运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流分解

A
B
C
最短路问题
• 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短 路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N比原来只连三点 的最短路径O要短。这样得到的网络不仅比原来节省材料， 而且稳定性也更好。 A
P
B
C
最短路问题
• 问题描述：
• 要求：就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路 . • 有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投 资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求 最短路的问题。因此这类问题在生产实际中得到广泛应 用。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
G {V , E }
其中: V——点集 E——边集 ※ 图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以及哪 些点之间有连线。
图与网络的基本概念与模型
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
a1 (v1) 赵 a2 a3 a4 (v3)孙 a14 a15 a9 a12 a11 (v6)吴
图11-3
a8
a7
(v4) 李
a5 (v5) 周
6
a6 a10
(v7)陈
a13
图与网络的基本概念与模型
• 定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所
连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
最短路问题
例 渡河游戏
•
一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河 到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能 带一样东西；另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要 吃白菜，问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西 都运过河去，并且在河上来回次数最少？这个问题就可 以用求最短路方法解决。
最短路问题
e2 v2 e5 e6 e1 v1 e4 e3 v3 e8
{v 0 , e1 , v1 ,, e k , v k }
起点与终点重合的链称作圈。如 果每一对顶点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图，否则 称图不连通。
e7
v4
v5
图与网络的基本概念与模型
网络（赋权图）(P232)
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标 wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。 权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有 向网络。 ② 15 ⑤ 7 14 9 ④ 10 ① 6 19 ⑥ 20 25 ③
Chapter11 图与网络分析 ( Graph Theory and Network Analysis )
本章主要内容：
图与网络的基本概念与模型
最短路问题
最小生成树问题 最大流问题 最小费用最大流问题
图与网络的基本概念与模型
汉 汉阳 汉口
江
长
您能从武汉理工大学出发走过 每座桥且只走一次然后回到学 校吗?
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj 的关联边。若点vi、vj与同一条边关 联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具 有公共的端点，称边ei和ej相邻。
v4 e1 v1 e4 e5 e6
e2
v2
e3 v3 e8
e7
v5
图与网络的基本概念与模型
• 定义：
• 1）人—M（Man），狼—W（Wolf）， 羊—G（Goat）， 草—H（Hay） • 2） 点—— Vi 表示河岸的状态 • 3） 边—— ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状态 vj • 4） 权——边 ek 上的权定为 1 我们可以得到下面的加权有向图：
• 赋权图：对一个无向图G的每一条边(vi,vj)，相应地有一个数wij，则称
图G为赋权图，wij称为边(vi,vj)上的权。 • 网络：在赋权的有向图D中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点，
百度文库
其它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就
称为网络。
11
最短路问题
• 如何用最短的线路将三部电话连起来？ • 此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三顶点 的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路 线者显然是二边之和（如AB∪AC）。
江
武昌
图与网络的基本概念与模型
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Kö nigsberg 城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。 这就是著名 的“哥尼斯堡 7 桥”难题。Euler1736年证明了不可能存在这样 的路线。
Kö nigsberg桥对应的图
图与网络的基本概念与模型
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲 直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图与网络的基本概念与模型
主要概念(p231-p232)
无向图：由点和边构成的图，记作G=（V，E）。 • 有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。 • 连通图：对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则 G为连通图。 • 回路：若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
(v 赵1) e1
(v2)钱 e2
(v3)孙
e4 (v4) 李 (v5) 周 e5 (v7)陈
e3
(v6)吴
e2
(v e4 e3 赵1) e1 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5) e5 吴(v6) 陈(v7)
可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
§1
图与网络的基本概念
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就 是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向 (v2)钱 的弧表示。
环, 多重边, 简单图
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条，称为多重边，如右图
v2 e5 e2 e1 v1
e4
e3 v3
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
称作简单图。
e6
e7
e8
v4
v5
图与网络的基本概念与模型
链，圈，连通图(P231) 图中某些点和边的交替序列，若其 中各边互不相同，且对任意Vi-1,Vi 和vi+1均相邻称为链。用μ表示：