第五周 事故树分析——定量计算

事故树定量分析
计算顶事件的概率 三个重要度——结构重要度（定性 三个重要度 结构重要度（ 结构重要度 分析）、概率重要度、 ）、概率重要度 分析）、概率重要度、临界重要度
一、基本计算公式
1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式 逻辑加（或门连接的事件） P0 = g ( x1+ x2+ …+ xn) = 1－(1－ q1) (1－ q2)…(1－ qn) － － － －
②事故树是由众多基本事件构成的，这些基本事件对顶上事件均产生影 响，但影响程度是不同的，在制定安全防范措施时必须有个先后次 序，轻重缓急，以便使系统达到经济、有效、安全的目的。
③结构重要度分析虽然是一种定性分析方法，但在目前缺乏定量分析数 据的情况下，这种分析是很重要的。
④ 结构重要度分析方法有两种（分析内容）： 一种是计算出各基本事件的结构重要度系数，按系数由 大到小排列各基本事件的重要顺序； 另一种是用最小割集和最小径集近似判断各基本事件的 结构重要度的大小，并排列次序。 ⑤ 结构重要度系数的求法。 假设某事故树有几个基本事件，每个基本的状态都有两种： 1 X= 0 表示基本事件状态发生 表示基本事件状态不发生
i r
xi ∈ pr U ps —属于第 个或第 个最小径集的第 个基本 属于第r个或第 个最小径集的第i个基本 属于第 个或第s个最小径集的第
事件
P (T ) = 1 − ∑ ∏ (1 − qi ) +
r =1 xi ∈Pr
kБайду номын сангаас
1≤ r < s ≤ k xi ∈Pr U Ps
∑ ∏ (1 − q ) − L + ( −1)
2、最小径集法 根据最小径集与最小割集的对偶性，利用最小径集同样可 1、列出顶上事件发生 、 求出顶事件发生的概率。 的概率表达式
2、展开，消除每个概率积中的重复的概 、展开， 率因子 (1-qi )· (1-qi)=1-qi
3、将各基本事件的概率值带入， 、将各基本事件的概率值带入， 计算顶上事件的发生概率
求顶上事件T发生的概率 求顶上事件 发生的概率
T=X1X2+X3(X6+X7+X8)X4X5 先计算P(M1)， P(M3) 再计算P(M2)= P(X3X4X5M3) 最后计算P(T)= P(M1+M2)
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
P(T ) = 1− [(1− q1 )(1− q3 ) + (1− q1 )(1− q5 ) + (1− q3 )(1− q4 ) + (1− q2 )(1− q4 )(1− q5 )] +[(1− q1 )(1− q3 )(1− q5 ) + (1− q1 )(1− q3 )(1− q4 )
+(1− q1 )(1− q2 )(1− q3 )(1− q4 )(1− q5 ) + (1− q1 )(1− q5 )(1− q3 )(1− q4 ) +(1− q1 )(1− q2 )(1− q4 )(1− q5 ) + (1− q2 )(1− q3 )(1− q4 )(1− q5 )] −[(1− q1 )(1− q3 )(1− q4 )(1− q5 ) + (1− q1 )(1− q2 )(1− q3 )(1− q4 )(1− q5 ) +(1− q1 )(1− q2 )(1− q3 )(1− q4 )(1− q5 ) + (1− q1 )(1− q2 )(1− q3 )(1− q4 )(1− q5 )] +(1− q1 )(1− q2 )(1− q3 )(1− q4 )(1− q5 )
某事故树共有2个最小径集：P1=｛X1，X2｝， P2=｛X2，X3｝。 已知各基本事件发生的概率为：q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求顶上 事件发生概率？
P(T ) = PP1 ⋅ PP 2 = 1 − [(1 − q1 )(1 − q2 ) + (1 − q2 )(1 − q3 )] + (1 − q1 )(1 − q2 )(1 − q3 ) = 1 − [1 − q1 − q2 + q1q2 + 1 − q3 − q2 + q3 q2 ] + (1 − q1 − q2 + q1q2 )(1 − q3 ) = q1q3 − q1q2 q3 + q2 = 0.4
i
k −1
r =1 xi ∈P U P2 U P3 LU Pk 1
∏
k
(1 − qi )
公式中的第二项 “减去各最小径集实现的概率的和”（将各最 小径集中的基本事件不发生的概率积相加）；但有重复计算的情况， 因此， 在第二项中 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将每 两个最小径集并集的各基本事件不发生的概率积相加）；还有重复 计算的情况； 在第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将每三 个最小径集并集的基本事件不发生的概率积相加）； 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径集 同时实现的概率”
P (T ) = 1 − (1 − q1q2 − q2 q3 q4 + q1q2 q2 q3 q4 ) = q1q2 + q2 q3 q4 − q1q2 q3 q4 = 0.5 × 0.2 + 0.2 × 0.5 × 0.5 − 0.2 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125
3．当事故树含有重复出现的基本事件时， 或基本事件可能在几个最小割集中重复 出现时，最小割集之间是相交的，这时， 应按以下几种方法计算。
例如：某事故树共有4个最小径集， P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P3=｛ X2， X4，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 试用最小径集法求顶上事件发生概率？
P(T ) = 1− ∑ ∏ (1− qi ) +
U Es
∏
U E2 U E3LU Ek
k
qi
式中：r、s、k—最小割集的序号，r＜s＜k； i — 基本事件的序号， 1≤r＜s≤k—k个最小割集中第r、s两个割集的组合顺序； —属于第r个最小割集的第i个基本事件；
xi ∈ Er
xi ∈ Er U Es
—属于第r个或第s个最小割集的第i个基本事件。
重要度分析 • 重要度的概念
– 定义
• 底事件或最小割集对顶事件发生的贡献
– 目的
• 确定薄弱环节和改进设计方案
– 重要度分类 • 结构重要度 • 概率重要度 • 临界重要度
1 基本事件的结构重要度分析
①结构重要度分析就是不考虑基本事件发生的概率是多少，仅从事故树 结构上分析各基本事件的发生对顶上事件发生的影响程度。
P (T ) =
∑∏
k
r =1 x i ∈ E r
qi −
1≤ r ≤ s ≤ k x i ∈ E r
∑
∏
q i + L + ( − 1) k −1
U Es
r =1 xi ∈ E1
∏
U E 2 U E3 L U E k
k
qi
求各最小割集E的发生概率的和” 公式中的第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最小 割集中的基本事件的概率积相加 概率积相加）； 割集中的基本事件的概率积相加）； 减去每两个最小割集同时发生的概率 每两个最小割集同时发生的概率” 在第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每两 个最小割集并集的基本事件的概率积相加）；还有重复计算的情况 概率积相加）；还有重复计算的情况， 个最小割集并集的基本事件的概率积相加）；还有重复计算的情况， 在第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三个 加上每三个最小割集同时发生的概率” 每三个最小割集同时发生的概率 最小割集并集的基本事件的概率积相加） ； 最小割集并集的基本事件的概率积相加） 概率积相加 以此类推，加减号交替， 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同 时发生的概率” 时发生的概率”
1、列出顶上事件 、 发生的概率表达式
2、展开，消除每个概率积中 、展开， 的重复的概率因子 qi · qi=qi 3、将各基本事件的概率值带 、 入，计算顶上事件的发生概率
如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 可省略第2步 件，可省略第 步
① 最小割集法 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时， 顶上事件等于最小割集的并集。 设某事故树有K个最小割集：E1 、E2 、…、Er、…、 Ek，则有：
r =1 xi ∈Er
k
1≤ r ≤ s ≤ k xi ∈Er
∑ ∏
qi + L + (−1)
k −1 r =1 xi ∈E1
U Es
∏
U E2 U E3LU Ek
k
qi
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ ｛ ， ， ｛ ， E3=｛X3，X5｝ ｛ ， ｝
P(T ) = q1q2 q3 + q1q4 + q3q5 − q1q2 q3 q4 − q1q2 q3 q5 − q1q3q4 q5 + q1q2 q3 q4 q5 = 0.001904872
2、逻辑乘（与门连接的事件）的概率计算公式 逻辑乘（与门连接的事件） PA= g ( x1· x2 · … · xn) = q1 q2 … qn
二、分步计算法
各基本事件的概率分别为： 各基本事件的概率分别为：
q1= q2 = 0.01 q3= q4 = 0.02 q5= q6 = 0.03 q7= q8 = 0.04
如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事件， 如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事件，可省 略第2步 略第 步
• 设某事故树有k个最小径集： P1 、 P2 、…、 Pr 、…、 Pk 。用 Dr （r=1，2，…，k）表 示最小径集不发生的事件，用 T 表示顶 上事件不发生。
由最小径集定义可知，只要 k 个最小径 集中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则： k T = U Dr
例如：某事故树共有3个最小割集：试用最 小割集法计算顶事件的发生的概率。 E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 求顶上事件发生概率？
P (T ) = ∑ ∏ qi −
T
+
E1
E2
.
X1 X2 X2
.
X3 X4
P (T ) = 1 − ∏ (1 − PEi ) = 1 − (1 − PE1 ) ⋅(1 − PE 2 )
i =1
2
= 1 − (1 − q1q2 ) ⋅ (1 − q2 q3 q4 )
P(T ) = 1 − (1 − 0.5 × 0.2) ⋅ (1 − 0.2 × 0.5 × 0.5) = 0.145
r =1
k 1 − P (T ) = P U Dr r =1
故顶上事件发生的概率： 故顶上事件发生的概率：
P(T) =1− ∑∏(1− qi ) +
r =1 xi ∈P r k 1≤r<s≤k xi ∈P UP r s
∑ ∏ (1− q ) −L+ ( −1)
i
k −1
r =1 xi ∈P UP UP LUP 1 2 3 k
T = U Er
r =1
k
顶上事件发生概率为：
k P (T ) = P U Er r =1
化简，顶上事件的发生概率为：
P(T ) = ∑ ∏ qi −
r =1 xi ∈Er k 1≤ r ≤ s ≤ k xi ∈Er
∑ ∏
qi + L + (−1)
k −1 r =1 xi ∈E1
r =1 xi ∈P r
k
1≤r <s≤k xi ∈P UP r s
∑ ∏ (1− q ) −L+ ( −1)
i
k −1
r =1 xi ∈P UP UP LUP 1 2 3 k
∏
k
(1− qi )
P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P4=｛ X2， X4，X5｝
∏ (1− q )
i
k
式中：Pr —最小径集（r=1，2，……k）； 最小径集（ ， ， 最小径集 ）； r、s—最小径集的序数，r<s； 最小径集的序数， ； 、 最小径集的序数 k—最小径集数； 最小径集数； 最小径集数 （1-qr）—第i个基本事件不发生的概率； 第 个基本事件不发生的概率； 个基本事件不发生的概率 属于第r个最小径集的第 个基本事件； 属于第 个最小径集的第i个基本事件 x ∈ p —属于第 个最小径集的第 个基本事件；