对 数 运 算 法 则

为什么会有自然对数？

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翻译：Nothing

审校：Nuor

还记得自然对数吗？它和数学中最美丽的常数有关，这个数是：

实数x的对数lnx是令e变成x的指数，也就是说：

现在我们用计算器或者电脑来计算对数，但是很久以前人们通过对数表来计算lnx。?

Portrait of John Napier (1550-1617), dated 1616.

1614年，数学家，物理学家和天文学家约翰.奈皮尔在一篇名为《奇妙对数表的构建》的文章中以和现代对数表相似的方式发表了一系列对数表。令人吃惊的是，尽管奈皮尔从来没有听说过数字e，也没有思考过指数函数（事实上当时没有人知道这个数），但是他通过想象点沿着直线的运动来定义了一个非常类似以e为底的对数。

在那个时代，有一个问题一直困扰着人们，尤其是天文学家。天文学方面的计算需要对特别巨大的数字进行乘法或者除法运算。如果没有计算器的帮助，这些计算是非常困难的。一个让这些计算变得简单一点的方法是用指数来研究这些问题。指数函数计算规则告诉我们，两个2的指数相乘，如2a×2b，你只需要将它们的指数相加。如果用其中一个除另外一个，你只需要将它们的指数相减。?

所以你需要一个表格告诉你如何将一个大数用2的指数函数表示，或者用其他数的指数函数表示，这会让你的计算变得简单很多。给定数字N，你会想要找到一个数L使得：

也就是说，你需要的是以2或者其他数字为底的对数表。

然而，在奈皮尔的时代，人们并没有用指数函数进行思考。他们没有底的概念，也没有书写指数函数（将一个小号数字放在数字右上角）的简便方法。

尽管从阿基米德时代开始我们就对以下两种数列很感兴趣：

从2开始，之后的数字依次加倍：

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … .

和自然数组成的数列：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … .

第一个数列叫做等比数列，其后一个数与前一个数之比是常数。

人们意识到等比数列中两个数的相乘（或相除）对应着等差数列中两个数的相加(或相减)。（对我们来说，这正是指数函数的运算规则，等比数列中是2的指数函数，相应的等差数列中是指数函数的指数。）这好像提供了一种让乘法变简单的方法，你可以把等比数列中比较困难的计算变成等差数列中比较简单的计算。

奈皮尔想要制造一个表格来把等比数列和等差数列中的数字联系起来，因此他写道：“所有的乘法，除法和开根号的计算都可以被最简单的加法，减法和被2相除代替。”

正是奈皮尔发现了两种数列之间如此吸引人的关系。想象一个点P，沿

着一个无限长的直线从A到B运动。但是它不是以匀速运动，而是越走越慢：点的速率和点P距离B的长度成正比。距离B点越近，速率就越小，因此它永远也不能到达点B。如果你每隔一秒测量一次距离B点的长度，你得到的数字可以构成一个递减的等比数列：相邻两个数字之比相等，但是和之前的例子不同，公比小于1。

如何将它和等差数列联系起来？直观的，想象每个时间段P点的位置：x1是1秒后P点的位置，x2是两秒后P点的位置，等等。因为P的速度逐渐慢下来，所以线段[xi,xi+1]随着i的增加而减小。又因为P永远不能到达B点，这样的线段有无数个。想象一下将每个线段都拉伸得一样长，仍然让P点在一秒钟内通过线段。这样B点会处于无限远处，P点在每个线段上的平均速度相同，那么在1秒钟，2秒钟，3秒钟时P点走过的距离构成一个等差数列。

利用这种直觉式的推理，奈皮尔想象了第二个点，Q与P以相同速度从A点同时出发，但是Q以恒定的速度运动通过B点并向无限远处继续运动。在给定的某个时间点，他定义Q点走过的距离为P点走过距离的对数。这将由P点走过距离的等比数列，与Q点走过距离的等差数列联系起来。

奈皮尔将从A到B的线段长度取得非常大，达到10,000,000=107。他这么做是为了确保精度，也可能是由于他具有天才般的大脑才能想到利用对数来计算大数。他同样假设P点的初速度是107。

今天我们可以计算出奈皮尔提到的对数，经过一系列计算，可以得到：x是P走过的距离，y是Q走过的距离。

这意味着y-107是x-107以1-e为底的对数——这正是奈皮尔的构造

性定义。但是因为在那时微积分还没有被发明，他的表格中只给出了这些对数的近似值，这些对数表将x和y联系起来。

这是一个非常好的近似，整理得到

如果你对e的很多性质很熟悉，你一定知道对于任意数字x，ex是下面公式在n趋于无穷大时的极限：

令x=-1有?

由于107非常大，所以

也就是说奈皮尔的对数的底数非常接近于1-e。因此，

y-107非常接近于x-107以1-e为底的对数。这也是为什么奈皮尔的工作经常被认为是数学史上第一次提出数字e（尽管以比较模糊的方式）。今天，奈皮尔也被认为是自然对数的发明人，尽管他并没有听说过e！

编辑：AI

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