第17讲 正弦激励下一阶电路的响应

f 2 (t ) y f 2 (t )
时不变电路的延时不变性
f (t t 0 ) y f (t t 0 )
杜阿密尔积分(叠加积分): 适用于f(t)为解析表示式时计算电路的零 t 状态响应。
y f (t ) f (0) g (t ) f ( )g (t )d
y(t ) [ y(0 ) AS ]e
a0t
AS
IS
G
t 0
iL(t)
L
uL(t)
duc 1 1 uc Us dt RC RC
uc ( t ) [uc (0 ) U S ]e
t RC
di L 1 1 iL Is dt GL GL
US i L (t ) [i L (0 ) I S ]e
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
求得全响应
uC (t ) (U 0 U m sin )e
固有响应 （暂态响应）
t

U m sin( t )
强迫响应 （正弦稳态响应）
t0
例 1 如图所示一阶电路，已知 R=1 Ω ， L=2H， 电感电流的初始值iL (0+)=3A，激励的 正弦电压uS(t)=Umcos ωt V，其中Um=10 V， ω=2 rad/s，求电感电流iL 的全响应。
则
LI m sin(t ) RIm cos(t ) U m cost
[ RIm sin LI m cos ] sin t [ RIm cos LI m sin ] cost U m cost
[ RIm sin LI m cos ] sin t [ RIm cos LI m sin ] cost U m cost
对任意t均成立
∴ RI m sinθ + ωLIm cosθ = 0 RI m cosθ ωLIm sinθ = U m
L arctan 76
代入数值后解得:
R
Im

Um R 2 (L) 2
2.43 A
iLp 2.43cos(2t 76 ) (A)
iLp (0 ) 2.43cos(76 ) 0.59
st
uC (t ) uCh (t ) uCp (t )
Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
由特征方程求出特征根:
根据完全解和初始条件得:
uC (0 ) K U m sin U0
K U0 U m sin
又因特解应满足电路方程, 故将特解及其导数代入电路方程得:
解: 根据KVL, 有
diL L RiL us U m cost dt
diL 1 1 iL us dt L ( L ) R
diL L RiL us U m cost dt
其全解iL(t)由齐次解 iLh(t)和特解 iLp(t)组成, 即
diL 1 1 iL us dt L
Um US cos U m sin RC RC Um U m cos sin 0 RC
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
uC (t ) Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
uS
K U0 U m sin
（t≥0）
固有响应(暂态响应)
强迫响应 (稳态响应)
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y( t ) y(0 )e
t

2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R=GL 工程上规定： 认为一般换路到3 ~5 （衰减到初始值的4.98%~0.7%）时，过 渡过程结束。 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 5. 时间常数 的简便计算： N Req C N
(t )
C
uC
–
uC (0-)=0
线性电路的线性性质
1 RC i(t ) e (t ) R
t
如果
则 如果
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 y f 1 (t ) a2 y f 2 (t )
f (t ) y f (t )
则
f1 (t ) y f 1 (t )
US U U m cos( t ) sin(t ) sin t RC RC
展开并整理得: Um Um US [ cos U m sin ] sin t [U m cos sin ] cos t sin t RC RC RC 上式对任意时刻 t 均成立, 故有:
1 L

1 L1
L1 L1
2
n
一阶电路：只有一个动态元件的电路， 其电路方程为一阶微分方 程， 故称为一阶电路。 n阶电路：含有n个独立的动态元件的电路， 其电路方程为n阶微分 方程， 称为n阶电路。 uR0(t) i(t) i(t) R0 G0 isc(t) L uL(t) uoc(t) u (t) C

iL (t ) iLp (t ) [iL (0 ) iLP (0 )]e
2.43cos(2t 76 ) (3 0.59)e

t

t 2
2.41e0.5t 2.43cos(2t 76 ) (A)
t 0
iL (t ) 2.41e
0.5t
2.43cos(2t 76 ) (A)
RC
LG
使用条件： 外施激励为直流或正弦函数。 依据： ①在全响应下，一阶电路中各处的u、 i均按指数规律变化。 初始值～最终值（稳态值）。 ②同一个电路，u、 i的变化由同一个τ决定。
阶跃响应 电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应，用g(t)表示。 t i R uC (t ) (1 e RC ) (t ) +
t
iL (t ) iLh (t ) iLp (t )
iL (0 ) K iLp (0 )
Ke

iLp (t )
iL (t ) iLp (t ) [iL (0 ) iLP (0 )]e
设
t

t 0
iLp (t ) I m cos(t )
0
1 C
ψ L＝ L i u与 i 关联
u L di dt
u与 i 关联

t
0
i ( )d
1 t i i (0 ) u()d L 0
1 2 WL Li (t ) 2
WC
1 2
Cu 2 ( t )
电容元件的特点： (1)记忆性元件; (2)储能无源元件; (3)电压不能突变.
电感元件的特点： (1)记忆性元件; (2)储能无源元件; (3)电流不能突变.
i +
C1
C2 u
1 1
Cn
i +
L1
L2
u
Ln
–
1/C= 1/C1+ 1/C2+…+1/Cn
L L1 L2 Ln
uk
Ck
u
+ u
C
Lk uk u L
i
L1
L2
Ln
ik
1 1
Lk L
i
C C1 C2 Cn Ck ik i C
Req
L
= ReqC
= L / Req
K(t=0)
US
R
R
i
C
+u –
uC
–
+
duC RC uC U S dt
uC (0-)=0
uC U S (1 e
t RC
)
(t 0)
K(t=0)
US
R
iL uL
– +
+u – R L
diL L +RiL= US dt
iL(0-)=0
t GL
IS
当激励为正弦函数时, 一阶电路的响应如何
?
正弦激励下一阶RC电路的响应
设
uS (t ) U S sint uC (0 ) U 0
duc 1 1 uc U s sin t dt RC RC
uS
则
齐次解: 特解: 完全解:
uCh (t ) Ke uCp (t ) Um sin( t )
iL
U (1 e R
S
Rt L
)
(t0)
f (t ) f () f (0 ) f ()e
三要素：
t
①f(0+): 初始值，独立和非独立初始条件求解。 t=0-,C开路，Ｌ短路。零状态时，Ｃ短路，Ｌ开路。 ②f(∞): 特解，稳态值，最终值。Ｃ开路，Ｌ短路 ③τ ：

t 0
固有响应 (暂态响应)
强迫响应 (稳态响应)
由上可见，当电路 较复杂时，求解电 路的正弦稳态响应 非常繁复，因而需 要一种分析和计算 正弦稳态响应的简 便方法——相量法 （第四章）。
第三章
电容 一阶电路 一阶常微分方程
动态电路
串联和并联
动态元件 动态电路 动态电路方程
小结
电感 二 阶电路 二阶常微分方程 的 零 输串 入联 响电 应路 RLC 的 阶 跃串 响联 应电 路 RLC
三零零 要状输 素态入 公响响 式应应
正杜阶 弦阿跃 稳密响 态尔应 响积 应分
动态电路方程的解 齐次解和特解 固有响应 暂态响应 强迫响应 稳态响应
初始值（换路定律）
动态元件：元件的电压、电流关系中涉及对电流、电压的微分或积 分的元件，如电容、电感。
q Cu
du i C dt
u (t ) u (0 )
dy (t ) a0 y (t ) b0 f (t ) 特征方程为：s+ a0 =0 dt 特解与激励有相似的形式。
特征根
s= a0
齐次解为yh(t)=Kest= Ke - a0 t(K为待定常数，由初始条件确定)
激励f(t)为常数时: 特解也为常数.
-t
RC uc (t ) (U 0 U s )e U s
c
du R0C c uc (t ) uoc (t ) dt
diL G0 L iL isc (t ) dt
Hale Waihona Puke Baidu
is
iG
G
C
iC
iL
L
u
1 d iS d2u 1 du 1 LC u RC dt dt C dt
————
————
线性常系数微分方程的解由两部分组成：
y(t) = yh(t) + yp(t)