3.5 矩阵的等价和等价标准形

PAQ B
（2）秩(A)=秩(B). 证明: (1) 定理3.4.1及推论；
(2) 必要性：初等变换不改变矩阵的秩； 充分性：由秩(A)=秩(B)知道：
Er A 0 0 , 0 Er B 0 0 0
Er A 0
Er P1 A Q 1 0
线性代数
张保田
§3.5 矩阵的等价和等价标准形
复 习
内 容
Baidu Nhomakorabea
1. 矩阵的秩 矩阵A中不为零的子式的最大阶数称为矩 阵A的秩。可等价定义为： 定义2 设A为m×n矩阵，如果A中至少有一 个r 阶子式不等于零，而所有r+1 阶子式(如果 存在r +1阶子式时)都等于零，则称 r 为矩阵A 的秩，记为:r(A)或R(A)或秩(A)。 规定：零矩阵的秩为0。 定理1 初等变化不改变矩阵的秩。 定理2 矩阵乘可逆矩阵，其秩不变。



n R A
R A n 1 R A





1
1
R A 1


证3: R A n 1 A ij 0 A O R A 0 .
例3.5.1 设n>1, A ( a1 , a 2 , , a n ) T 0
r行
r列

0
Er O ( m r ) r
O r( n r ) O ( m r ) ( n r )
Er O
O O
定理3.5.1 设A，B均为m×n阶矩阵，则下述 条件中每一个都是A与B等价的充要条件： （1）存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得
(5)
R A


n 1 0
R A n R A n 1 R A n 1
n1
证1:
R A n A 0 A

A
0 R A



n.
证2:
R A n 1 A 0 AA O
R A R A
0 0
一、 矩阵的等价
1.等价矩阵的概念 定义3.5.1 若矩阵A经过有限次初等变换化成 矩阵B，则称矩阵A与B等价（或相抵），记为 A→B。 例如，
1 1 A 3 1 4 3 2 4 7 4 9 7 3 17 6 3
1 0 0 0 4 1 0 0

0 1 0 0 0
c 2 r 1 0 c rr 1 0 0 0 0
c0 2n c0 rn 0 0 0

0

Er 对矩阵A继续进行列变换一定可把A化为： 0
m in { m , n } )
2. 定理2.1.2 设矩阵A=[aij]m×n 为非零矩阵， 则通过初等行变换和列互换一定可把A化为约化 阶梯形矩阵 1 0 0 0 c c0 0
0 0 B 0 0 0 (1 r
1 r 1 1n
1 0 0 0 0
0 0 0 0
7 3 0 0
3 14 B 1 0
称此矩阵为矩阵A的等价标准形。
Er 因为任一个秩为r的矩阵A等价于 0
0 0
2.等价矩阵的性质 性质3.5.1 任意一个矩阵秩为r的矩阵A，经 过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵：
1 A 1 0
1
0 , 0
Er B 0
0 0
0 0
于是，存在可逆矩阵Ｐ１，Ｐ２，Ｑ１，Ｑ２， 使
0 Er , P2 B Q 2 0 0
1
P1 A Q1 P2 B Q 2
A P1 P2 B Q 2 Q1 P B Q

A B.
定理3.5.2 秩(AB) ≤秩(A),秩(AB) ≤秩(B) . 证明：略（由向量可证）。 矩阵的秩还有如下性质： (1) 秩(A+B) ≤秩(A)+秩(B); (2) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵, 则 秩(A)+秩(B) －n≤秩(AB) ≤min{秩(A),秩(B)} (3) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵, 且 AB=0，则秩(A)+秩(B) ≤n; (4) 设A、B、C为同阶阶方阵, 则 秩(AB)+秩(BC) ≤秩(B)+秩(ABC) ;
B ( b1 , b 2 , , b n ) 0
求: 秩(AB), 解: 因为
AB .
秩(A)=1, 秩(B)=1.
于是，秩(AB) ≤1； 又因为 AB≠0， 可知秩(AB) ≥1 ; 所以，秩(AB) =1 。 而AB为n(>1) 阶矩阵，所以，
AB 0.
作业：习题3.5 1-10 作业：习题3.6 1-8 下节讲习题。