第二章 解析函数及其判定

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3.复变函数连续、可导、解析之间的关系
根据定义可知: (1)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是, (2)函数在一点处解析与在一点处可导是不等价 的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处 解析.
函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
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（1）
f ( z ) 在 z 解析 0 f (z) 在 z 0
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
1010
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
即当 z 0 时, f ( z ) 不可导,
因此 f ( z ) 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都不 可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
1 课堂练习 研究函数 w 的解析性. z
答案
处处不可导,处处不解析.
2020
4. 解析函数的运算性质
定理 有理运算性质： (1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的
的导数,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
1
1
在定义中应注意:
z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 z0时, f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
(6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中 w g( z )
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
9
9
2 .微分的概念:
( 2 ) z 0,
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) Re( z z ) z Re( z ) z z
1818
z [Re( z z ) Re( z )] Re( z z ) z
令 z x iy ,
x f ( z z ) f ( z ) z x x , x iy z
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z

y 0
x
6
6
（2）.可导与连续的关系 （a) 可导
连续
(i)函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续.
(ii)函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
(b) (i)实函数中构造一个处处连续但处处不 可导的例子非常困难； (ii)复变函数中处处连续处处不可导的函 数随处可见
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.
2
2
例2 解
讨论f ( z ) Im z的可导性.
f f ( z z ) f ( z ) Im( z z ) Im z z z z Im z Im z Im z Im z z z
. 例6 研究函数 f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性
解
(1) z 0,
f ( 0 z ) f ( 0 ) z Re(z ) lim lim 0, z 0 z 0 z z
故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导.
z x iy D
u ( x, y ) 在 ( x, y ) 可微 (1) v( x , y ) u v f ( z ) 存在 C—R方程 x y ( 2) ( x , y ) 在 成立 u v x y
2424
并且
f ( z z ) f ( z ) u v f ( z ) lim i z 0 z x x
当点沿平行于虚轴的方 向(x 0)而使z 0时,
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使 z 0时, 极限值不同 ,
和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
复合运算性质： ( 2) 设函数 h g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析,
函数 w f ( h) 在 h 平面上的区域 G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 D 内解析.
x 2yi lim z 0 x yi
z
o

y 0
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
5
5
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
f ( z z ) f ( z ) 因为 lim x, x 0 z y 0
f ( z z ) f ( z ) lim z x, y 0 z x 0
1919
f ( z z ) f ( z ) 所以 lim 不存在. z 0 z
y Im(x iy ) , x i y x i y
当点沿平行于实轴的方 向(y 0)而使z 0时,
3
3
y f f ( z z ) f ( z ) lim 0, lim lim x 0 x i y z 0 z z 0 z y 0
特别地, 当 f ( z ) z 时, dw dz f ( z0 ) z z , dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0 （2）可导与可微的关系
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
以上定理的证明, 可利用求导法则.
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根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是 它的奇点.
2222
三、判定函数解析性的方法
定理一 设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
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二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析. 如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数). 2. 奇点的定义 如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f ( z ) 的奇点.
D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微, 并且在该 点满足柯西－黎曼方程 u v u v , . x y y x
2323
定理一 f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
1616
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
1717
复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致.
（1）微分的定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,
式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
一、复变函数的导数与微分
1.导数的概念:
（1）导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 z 不出 D 的范围, f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
8Hale Waihona Puke Baidu
8
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )


f ( z ) g( z ).

f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
的某邻域内处处可导 （2）
f (z)
z 在z 0
2
f ( z ) 在 z 可导 0
f (z) z (或f ( z ) x i 2 y )
f ( z ) 在 z 连续 0
f ( z ) 在区域D内解析
f ( z ) 在区域D内可导
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例4
研究函数 f ( z ) z , g( z ) x 2 yi 和
7
7
（3）.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
2 2
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
下面讨论 h( z ) z 的解析性 ,
h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z
2 2
2
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故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .
4
4
例3 问f ( z ) x 2 yi是否可导？ 解
f f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi lim z 0 z y