3.4圆周角和圆心角的关系
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（4）两种思想方法：1. 由特殊到一般 2. 分类讨论
画一画：在⊙O中画出劣
弧BC所对的圆心角和圆
O
周角∠BAC 想一想:
B
C
1.劣弧BC所对的圆心角有几个？
劣弧BC所对的圆周角有几个？
2圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有 哪几种？
圆心角与圆周角的位置关系:
A O
B
C
点O在∠BAC 的一边上
A
O B
C
点O在 ∠BAC内部
A
O
C B
点O在 ∠BAC外部
A C
A
2
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
• 思考：圆心角的度数等于它所对的弧 的度数，那么圆周角的度数和它所对 的弧的度数又是什么关系呢？
• 推论：圆周角的度数等于它所对的弧 的度数的一半。
下面的说法正确吗？说说你的看法 1、圆周角的度数是圆心角的一半（ × ） 2、相等的圆周角所对的弧也相等（ × ）
∠CBD = 1 ∠COD, 2
∴ ∠ABC = 1 ∠AOC. 2
A
D
C
●O
B
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆 周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系 会怎样? 老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
●O B
如 图 ， 连 接 BO 并延长，与圆相交 于点D。（此时我 们得到与图①同样 的情形）
O B
∴ ∠AOD1=2∠ABD，
∴ ∠ABD=2 ∠AOD。
同理 ,
1
∠CBD= ∠COD。
2
∴ ∠ABD－∠CBD= ∠1AOD－
= 1（∠AOD－∠COD）2。
1
∠COD
2
2 ∴ ∠ABC= 1∠AOC
圆周角定理
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的一半. 即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
A C D
O B
A
C
O
B ①
如图，连接BO并延 长，与相交于点D。 （此时我们得到与 图①同样的情形）
A C D
O B
A
C
O
B ①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同
样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。
A C D
∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。
O
，则∠ACB=_1_3_0。°
A
B
C
3、 如图，在直径为AB的半圆
ห้องสมุดไป่ตู้
中，O为圆心，C、D为半圆上
的两点，∠COD=500，则
∠CAD=_2_5_º__
自学检测：
4、判断
（1）、顶点在圆上的角叫圆×周角。 √
（2）、圆周角的度数等于所对弧的度数的 一半。
5、半径为R的圆中，有一弦分
圆周成1：4两部分，则弦所对
是
。
C
O
A B
变式： 5.若OA//BC, ∠C= 25°, ∠ADB=_______
O
C
D
A B
变式：
6.若∠C= 25°,点P在AB间滑动，则∠AOP 的取值范围______
C
O
A
B
P
7.如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径， ∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为 什么？
O.
A
B
3.3 圆周角和圆心角的关系
学习目标：
• 1、理解圆周角的概念及其相关 性质。
• 2、掌握圆周角与圆心角的关系。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相 交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角， 为什么？
学以致用你能行 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, ∠A= 25°。
B C
●O A
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=46°，则∠OBC= 44°。
3.如图，∠B=30°，∠C=20° ，则 ∠A= °
A
O
B
C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径
的圆周角的度数是 36º或144°
.
O
自学检测：
6 、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆 周角∠ACB=_1_3_0_º_、∠ADB=__5_0_º__。
D
O
A
B
C
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：圆周角定理
(3)二个推论 1.圆周角的度数等于它所对的弧度 数的一半。 2.圆内接四边形对角互补。
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC) 上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系.
A C
●O
B
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆 周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系 会怎样?
老师提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = 1∠AOD, 2
M
O
A
C
B
如图，∠AOC=100°，∠ABC=_1_3_0_°___
已知⊙O中弦AB等于半径，弦AB所 对的圆心角的度数为 60°, 圆周角 的度数为 30 °或 150°。
O
A
B
自学检测：
1.求圆中角X的度数
O
70° x C
A
B
D
C 120°
O X B
A
自学检测：
2.如图，圆心角∠AOB=100°
O
C A
B
拓展延伸
圆内的一条弦将圆分成1：2两部分，求这 条弦所对的圆周角的度数。
M 60°
O
A
B
120°
N
结论：圆内接四边形对角互补
A
O
D
B
C
如图，四边形ABCD的四个顶点都在 ⊙O上，你能找出∠A和∠C、 ∠B和∠D 的关系吗？
A
O
D
B
C
如图，∠BAD=70°，则∠BCD=_1_1_0_°___
温故知新
1、请说说我们是如何给圆心 角下定义的？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
2、在上图中，若弧AB的度数是85°，则 ∠AOB是多少度？为什么？ 圆心角的度数等于它所对弧的度数。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O 相交于点C?观察得到的∠ACB是个什么角 呢？它与圆心角∠AOB有什么关系呢？
C
画一画：在⊙O中画出劣
弧BC所对的圆心角和圆
O
周角∠BAC 想一想:
B
C
1.劣弧BC所对的圆心角有几个？
劣弧BC所对的圆周角有几个？
2圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有 哪几种？
圆心角与圆周角的位置关系:
A O
B
C
点O在∠BAC 的一边上
A
O B
C
点O在 ∠BAC内部
A
O
C B
点O在 ∠BAC外部
A C
A
2
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
• 思考：圆心角的度数等于它所对的弧 的度数，那么圆周角的度数和它所对 的弧的度数又是什么关系呢？
• 推论：圆周角的度数等于它所对的弧 的度数的一半。
下面的说法正确吗？说说你的看法 1、圆周角的度数是圆心角的一半（ × ） 2、相等的圆周角所对的弧也相等（ × ）
∠CBD = 1 ∠COD, 2
∴ ∠ABC = 1 ∠AOC. 2
A
D
C
●O
B
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆 周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系 会怎样? 老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
●O B
如 图 ， 连 接 BO 并延长，与圆相交 于点D。（此时我 们得到与图①同样 的情形）
O B
∴ ∠AOD1=2∠ABD，
∴ ∠ABD=2 ∠AOD。
同理 ,
1
∠CBD= ∠COD。
2
∴ ∠ABD－∠CBD= ∠1AOD－
= 1（∠AOD－∠COD）2。
1
∠COD
2
2 ∴ ∠ABC= 1∠AOC
圆周角定理
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的一半. 即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
A C D
O B
A
C
O
B ①
如图，连接BO并延 长，与相交于点D。 （此时我们得到与 图①同样的情形）
A C D
O B
A
C
O
B ①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同
样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。
A C D
∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。
O
，则∠ACB=_1_3_0。°
A
B
C
3、 如图，在直径为AB的半圆
ห้องสมุดไป่ตู้
中，O为圆心，C、D为半圆上
的两点，∠COD=500，则
∠CAD=_2_5_º__
自学检测：
4、判断
（1）、顶点在圆上的角叫圆×周角。 √
（2）、圆周角的度数等于所对弧的度数的 一半。
5、半径为R的圆中，有一弦分
圆周成1：4两部分，则弦所对
是
。
C
O
A B
变式： 5.若OA//BC, ∠C= 25°, ∠ADB=_______
O
C
D
A B
变式：
6.若∠C= 25°,点P在AB间滑动，则∠AOP 的取值范围______
C
O
A
B
P
7.如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径， ∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为 什么？
O.
A
B
3.3 圆周角和圆心角的关系
学习目标：
• 1、理解圆周角的概念及其相关 性质。
• 2、掌握圆周角与圆心角的关系。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相 交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角， 为什么？
学以致用你能行 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, ∠A= 25°。
B C
●O A
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=46°，则∠OBC= 44°。
3.如图，∠B=30°，∠C=20° ，则 ∠A= °
A
O
B
C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径
的圆周角的度数是 36º或144°
.
O
自学检测：
6 、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆 周角∠ACB=_1_3_0_º_、∠ADB=__5_0_º__。
D
O
A
B
C
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：圆周角定理
(3)二个推论 1.圆周角的度数等于它所对的弧度 数的一半。 2.圆内接四边形对角互补。
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC) 上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系.
A C
●O
B
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆 周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系 会怎样?
老师提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = 1∠AOD, 2
M
O
A
C
B
如图，∠AOC=100°，∠ABC=_1_3_0_°___
已知⊙O中弦AB等于半径，弦AB所 对的圆心角的度数为 60°, 圆周角 的度数为 30 °或 150°。
O
A
B
自学检测：
1.求圆中角X的度数
O
70° x C
A
B
D
C 120°
O X B
A
自学检测：
2.如图，圆心角∠AOB=100°
O
C A
B
拓展延伸
圆内的一条弦将圆分成1：2两部分，求这 条弦所对的圆周角的度数。
M 60°
O
A
B
120°
N
结论：圆内接四边形对角互补
A
O
D
B
C
如图，四边形ABCD的四个顶点都在 ⊙O上，你能找出∠A和∠C、 ∠B和∠D 的关系吗？
A
O
D
B
C
如图，∠BAD=70°，则∠BCD=_1_1_0_°___
温故知新
1、请说说我们是如何给圆心 角下定义的？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
2、在上图中，若弧AB的度数是85°，则 ∠AOB是多少度？为什么？ 圆心角的度数等于它所对弧的度数。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O 相交于点C?观察得到的∠ACB是个什么角 呢？它与圆心角∠AOB有什么关系呢？
C