高等量子力学三种绘景变换
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氢离子中的电子为
Ze 2 1 R S L 2 2 4 0 2m c R R 1
(11.7)
(11.8)
一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相互作用能, 例如对类
(11.9)
讨论原子问题时, 常在(11.4)式的哈密顿上, 加上自旋引起
的能量(11.8)和(11.9)式. 这些都相当于(11.4)式中的 V 这一项.
式中 H 为(11.2)式或(11.3)式; I 为 2 2 的单位矩阵. 在描写状态的 2 行 1 列矩阵中, 和 都是 x, y, z 和 t 的函数.
q2 2 1 2 q iq H P A P A A q V 2m m 2m 2m
改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换, 使得在新的 绘景中为解决某一具体问题带来一些方便.
首先, 把作绘景变换之前迄今已经讨论的内容, 作为一个绘景, 并称之为薛定谔绘景. 为了同新的绘景相区别, 把迄今为止的矢量
t
和算符 A 写作 t 和 A S . 薛定谔绘景的特点就是态矢量是含
可以取不同的表象, 用矩阵表示. 不同表象中的矢量和算符, 通过
一个不含时间的幺正矩阵(4.10)联系起来. 一个关系式在不同表 象中的形式是完全平行和等价的.
到现在为止, 我们已经把量子力学的基本规律和各种关系式 差不多都建立起来了, 表现为希尔伯特空间中的矢量和算符的各 种关系式. 现在取一个含时间的幺正算符 U t , 作用在所有的矢量 和算符上, 按(2.29)和(2.30)的方式进行幺正变换. 这样也会得到另 一套完全平行和等价的关系式, 但其形式会发生较大的变化. 这时 我们说, 幺正变换 U t 使我们得到量子力学关系式的另一个绘景.
S
时的, 并且服从薛定谔方程:
i t t
S
H S t
S
(11.18)
而算符一般则是不含时的(一些含时的微扰除外, 这种情况我们
暂不考虑), 这样就有
S i A 0 t
(11.19)
在薛定谔绘景中还可以取各种表象, 每一种表象都同一组特
定的基矢相联系，而基矢是不含时的。设想我们去看希尔伯特 空间，我们应该看到，描写状态的态矢量都是按一定规律运动 的, 每一组基矢则是静止的, 态矢量的各种表象, 不论写成矩阵形 式或函数形式, 都是随时间变化的。因为它们是运动的态矢量在 静止的基矢上的分量.
1 2 H P M B q V 2m
§11-2 演化算符
薛定谔方程(11.1)是时间的一阶微分方程, 因此当初态 t 0 给 定时, 原则上即可解出任意时刻 t 的状态 t . 由此可以定义一个演 化算符 U t ,t 0 , 使其满足
t U t , t 0 t 0
(11.12)
当 H 中不显含时间时, 此式在 U t 0 , t 0 1 的初始条件下的解为
i U t , t 0 HU t , t 0 t
i t t 0 H
U t , t 0 e
(11.13)
这就是当 H 不显含 t 时演化算符的具体形式. 这是一个幺正算符, 因 而知态矢量的归一化性质不随时间改变, 若 t 0 是归一化的, 则
2 2 M l l 1 B , M z m B
(11.6)
玻尔磁子：
B e 2m 9.2740154 10 24 J T 1
1 2 H P M B q V 2m e 电子的自旋磁矩算符为 M S S m 哈密顿中自旋在外磁场 B 中的能量附加项为 e e M B S B B m 2m
V 是其它因素对哈密顿的贡献. 因此单粒子的哈密顿算符为 2 1 (11.2) H P qA q V 2m
其中
A A R , t , R, t
将上式右方的括号展开, 可得
2 1 H P qA q V 2m
t
0
i t H t1 U t1 , t 0 dt1 t0
即
i t U t , t 0 1 H t1 U t1 , t 0 dt1 t0
这是一个积分方程. 可以用叠代法写出它的形式解. 逐次进行叠代, 得 U t ,t 0 的级数解为
1 i U t , t 0 1 n 1 n!
n
t
t0
dt1 dt2 dtn C H t1 H t 2 H t n
t t t0 t0 n t
1 i U t , t 0 1 ( H t1 dt1 ) n 简记为如下紧凑的记号: t0 n 1 n!
的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化.
哈密顿的具体形式, 其空间运动部分可以从经典分析力学中的 哈密顿函数 H x, p, t 得到, 只要将 x 和 p 换成粒子的位置算符 X 和 动量算符 P (见§6-4), 即可得出哈密顿算符. 例如单粒子情况, 带电 荷 q 的粒子在电磁场 A, 中运动时, 其经典哈密顿为 2 1 H p qA q V 2m
i t1 i t U t , t 0 1 H t1 1 H t 2 U t 2 , t 0 dt2 dt1 t0 t0
i 1 n 1
n
(11.16)
再定义一个时序算符C, 它作用在一系列时间函数的乘积上, 使
这一乘积的次序重新排列, 时间大的因子排在前边(左边), 按时
间依次排列, 时间最小的因子在最右边, 即
CH t1 H t2 H tn t1 t2 t2 t3 tn 1 tn H t1 H t2 H tn
(11.17)
i t U t , t 0 C exp H d t0
U t , t 0 e
i t t 0 H
当 H 中不含 t 时, 此式即回到(11.13)式.
§11-3 绘景变换
薛定谔绘景
量子力学中的各种关系式, 可以直接用矢量和算符表示, 也
(11.11)
显然, U t ,t 0 的具体形式取决于薛定谔方程(11.1)中的哈密顿 H . 将 (11.11)式代入薛定谔方程(11.1)式中得
i U t , t 0 t 0 HU t , t 0 t 0 t
i U t , t 0 HU t , t 0 t
t 对一切时间都是归一化的.
当哈密顿 H t 中显含时间时, 由于 H t1 和 H t 2 不一定对易, (11.13)不再成立, 但演化算符的微分方程(11.12)式原则上也应有解. 下面给出一种原则方法. 将(11.12)式两边对 t 积分, 得
U t1 , t 0 t
t t
t n1 t n H t1 H t 2 H t n
t0
t0
CH t1 H t2 H tn t1 t2 t2 t3 tn 1 tn H t1 H t2 H tn
将此式两边对 t1 , t 2 ,, t n 积分,右边 n! 项中的每一项都给出相同的 贡献,于是,可以把(11.16)式改写成
薛定谔方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或多粒
子等所有情况. 当单粒子有自旋时, 态矢量和哈密顿分别是位形
空间和自旋空间二者的直积空间中的矢量和算符; 当系统是多 粒子系统时, 则是多个单粒子空间的直积空间中的矢量和算符.
系统的运动方程取决于系统本身的情况和外部环境, 而外部环
境通常是电磁场和各种模型中的势场. 当系统的线度不大时外 加的宏观电磁场可以看成是均匀的, 但可随时间变化, 哈密顿中
P A A P i A
q2 2 1 2 q iq H P A P A A q V 2m m 2m 2m
(11.3)
对于均匀磁场 B ，矢势 A 可以写成 1 A B R 2 而 A 0 , 式中的 A 2 项, 由于数量级小, 可以略去. 注意这时 2 1 2 2 2 A R B RB 4
t
t0
dt1 dt2
t0
t1
t n 1
t0
dtn H t1 H t 2 H t n
(11.14)
式中各个积分中的变量 t1 , t 2 ,, t n , 必须满足:
t t1 t 2 t n 1 t n t 0
为将此式写得更整齐些, 引入 t t , 其定义为
(11.3)式右方第二项成为
q q q q q A P B R P B R P BL L B M B m 2m 2m 2m 2m
q2 2 1 2 q iq H P A P A A q V 2m m 2m 2m
这样将上式中的积分上限全部写成t , 则有
i U t , t 0 1 n 1
n
t
t0
dt1 dt2 dtn t t1 t1 t 2
t t t0 t0
t n1 t n H t1 H t 2 H t n
1, t t 0, 若t t 若t t
(11.15)
i U t , t 0 1 n 1
n
t
t0
dt1 dt2
t0
t1
t n 1
t0
dtn H t1 H t 2 H t n
§11 运动方程
§11-1 薛定谔方程 §11-2 演化算符
§11-3 绘景变换 薛定谔绘景
§11-4 海森伯绘景
§11-5 连续性方程*
§11-6 相互作用绘景
§11-1 薛定谔方程
微观系统的状态 t 随时间的变化遵从薛定谔方程 i t H t (11.1) t
于是单粒子的哈密顿可以写成 1 2 H P M B q V 2m
q M L 2m
(11.4)
从(11.4)式得到一个重要的结论, 即带电粒子的轨道磁矩算符为
(11.5)
在 L 的本征态 lm 中, 轨道磁矩的大小及其 z 分量取确定值, 例如对 于电子有
求此上式右边共有 n! 项, 但是 对于每一组 t1 , t 2 ,, t n 的值, 只有一项不为零.
t , t 0 1 i U n 1
n
t
t0
dt1 dt2 dtn t t1 t1 t 2
含有自旋的薛定谔方程,写成 S z 表象 2 2 矩阵形式的泡利方程
(9.3)式时成为
e i i HI S B f R S L t t m
Ze 2 1 R S L 2 2 4 0 2m c R R 1
(11.7)
(11.8)
一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相互作用能, 例如对类
(11.9)
讨论原子问题时, 常在(11.4)式的哈密顿上, 加上自旋引起
的能量(11.8)和(11.9)式. 这些都相当于(11.4)式中的 V 这一项.
式中 H 为(11.2)式或(11.3)式; I 为 2 2 的单位矩阵. 在描写状态的 2 行 1 列矩阵中, 和 都是 x, y, z 和 t 的函数.
q2 2 1 2 q iq H P A P A A q V 2m m 2m 2m
改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换, 使得在新的 绘景中为解决某一具体问题带来一些方便.
首先, 把作绘景变换之前迄今已经讨论的内容, 作为一个绘景, 并称之为薛定谔绘景. 为了同新的绘景相区别, 把迄今为止的矢量
t
和算符 A 写作 t 和 A S . 薛定谔绘景的特点就是态矢量是含
可以取不同的表象, 用矩阵表示. 不同表象中的矢量和算符, 通过
一个不含时间的幺正矩阵(4.10)联系起来. 一个关系式在不同表 象中的形式是完全平行和等价的.
到现在为止, 我们已经把量子力学的基本规律和各种关系式 差不多都建立起来了, 表现为希尔伯特空间中的矢量和算符的各 种关系式. 现在取一个含时间的幺正算符 U t , 作用在所有的矢量 和算符上, 按(2.29)和(2.30)的方式进行幺正变换. 这样也会得到另 一套完全平行和等价的关系式, 但其形式会发生较大的变化. 这时 我们说, 幺正变换 U t 使我们得到量子力学关系式的另一个绘景.
S
时的, 并且服从薛定谔方程:
i t t
S
H S t
S
(11.18)
而算符一般则是不含时的(一些含时的微扰除外, 这种情况我们
暂不考虑), 这样就有
S i A 0 t
(11.19)
在薛定谔绘景中还可以取各种表象, 每一种表象都同一组特
定的基矢相联系，而基矢是不含时的。设想我们去看希尔伯特 空间，我们应该看到，描写状态的态矢量都是按一定规律运动 的, 每一组基矢则是静止的, 态矢量的各种表象, 不论写成矩阵形 式或函数形式, 都是随时间变化的。因为它们是运动的态矢量在 静止的基矢上的分量.
1 2 H P M B q V 2m
§11-2 演化算符
薛定谔方程(11.1)是时间的一阶微分方程, 因此当初态 t 0 给 定时, 原则上即可解出任意时刻 t 的状态 t . 由此可以定义一个演 化算符 U t ,t 0 , 使其满足
t U t , t 0 t 0
(11.12)
当 H 中不显含时间时, 此式在 U t 0 , t 0 1 的初始条件下的解为
i U t , t 0 HU t , t 0 t
i t t 0 H
U t , t 0 e
(11.13)
这就是当 H 不显含 t 时演化算符的具体形式. 这是一个幺正算符, 因 而知态矢量的归一化性质不随时间改变, 若 t 0 是归一化的, 则
2 2 M l l 1 B , M z m B
(11.6)
玻尔磁子：
B e 2m 9.2740154 10 24 J T 1
1 2 H P M B q V 2m e 电子的自旋磁矩算符为 M S S m 哈密顿中自旋在外磁场 B 中的能量附加项为 e e M B S B B m 2m
V 是其它因素对哈密顿的贡献. 因此单粒子的哈密顿算符为 2 1 (11.2) H P qA q V 2m
其中
A A R , t , R, t
将上式右方的括号展开, 可得
2 1 H P qA q V 2m
t
0
i t H t1 U t1 , t 0 dt1 t0
即
i t U t , t 0 1 H t1 U t1 , t 0 dt1 t0
这是一个积分方程. 可以用叠代法写出它的形式解. 逐次进行叠代, 得 U t ,t 0 的级数解为
1 i U t , t 0 1 n 1 n!
n
t
t0
dt1 dt2 dtn C H t1 H t 2 H t n
t t t0 t0 n t
1 i U t , t 0 1 ( H t1 dt1 ) n 简记为如下紧凑的记号: t0 n 1 n!
的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化.
哈密顿的具体形式, 其空间运动部分可以从经典分析力学中的 哈密顿函数 H x, p, t 得到, 只要将 x 和 p 换成粒子的位置算符 X 和 动量算符 P (见§6-4), 即可得出哈密顿算符. 例如单粒子情况, 带电 荷 q 的粒子在电磁场 A, 中运动时, 其经典哈密顿为 2 1 H p qA q V 2m
i t1 i t U t , t 0 1 H t1 1 H t 2 U t 2 , t 0 dt2 dt1 t0 t0
i 1 n 1
n
(11.16)
再定义一个时序算符C, 它作用在一系列时间函数的乘积上, 使
这一乘积的次序重新排列, 时间大的因子排在前边(左边), 按时
间依次排列, 时间最小的因子在最右边, 即
CH t1 H t2 H tn t1 t2 t2 t3 tn 1 tn H t1 H t2 H tn
(11.17)
i t U t , t 0 C exp H d t0
U t , t 0 e
i t t 0 H
当 H 中不含 t 时, 此式即回到(11.13)式.
§11-3 绘景变换
薛定谔绘景
量子力学中的各种关系式, 可以直接用矢量和算符表示, 也
(11.11)
显然, U t ,t 0 的具体形式取决于薛定谔方程(11.1)中的哈密顿 H . 将 (11.11)式代入薛定谔方程(11.1)式中得
i U t , t 0 t 0 HU t , t 0 t 0 t
i U t , t 0 HU t , t 0 t
t 对一切时间都是归一化的.
当哈密顿 H t 中显含时间时, 由于 H t1 和 H t 2 不一定对易, (11.13)不再成立, 但演化算符的微分方程(11.12)式原则上也应有解. 下面给出一种原则方法. 将(11.12)式两边对 t 积分, 得
U t1 , t 0 t
t t
t n1 t n H t1 H t 2 H t n
t0
t0
CH t1 H t2 H tn t1 t2 t2 t3 tn 1 tn H t1 H t2 H tn
将此式两边对 t1 , t 2 ,, t n 积分,右边 n! 项中的每一项都给出相同的 贡献,于是,可以把(11.16)式改写成
薛定谔方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或多粒
子等所有情况. 当单粒子有自旋时, 态矢量和哈密顿分别是位形
空间和自旋空间二者的直积空间中的矢量和算符; 当系统是多 粒子系统时, 则是多个单粒子空间的直积空间中的矢量和算符.
系统的运动方程取决于系统本身的情况和外部环境, 而外部环
境通常是电磁场和各种模型中的势场. 当系统的线度不大时外 加的宏观电磁场可以看成是均匀的, 但可随时间变化, 哈密顿中
P A A P i A
q2 2 1 2 q iq H P A P A A q V 2m m 2m 2m
(11.3)
对于均匀磁场 B ，矢势 A 可以写成 1 A B R 2 而 A 0 , 式中的 A 2 项, 由于数量级小, 可以略去. 注意这时 2 1 2 2 2 A R B RB 4
t
t0
dt1 dt2
t0
t1
t n 1
t0
dtn H t1 H t 2 H t n
(11.14)
式中各个积分中的变量 t1 , t 2 ,, t n , 必须满足:
t t1 t 2 t n 1 t n t 0
为将此式写得更整齐些, 引入 t t , 其定义为
(11.3)式右方第二项成为
q q q q q A P B R P B R P BL L B M B m 2m 2m 2m 2m
q2 2 1 2 q iq H P A P A A q V 2m m 2m 2m
这样将上式中的积分上限全部写成t , 则有
i U t , t 0 1 n 1
n
t
t0
dt1 dt2 dtn t t1 t1 t 2
t t t0 t0
t n1 t n H t1 H t 2 H t n
1, t t 0, 若t t 若t t
(11.15)
i U t , t 0 1 n 1
n
t
t0
dt1 dt2
t0
t1
t n 1
t0
dtn H t1 H t 2 H t n
§11 运动方程
§11-1 薛定谔方程 §11-2 演化算符
§11-3 绘景变换 薛定谔绘景
§11-4 海森伯绘景
§11-5 连续性方程*
§11-6 相互作用绘景
§11-1 薛定谔方程
微观系统的状态 t 随时间的变化遵从薛定谔方程 i t H t (11.1) t
于是单粒子的哈密顿可以写成 1 2 H P M B q V 2m
q M L 2m
(11.4)
从(11.4)式得到一个重要的结论, 即带电粒子的轨道磁矩算符为
(11.5)
在 L 的本征态 lm 中, 轨道磁矩的大小及其 z 分量取确定值, 例如对 于电子有
求此上式右边共有 n! 项, 但是 对于每一组 t1 , t 2 ,, t n 的值, 只有一项不为零.
t , t 0 1 i U n 1
n
t
t0
dt1 dt2 dtn t t1 t1 t 2
含有自旋的薛定谔方程,写成 S z 表象 2 2 矩阵形式的泡利方程
(9.3)式时成为
e i i HI S B f R S L t t m