湘教版八年级下册数学第一章直角三角形知识点及典型习题[1]

第一章直角三角形

一、已学须用知识点回顾

知识点1、等腰三角形的性质

（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.

（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.

提示：“三线合一”是指对应的角平分线、中线、高线在画图时实际上只是一条线段，即是一条线段既是顶角的平分线，又是底边上的中线，还是底边上的高，不能混淆.

三角形的高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，还有可能和三角形的边重合。

知识点2、等腰三角形的判定定理

1、定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等

边）.

2、提示：（1）定理题设中的两个角必须是同一个三角形中的两个内角，不能出现在两个三

角形中；（2）结论中的两条边应是这两个内角的“对边”，这种对应关系不能混淆；（3）此定理的作用在于证明一个三角形为等腰三角形.

知识点3、等边三角形的性质与判定

1、等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.

2、等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”.因此等边三

角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴.

3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等.

知识点4、等腰三角形性质的应用

等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：（1）等腰三角形两底角的平分线相等；（2）等腰三角形两腰上的中线相等；

（3）等腰三角形两腰上的高相等；（4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.

知识点5、全等三角形的判定

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3、 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA 或“角边角”)。

4、 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”) 。

二、现学现用：直角三角形

知识点1、直角三角形的性质定理及推论：

1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;

（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

4、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和，等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2。 （勾股数：能够构成直角三角形三条边的正整数{a ，b ，c}称为勾股数，常见的勾股数有：{3k ，4k ，5k}，{5k ，12k ，13k}，{8k ，15k ，17k}，{7k ，24k ，25k}，{9k ，40k ，41k}，其中k 为正正整数）

知识点2、直角三角形的判定定理：

1、 有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、 有两个角互余的三角形是直角三角形。

3、 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

4、 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系：a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾

股定理的逆定理） 知识点3、直角三角形的全等的判定（5种方法）：

1、 判定一般三角形全等的方法（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）.

2、 判定直角三角形全等独有的方法：有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形

全等，即HL 定理（斜边、直角边定理）。 知识点4、角平分线的性质和判定：

1、 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、 判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

三、知识运用典型习题

1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .

2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .

3、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( )

A.2a

B.3a

C.4a

D.以上结果都不对

4、（2008，新疆）△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( )

A.1:2:3

B.2:3:4

C.3:4:5

D.3:2:5

5、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为

.

6、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .

7、长方体地面长为4，宽为3，高为12，那么长方体对角线的长是 .

8、在直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm,则AB=____ _

9、在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 10、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．

11、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 12、在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________.

13、顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________ 14、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________

15、三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 16、△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。求证：AE=2CE 。

17、小明站在高为20米的楼上C 处,测得一条河边一点A 的俯角为30°,河对岸一点B 的俯角为15°,问河宽约多少米?

18．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，

AB=6，求DE 的长。

E

C

B

A

C

B

A