第三章 事故树计算题

.
X1 X2 X2
.
X3 X4
P(T ) 1 (1 PEi ) 1 (1 PE1 ) (1 PE 2 )
i 1
2
1 (1 qi ) (1 qi )Βιβλιοθήκη Baidu
i 1 i 1
2
3
1 (1 q1q2 ) (1 q2 q3q4 )
xi pr ps —属于第r个或第s个最小径集的第i个 基本事件
P(T ) 1 1 qi
r 1 xi Pr
k
1 r s k xi Pr Ps
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3

k
1 qi
P(T ) qi
r 1 xi Er
k
1 r s k xi Er

qi
Es
(1)k 1
r 1 xi E1

E2 E3 Ek
k
qi
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝
P(T ) q1q2 q3 q1q4 q3q5 q1q2 q3q4 q1q2 q3q5 q1q3q4 q5 q1q2 q3q4q5 0.001904872
P(T ) 0.116; I g (1) 0.16; I g (2) 0.49; I g (3) 0.12 q1 0.4 I (1) I g (1) 0.16 0.552 P(T ) 0.116 q2 0.2 c I g (2) I g (2) 0.49 0.845 P(T ) 0.116 q3 0.3 c I g (3) I g (1) 0.12 0.310 P(T ) 0.116
生的影响大小。
• 基本事件的结构重要度分析只是按事故树的结构
分析各基本事件对顶事件的影响程度，所以，还
应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的
影响，即对事故树进行概率重要度分析。
事故树的概率重要度分析是依靠各基本事件的
概率重要度系数大小进行定量分析。所谓概率
重要度分析，它表示第i个基本事件发生的概率
事故树定量分析
一、顶上事件发生的概率 1 ．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事 件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件 发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式 求得。 • 用“与门”连接的顶事件的发生概率为： n
P(T ) qi
i 1
• 用“或门”连接的顶事件的发生概率为：
P(T ) 1 (1 qi )
Pk
① 第一项 “减去各最小径集P实现的概率的和”（将各最 小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重 复计算的情况，因此， ② 第二项 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将每 两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相 加）；还有重复计算的情况， ③ 第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将 每三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积 相 加） ； 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径 集同时实现的概率”
以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同 时发生的概率”
例如：某事故树共有3个最小割集：试用 最小割集法计算顶事件的发生的概率。 E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 求顶上事件发生概率？
r 1 xi Er
k
1 r s k xi Er

qi
Es
(1)k 1
r 1 xi E1

E2 E3 Ek
k
qi
公式中的第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最 小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况， 因此， 在第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每 两个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计 算的情况， 在第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加） ；
☻利用上式求出各基本事件的概率重要度系数， 可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地 降低顶上事件的发生概率。
例如：某事故树共有2个最小割集：E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的概率重要度，
P (T ) q1q2 q2 q3 q1q2 q3 0.116 P (T ) I g (1) q2 q2 q3 0.16 q1 P (T ) I g (2) q1 q3 q1q3 0.49 q2 P (T ) I g (3) q2 q1q2 0.12 q3
• 由最小径集定义可知，只要k个最小径集 中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则：
T Dr
r 1
k
1 P(T ) P Dr r 1
k
• 故顶上事件发生的概率：
P(T ) 1 1 qi
r 1 xi Pr k 1 r s k xi Pr Ps

E2 E3 Ek
k
qi
• 式中：r、s、k—最小割集的序号，r＜s＜k；
i — 基本事件的序号， 1≤r＜s≤k—k个最小割集中第r、s两个割集的组合 顺序；
xi Er—属于第r个最小割集的第i个基本事件；
xi Er Es
—属于第r个或第s个最小割集的第i个基
本事件。
P(T ) qi
2．但当事故树含有重复出现的基本事件时， 或基本事件可能在几个最小割集中重复 出现时，最小割集之间是相交的，这时， 应按以下几种方法计算。
① 最小割集法 • 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这 时，顶上事件等于最小割集的并集。 • 设某事故树有 K 个最小割集： E1 、 E2 、 … 、 Er、…、Ek，则有：
基本事件的临界重要度（关键重要度）：
qi I i I g i P(T )
c g
c I 式中：g i ——第i个基本事件的临界重要度；
I g i ——第i个基本事件的概率重要度；
P(T) ——顶事件发生的概率； qi ——第i个基本事件发生概率。
例如：某事故树共有2个最小割集：E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的临界重要度，
的变化引起顶事件发生概率变化的程度。
由于顶上事件发生概率函数是n个基本事件发生
概率的多重线性函数, 对自变量qi求一次偏导，
即可得到该基本事件的概率重要度系数。
xi基本事件的概率重要度系数：
P(T ) I g i qi
式中：P（T）——顶事件发生的概率； qi ——第i个基本事件的发生概率。
0.001904872
1、列出定上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中的重 复的概率因子 (1-qi )·(1-qi)=1-qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
二、基本事件的概率重要度
• 基本事件的重要度：一个基本事件对顶上事件发
r 1 xi Pr
k
1 r s k xi Pr Ps
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3

k
1 qi
Pk
P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P4=｛ X2， X4，X5｝
P(T ) 1 [(1 q1 )(1 q3 ) (1 q1 )(1 q5 ) (1 q3 )(1 q4 ) (1 q2 )(1 q4 )(1 q5 )] [(1 q1 )(1 q3 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q3 )(1 q4 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q5 )(1 q3 )(1 q4 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )] [(1 q1 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )] (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )
P(T ) 1 (1 0.5 0.2) (1 0.2 0.5 0.5) 0.145
P(T ) 1 (1 q1q2 q2 q3q4 q1q2 q2 q3q4 ) q1q2 q2 q3q4 q1q2 q3q4 0.5 0.2 0.2 0.5 0.5 0.2 0.5 0.5 0.5 0.125
I g (2) I g (1) I g (3)
T
+
P1
P2
.
X1 X2 X2
.
X3
四、基本事件的临界重要度（关键重要度） 一般当各 qi不等时，改变 qi大的 Xi较容易， 但概率重要度系数并未反映qi变化。 考虑从本质上反映 Xi 在事故树中的重要 程度。 临界重要度分析，它表示第i个基本事件 发生概率的变化率引起顶事件概率的变 化率； 相比概率重要度，临界重要度更合理更 具有实际意义。
T Er
r 1
k
• 顶上事件发生概率为：
P(T ) P Er r 1
k
• 化简，顶上事件的发生概率为：
P(T ) qi
r 1 xi Er k 1 r s k xi Er

qi
Es
(1)
k 1 r 1 xi E1
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3

k
1 qi
Pk
式中：Pr —最小径集（r=1，2，……k）； r、s—最小径集的序数，r<s； k—最小径集数； （1-qr）—第i个基本事件不发生的概率； xi p r —属于第r个最小径集的第i个基本事件；
i 1 n
• 式中：qi——第i个基本事件的发生概率（i=1， 2，……n）。
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
T
+
E1
E2
例如：某事故树共有4个最小径集， P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P4=｛ X2， X4，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 试用最小径集法求顶上事件发生概率？
P(T ) 1 1 qi
1、列出顶上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中 的重复的概率因子 qi ·qi=qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
②最小径集法
• 根据最小径集与最小割集的对偶性，利 用最小径集同样可求出顶事件发生的概 率。 • 设某事故树有 k个最小径集：P1、P2、…、 Pr、…、Pk。用Dr（r=1，2，…，k）表 示最小径集不发生的事件，用 T 表示顶 上事件不发生。