弧长的曲线积分

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思考判断题
（1） 对弧长的曲线积分的定义中 Si
的符号可能为负吗？
（2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方 向有关？
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练习题
一、填空题:
1、已知曲线形构件L 的线密度为 ( x, y) ,则L 的质量 M =_______________；
2、L ds =_______________；
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注意：
（1）弧长曲线积分存在的充分条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
（2）推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的
曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i ) si .
解 由对称性, 知 x2ds y2ds z2ds.
故 I 1 ( x2 y2 z2 )ds 3
a2 ds 2a3 . (2a ds, 球面大圆周长)
3
3
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四 对弧长曲线积分的应用
(Application of integral over curve for arc length)
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如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
这和的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲
线积分, 记作L f ( x, y)ds, 即
n
L
f ( x, y)ds lim 0 i1
f (i ,i ) si .
曲线形物体的质量 M L ( x, y)ds.
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3 2
1 0
1 (5 5 1) 12
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上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
o
1x
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例2 求I L yds,
y2 4x
其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段.
L的
参
数
方
程
为 xy
(t), (t),
( t )其 中
(t), (t)在[ , ]上 具 有 一 阶 连 续 导 数, 且
f ( x, y)ds
f [ (t), (t)]
2(t) 2(t)dt
L
( )
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注意:
（1）公式推广
: x (t), y (t), z (t). ( t )
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一 问题的提出 y
B
实例:曲线形构件的质量
分布均匀的线状物体之Fra Baidu bibliotek量 M s.
L Mn1
(i ,i ) Mi
M2
分布不均匀的线状物体之质量采
A M1
M i 1
用微元素法解决。
o
x
(1) 分割
M1, M2 , , Mn1 si ,
(2) 取点 (3) 求和 (4) 取极限
(i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
z k 的一段. (0 2 )
解
2
I a2 cos 2 a2 sin2 k 2 2 0
• (a sin )2 (a cos )2 k 2 d
2 (a2 k 2 2 ) a2 k 2 d 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ).
3
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例5 求I x2ds, 其中为圆周 x2 y2 z2 a2 , x y z 0.
(1) 曲线弧的转动惯量 ,
Ix
x 2 ds,
L
Iy
y 2 ds.
L
I0
( x2 y2 )ds,
L
(2) 曲线弧的质心坐标
x L xds , L ds
y L yds . L ds
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例4 计算半径为R,中心角为2的圆弧L对于
它 的 对 称 轴 的 转 动 惯 量(设 线 密 度 为1）.
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2、 x 2 yzds,其中L 为折线ABCD ,这里A , B , C , D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；
3、 ( x 2 y 2 )ds ,其中L 为曲线 L
x a(cos t t sin t )
y
a(sin t
f (x, y)ds
d
f [ (y), y]
1 2( y)dy.
L
c
(c d)
(3) 定积分的下限 一定要小于上限 ;
f ( x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
f ( x, y, z)ds
f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
（2）特殊情形
( )
1• L : y (x) a x b.
f (x, y)ds
b
f [x,(x)]
1 2 ( x)dx.
L
a
(a b)
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2• L : x ( y) c y d.
x
6ak 2 3a2 42k 2
；
y
6ak2 3a2 42k 2
；
z
3k(a2 22k2 ) 3a2 42k 2 .
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2、它的重心 .
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练习题答案
一、1、L ( x, y)ds； 2、L 的弧长 ；
3、弧长；
4、<.
二、1、ea (2 a) 2； 4
3、22a3 (1 22 )；
2、9； 4、2a 2 (2 2) .
三、 I z
2 a2 3
a2 k 2 (3a2 42k 2 )；
t
cos
t)
(0 t 2 ) ；
4、计算L y ds ,其中L 为双纽线
( x 2 y 2 )2 a 2 ( x 2 y 2 ) (a 0) .
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为x a cos t , y a sin t ,
z kt ,其中0 t 2 ,它的线密度
( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量 I Z ；
解: 如图设置坐标系
y
x
L
:
y
Rcos t, R sin t ,
(
t
).
x
I x
y 2ds
L
R2 sint ( R sint )2 R2 cos 2 tdt
R3 sin2tdt R3( sin cos ).
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五 小结与思考判断题
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
解
I
2
y
1 ( y)2dy
0.
2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k
a2 k 2d
0
1 ka2 a2 k2 . 2
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例4
求I ( x2 y2 z2 )ds, 其中 : x a cos , y a sin ,
在L上有界.用L上的点M1, M2 , , Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的一点,
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i 1
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
x
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3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；
4、 f ( x, y)ds = f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t) dt 中 要
L
求 ________ .
二、计算下列求弧长的曲线积分:
1、 e x2 y2 ds,其中L 为圆周x 2 y 2 a 2 ,直线y x L 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
L1 L2
L1
L2
(2) L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds.
(3) L kf ( x, y)ds kL f ( x, y)ds (k为常数).
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三 对弧长曲线积分的计算方法
定理(参数公式法）
设 f ( x, y)在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续,
第十章 曲线积分与曲面积分
(Integral over surface and Integral over curve)
第一节 对弧长的曲线积分
(Integral over curve for arc length)
一 问题的提出 二 对弧长曲线积分的概念 三 对弧长曲线积分的 计算 四 对弧长曲线积分的 应用 五 小结与思考判断题
(3) 当 f ( x, y) 1时,
L弧长
ds;
L
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(4) 函数f ( x, y)在闭曲线 L上对弧长的
曲线积分记为L f ( x, y)ds.
3 性质
(1) 若 L(或)是分段光滑的 (L L1 L2 )
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
n
M (i ,i ) si .
i1 n
M
lim
0
i 1
(i ,i )
si .
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二 对弧长的曲线积分的概念
(Conception of integral over curve for arc length) 1 定义
设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)