空间直角坐标系与矢量的坐标表达式
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i 4 j 6k ;
（ 3） 3a 2b (3 2 2 3)i (3 3 2 (1)) j (3 4 2 (2))k 12 i 7 j 8 k .
Higher- mathematics ( II )
19 - 13
Monday, October 15, 2018
M
S
由于 OS OP OQ , SM OR 因此 , a OP OQ OR
Higher- mathematics ( II )
19 - 8
o
x
P a 1
Q
a2
y
Monday, October 15, 2018
三、矢量在直角坐标系中的分解式
设i , j , k分 别 是 Ox轴 、Oy轴 、Oz轴 正 向 的 单 位 矢 量 ， 由 于M的 坐 标 为 (a1 , a2 , a3 ), 因 此 OP a1i , OQ a2 j , OR a3 k
S
a2 y Q
x
19 - 10
P
Higher- mathematics ( II )
Monday, October 15, 2018
由 a OM a1i a2 j a3k 得 a OM a1 a2 a3
2 2 2
Hale Waihona Puke 为了表示矢量 a 的方向，我们把矢量 a 与 Ox 轴、 Oy 轴、
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o x
2
P
N
y
M 1 P PN NM 2
M1 M 2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
例 3 已知 a
2 i 3 j 4 k , b 3i j 2 k
求 （1）a+b; （2）a b ;（3）3a+2b.
解 （ 1） a b ( 2 3) i (3 1) j ( 4 2 ) k 5i 2 j 2 k ; （ 2） a b (2 3)i (3 (1)) j (4 (2))k
于是，a OM a1 i a2 j a3 k , 或记 a { a1 , a2 , a3 }.
上式称为矢量 a 在直角坐标 系中的分解式，其中 a1 , a2 , a3
z
R
a3
称为矢量 a 的坐标，i, j, k 称为直角坐标系中的一组基.
M
Q
S
o
x
P a 1
a2
y
Higher- mathematics ( II )
a b ( a1 b1 ) i ( a 2 b2 ) j ( a 3 b3 ) k ma ( ma 1 ) i ( ma 2 ) j ( ma 3 ) k
Higher- mathematics ( II )
19 - 12
Monday, October 15, 2018
Higher- mathematics ( II )
Monday, October 15, 2018
19 - 2
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
1 1
坐标面上的点 A, B , C ,
z
O ( 0, 0, 0 )
B(0, y , z )
a cos 2 |a|
cos 2 cos 2 cos 2 1
cos
a3 2 2 |a| a12 a2 a3
这说明方向余弦 cos 、cos 、cos （或方向角 , , ）不是相互独立的 。
Higher- mathematics ( II )
Higher- mathematics ( II )
19 - 17
2 , 3 , 4 在 ________； b、
Monday, October 15, 2018
二、在 yoz 面上，求与三个已知点 A( 3 , 1 , 2 ) ， B ( 4 ,2 ,2 ) 和 C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
4 cos , 41
z
M1
M2
O y
x
Higher- mathematics ( II )
19 - 14
Monday, October 15, 2018
五、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
19 - 9
Monday, October 15, 2018
由 a OM a1i a2 j a3k 得 a OM a1 a2 a3
2 2 2
为了表示矢量 a 的方向，我们把矢量 a 与 Ox 轴、 Oy 轴、
, , Oz 轴正向的夹角分别记为
, 称为矢量 a 的方向角，
z
R
M1
d M1 M 2 ?
M2
Q
P
N
o x
2
y
2 2
在直角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN 中，使用勾股定 理知
2
d M1 P PN NM 2 ,
Higher- mathematics ( II )
19 - 4
Monday, October 15, 2018
PP1 x 2 32 x 2 11,
2 2
PP2 x 1 1 x 2,
2 2 2
2
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
Higher- mathematics ( II )
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
Higher- mathematics ( II )
19 - 5
Monday, October 15, 2018
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
19 - 11
Monday, October 15, 2018
四、矢量的代数运算
设 a a1 i a 2 j a 3 k ， b b1 i b2 j b3 k 则 a b ( a1 b1 ) i ( a 2 b2 ) j ( a 3 b3 ) k
三、 求平行于向量a 6i 7 j 6k 的单位矢量 的分解式 .
练习题答案
一、 1 、Ⅳ , Ⅴ , Ⅷ , Ⅲ； 2 、 (-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1) ；
二、 (0,1,-2).
6 7 6 三、 i j k . 11 11 11
2 2
2
矢量在直角坐标系中的分解式 矢量的代数运算
Higher- mathematics ( II )
19 - 15
Monday, October 15, 2018
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3) ,
C ( 2,3,4) ,
B( 2,3,4) , D( 2,3,1) .
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
2
M 2 M 3 M 3 M1 ,
Higher- mathematics ( II )
19 - 18
Monday, October 15, 2018
2, 3 , 4 在 ________； c、
2、点 p ( 3 , 2 ,1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴 的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是 _________，关于 z 轴的对称点是 _________；
原结论成立.
Higher- mathematics ( II )
19 - 6
Monday, October 15, 2018
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
以 角度转向正向y 轴 2
时，大拇指的指向就是 z 轴的正向 .
Higher- mathematics ( II )
定点 o 横轴 x
19 - 1
y 纵轴
空间直角坐标系
Monday, October 15, 2018
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
, , Oz 轴正向的夹角分别记为
, 称为矢量 a 的方向角，
由同时我们称 cos 、cos 、cos 为矢量 a 的方向余弦。
cos a1 a1 2 2 |a| a12 a2 a3
a2
2 2 a12 a2 a3 a3
cos
、 cos 、cos ,满足如下关系式：
z
由同时我们称 cos 、cos 、cos 为矢量 a 的方向余弦。
cos
cos
a1 a1 2 2 |a| a12 a2 a3
a2 |a| a2
2 2 a12 a2 a3 a3
R
a3
O a1
M
a cos 3 2 2 |a| a12 a2 a3
一、空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面. z 竖轴 三个坐标轴的正方向
符合右手系.
z 轴，当右 即以右手握住 手的四个手指从正向x 轴
例 4 已知 M 1 (1, 2,3), M 2 ( 4, 2, 1) ,求 M 1 M 2 以及其方向 余弦 .
解
M1M2 OM2 OM1 3i 4 j 4k ,
M1 M 2 32 42 42 41,
3 cos , 41
4 cos . 41
R(0,0, z )
C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
o x
P ( x ,0,0)
Q(0, y ,0)
y
A( x , y ,0)
Higher- mathematics ( II )
19 - 3
Monday, October 15, 2018
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
Higher- mathematics ( II )
19 - 16
Monday, October 15, 2018
练习题
一、填空题 1、下列各点所在卦限分别是：
1 , - 2 , 3在 _________； a、 2 , 3 , 1在 _______; d、
19 - 7
Monday, October 15, 2018
三、矢量在直角坐标系中的分解式
下面我们将空间任一矢量沿直角坐标系的坐标轴的方向 来分解 . 设空间直角坐标系中有一矢量a，其起点为O，终点为M 。M 的坐标为(a1, a2, a3),过M点作三坐标轴的垂直平面，分别与三 坐标轴的交点为P、Q、R，根据矢量 z 的加法法则可得 a3 R a OM OS SM
（ 3） 3a 2b (3 2 2 3)i (3 3 2 (1)) j (3 4 2 (2))k 12 i 7 j 8 k .
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19 - 13
Monday, October 15, 2018
M
S
由于 OS OP OQ , SM OR 因此 , a OP OQ OR
Higher- mathematics ( II )
19 - 8
o
x
P a 1
Q
a2
y
Monday, October 15, 2018
三、矢量在直角坐标系中的分解式
设i , j , k分 别 是 Ox轴 、Oy轴 、Oz轴 正 向 的 单 位 矢 量 ， 由 于M的 坐 标 为 (a1 , a2 , a3 ), 因 此 OP a1i , OQ a2 j , OR a3 k
S
a2 y Q
x
19 - 10
P
Higher- mathematics ( II )
Monday, October 15, 2018
由 a OM a1i a2 j a3k 得 a OM a1 a2 a3
2 2 2
Hale Waihona Puke 为了表示矢量 a 的方向，我们把矢量 a 与 Ox 轴、 Oy 轴、
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o x
2
P
N
y
M 1 P PN NM 2
M1 M 2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
例 3 已知 a
2 i 3 j 4 k , b 3i j 2 k
求 （1）a+b; （2）a b ;（3）3a+2b.
解 （ 1） a b ( 2 3) i (3 1) j ( 4 2 ) k 5i 2 j 2 k ; （ 2） a b (2 3)i (3 (1)) j (4 (2))k
于是，a OM a1 i a2 j a3 k , 或记 a { a1 , a2 , a3 }.
上式称为矢量 a 在直角坐标 系中的分解式，其中 a1 , a2 , a3
z
R
a3
称为矢量 a 的坐标，i, j, k 称为直角坐标系中的一组基.
M
Q
S
o
x
P a 1
a2
y
Higher- mathematics ( II )
a b ( a1 b1 ) i ( a 2 b2 ) j ( a 3 b3 ) k ma ( ma 1 ) i ( ma 2 ) j ( ma 3 ) k
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19 - 12
Monday, October 15, 2018
Higher- mathematics ( II )
Monday, October 15, 2018
19 - 2
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
1 1
坐标面上的点 A, B , C ,
z
O ( 0, 0, 0 )
B(0, y , z )
a cos 2 |a|
cos 2 cos 2 cos 2 1
cos
a3 2 2 |a| a12 a2 a3
这说明方向余弦 cos 、cos 、cos （或方向角 , , ）不是相互独立的 。
Higher- mathematics ( II )
Higher- mathematics ( II )
19 - 17
2 , 3 , 4 在 ________； b、
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二、在 yoz 面上，求与三个已知点 A( 3 , 1 , 2 ) ， B ( 4 ,2 ,2 ) 和 C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
4 cos , 41
z
M1
M2
O y
x
Higher- mathematics ( II )
19 - 14
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五、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
19 - 9
Monday, October 15, 2018
由 a OM a1i a2 j a3k 得 a OM a1 a2 a3
2 2 2
为了表示矢量 a 的方向，我们把矢量 a 与 Ox 轴、 Oy 轴、
, , Oz 轴正向的夹角分别记为
, 称为矢量 a 的方向角，
z
R
M1
d M1 M 2 ?
M2
Q
P
N
o x
2
y
2 2
在直角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN 中，使用勾股定 理知
2
d M1 P PN NM 2 ,
Higher- mathematics ( II )
19 - 4
Monday, October 15, 2018
PP1 x 2 32 x 2 11,
2 2
PP2 x 1 1 x 2,
2 2 2
2
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
Higher- mathematics ( II )
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
Higher- mathematics ( II )
19 - 5
Monday, October 15, 2018
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
19 - 11
Monday, October 15, 2018
四、矢量的代数运算
设 a a1 i a 2 j a 3 k ， b b1 i b2 j b3 k 则 a b ( a1 b1 ) i ( a 2 b2 ) j ( a 3 b3 ) k
三、 求平行于向量a 6i 7 j 6k 的单位矢量 的分解式 .
练习题答案
一、 1 、Ⅳ , Ⅴ , Ⅷ , Ⅲ； 2 、 (-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1) ；
二、 (0,1,-2).
6 7 6 三、 i j k . 11 11 11
2 2
2
矢量在直角坐标系中的分解式 矢量的代数运算
Higher- mathematics ( II )
19 - 15
Monday, October 15, 2018
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3) ,
C ( 2,3,4) ,
B( 2,3,4) , D( 2,3,1) .
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
2
M 2 M 3 M 3 M1 ,
Higher- mathematics ( II )
19 - 18
Monday, October 15, 2018
2, 3 , 4 在 ________； c、
2、点 p ( 3 , 2 ,1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴 的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是 _________，关于 z 轴的对称点是 _________；
原结论成立.
Higher- mathematics ( II )
19 - 6
Monday, October 15, 2018
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
以 角度转向正向y 轴 2
时，大拇指的指向就是 z 轴的正向 .
Higher- mathematics ( II )
定点 o 横轴 x
19 - 1
y 纵轴
空间直角坐标系
Monday, October 15, 2018
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
, , Oz 轴正向的夹角分别记为
, 称为矢量 a 的方向角，
由同时我们称 cos 、cos 、cos 为矢量 a 的方向余弦。
cos a1 a1 2 2 |a| a12 a2 a3
a2
2 2 a12 a2 a3 a3
cos
、 cos 、cos ,满足如下关系式：
z
由同时我们称 cos 、cos 、cos 为矢量 a 的方向余弦。
cos
cos
a1 a1 2 2 |a| a12 a2 a3
a2 |a| a2
2 2 a12 a2 a3 a3
R
a3
O a1
M
a cos 3 2 2 |a| a12 a2 a3
一、空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面. z 竖轴 三个坐标轴的正方向
符合右手系.
z 轴，当右 即以右手握住 手的四个手指从正向x 轴
例 4 已知 M 1 (1, 2,3), M 2 ( 4, 2, 1) ,求 M 1 M 2 以及其方向 余弦 .
解
M1M2 OM2 OM1 3i 4 j 4k ,
M1 M 2 32 42 42 41,
3 cos , 41
4 cos . 41
R(0,0, z )
C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
o x
P ( x ,0,0)
Q(0, y ,0)
y
A( x , y ,0)
Higher- mathematics ( II )
19 - 3
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二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
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19 - 16
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练习题
一、填空题 1、下列各点所在卦限分别是：
1 , - 2 , 3在 _________； a、 2 , 3 , 1在 _______; d、
19 - 7
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三、矢量在直角坐标系中的分解式
下面我们将空间任一矢量沿直角坐标系的坐标轴的方向 来分解 . 设空间直角坐标系中有一矢量a，其起点为O，终点为M 。M 的坐标为(a1, a2, a3),过M点作三坐标轴的垂直平面，分别与三 坐标轴的交点为P、Q、R，根据矢量 z 的加法法则可得 a3 R a OM OS SM