限
即 ln im sns,则
说n收
n1
敛 s， 于 s为 n的
n1
和
记 作 ： s n.
5
n1
若部分和 {sn}没 数有 列有限极限 n发 ，散 则 n0
根据复数项级数收敛的定义，我们有
记ln 作 i m n,或n 当 时 ， n , 此 时 ， 也{称 n}收 复 敛 数 .于 列
不收敛的数列称为发散数列.
2
注:收敛数列一定 ;有有 界界 数列不一.定
例1
求lim1i
n
.
n 2
分 析 1 ： i2 因 1 ,所 为 li以 1 m in 0 ,
22
n 2
于
是lim 1i
条件收敛 .
思 考 (1 )若 题 n 收 ： ， 敛 n一收 定 吗 敛
n 1
n 1
(2 )若 n 收 ， 敛 n 发问 散 (n ， n )收 吗 敛
n 1
n 1
n 1
(3 )若 n 和 n 都 发 问 ( 散 n n )收 ， 吗 敛
n 1
n 1
n 1
9
例2 下列级数是否收敛否 ？绝 是对收敛？
wk.baidu.com 由 i于 n ( 1 1 1 ) i(1 1 1 1 )
n 1n 246
357
于是
in 条件收敛 .
n1 n
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1[( n 1 )， n2 in]收 .
又
(1)n条件 收敛 原 ，级数非绝. 对
称 为 它 的 和. 函
2、 幂级数
定义2 形如 cn(zz0)n
(2)
n0
的函数项级数称为幂级数.
在 (2)中z 令 z0,(2)变 为 cn n.
n 0
13
所以，不失后 一主 般要 性讨 c， nzn.论 今 (3) n0
关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：
定理1 (----Abel定理）
R
1
，
0 0，
，
0， .
23
例1 求幂级数 zn 1zz2zn n0
的收敛范围及 . 和函数
解 limcn1 1 R1; n cn
又 sn 1 z z2 zn 1 1zn
1z
(z 1),
当 z1 时 ln i z ， m n0 , ln i s m n1 1z.
当 z1时l i， m zn0, 级 数.发 散 n
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幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散， 在圆周上可能收敛可能发散.
请分析幂级数(2)的收敛范围.
如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的 一个定理:
定2理 级数 cnzn与|cn||z|n有相 收 同 敛 .的
n0
n0
证明 设： 级数 cnzn和 |cn||z|n的 收敛半径
n0
⑴若级数 cn z n在 z z0 ( 0)收敛 , 则对满足
n0
z z0 的 z, 级数必绝对收敛 .
⑵若级数在 z z0发散 , 则对满足 z z0 的z, 级数必发散 .
14
所 以 ， 对cn于 zn， 有 n0
1）若 z0为收敛点，则对 z，任只意要 z 点z0
级数皆收敛且绝对收敛.
对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.
思 考(题 1) ： cn(z2)n能 否z在 0处 收 敛 ， n0 而 在 z3处 发 散 ？
(2)讨论
zn的敛散.性
n0 n!
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3、幂级数的收敛圆与收敛半径
由Abel定理，幂级数（3）的收敛情况不外乎 下述三种情况：
(1)对所有的z，级数(3)都收敛.
n0
R1和R2.
21
因为 |cn||z|n 收敛c ， nzn 收 则 敛R ， 1R 2所 .
n0
n0
如 果 R1 R2,则 说 明 存 在 这 z*： 样 z*位 的于 点 收 敛 圆 内 ， 但 z*处 级不 数绝 在对 收 敛 ， Abe定 l 理 不 符 ， R1 从 R2.而
因为 | cn || z|n 为实的幂级数，注定意理到 2， n0
n
sn (z)f1(z)f2(z) fn (z) fk(z) k 1
-----级数的部分和；
设 z0为 D 内 一 点 ln i ， m sn(z0如 )s(z果 0)存 在 则 称(1)级 在 z0处 数收s(z敛 0)称 ， 为 它 . 12 的
如 果 级(1数 )在D内 处 处 收 敛 ，D则内对的于 任 一z点 , 级 数 (1)的 和 就D是 内 的 一 个 函 数 记 为 s(z). 即ln im sn(z)s(z)，
n1 n
(4)
8in8n收
敛 (， 8i)n绝
对.
收
n0 n! n0n!
n0 n!
11
§2 幂级数
1、 函数项级数
定义1 设复变函数列：{fn(z)}z D , n1 ,2 ,
fn (z)f1 (z)f2 (z) fn (z) (1 )
n 1
-----称为复变函数项级数；
级数前n项的和
至任意阶导数.
28
( 2 )
f( z ) d z
c
c
c n ( z z 0 ) n d zc nc ( z z 0 ) n d z .
n 0
n 0
或 z f()dcn(zz0)n1,
z0
n0 n1
其 z 中 z0R ,C z z0R .
---幂级数的逐项积分运算
注：定理4为今后将函数展开成幂级数提供了极大 的方便.
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例2 求下列幂级数的收敛半径：
zn
(1) n1 np
(p0);
(z 1)n
(2)
;
n1 n
nn z n
(3)
.
n1 n!
解 (1)
lim
n
cn1 cn
lim( n )p 1, n n1
R1;
收敛|z圆 |1.
(2) lim cn1 n cn
n
l i m 1, n n1
R1;
收敛 |z 圆 1|1.
例如
1 zn在z平面上处处. 收敛
n0 n!
(2 )仅在z=0处级数(3)收敛. 这时， 级数(3)在复 平面上除z=0外处处发散.
例 如 nnzn仅z在 0处 收 . 敛
n0
18
(3 )存z1 在 ( 0 )和 z 点 2 ,使c 得 n z1 n 收 , 敛 c n z2 n 发 . 散
定理3 级数 n收敛的必要条 :ln i件 m n 0. n1 注意经常应用定理3的逆否命题！
注意：定理3的逆命题不成立！
性质 级数 n收敛 ,则n有界 .
n1
7
定理4 若 n收敛 ,则 n收敛 .
n1
n1
证明 n anibn an 2bn 2,
an, bn an 2bn 2 an bn, (*)
定理2 级 数 n收 敛 an和 bn都收 .
n1
n1
n1
若 n 收 敛 n ， a n 则 i b n .
n 1
n 1
n 1
n 1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.
6
常见实级数敛散性判别法：
1）比较法；2）比值法；3）根值法；
4）交错级数的莱布尼兹判别法.
cnzn cnz0n
n
z Mq n, z0
由于 Mqn收敛, 由 比 较 判 别cnz法 n 收 得敛 ,
n0
n0
cnzn绝对收敛 .
n0
16
(2)用反证法， 若 存 z1,在 z1 z0， cnz1n收 敛 ， n0 由(1)知 cnz0n收敛与假设矛盾.，得证 n0
Ab定 el 理(中 2)是 的否可(以 1)的 作 逆 为 否命
当 然 ， 也 可 以 利 收用 敛绝 比对 值 判 别 法
的 思 想 ， 直.接 计 算
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(3) lim cn1 n cn
lim (n1)n1 nnli m 11 ne, n (n1)! n ! n n
R 1. e
思
考
题 ： (
求 z )n的
收
敛.
半
径
n1 lnin
提示： ln i m 根 ncn 据 0，
第四章 级 数
主 要 内 容：
1、复数项级数及其敛散性 2、幂级数 3、泰勒级数 4、洛朗级数
1
§1 复数项级数
1、 复数列的极限
定义1 设 {n}n (1,2,)为一复 ,其 数 中 列 n＝ anibn,aib为一复常. 数
若0,N0,当nN,恒有 n， 那么 称为复 {n 数 }当 n列 时的极限
所以 zn的收敛范 |z|围 1,且 是
n0
24
1zn 1zz2 zn (z|| 1 ).
1 z n 0
综上
zn收
敛 ,且
和
函
数1为, 1z
当z
1时;
n0 发散 , z 1时 . 当
思考题:
求 幂 级 数1z2z4z6L
的 收 敛 范 围 及 和 函 数 .
提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.
(1)n 1(n 12in);
in
(2)
;
n1 n
(3)n 1[(n 1)n2in];(4)n 0(8n i!)n.
解 (1 ) n 1n 1发n 散 12 1 n收 ， 敛 n 1(n 1 ， 2 in)发. 散
(2)
1发散 ， in不绝对.收敛
n1n
n1 n
10
“”已知 nl iman a, nl imbn b, 即
0,N0,当n
N,恒有an
a
2，bn
b
，
2
n (an a)i(bn b)
an a bn b , 故ln i mn .
4
2、 复数项级数
定义2 设复数列 {n } { a n in b }n ( 1 ,2 , ,), n12n ---无穷级数 n1