二面角的计算方法精讲
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图1
二面角的计算方法精讲
二面角是高中数学的主要内容之一,是每年高考数学的一个必考内容,本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法,供同学们学习参考。
一 、直接法:即先作出二面角的平面角,再利用解三角形知识求解之。通常作二面角
的平面角的途径有:
⑴定义法:在二面角的棱上取一个特殊点,由此点出发
在二面角的两个面内分别作棱的垂线;
⑵三垂线法:如图1,C 是二面角βα--AB 的面β内
的一个点,CO ⊥平面α于O ,只需作OD⊥AB 于D ,连接CD ,用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。
⑶垂面法:即在二面角的棱上取一点,过此点作平面γ,使γ垂直于二面角的棱,则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。
例1 如图2,在四棱锥V-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形, 平面VAD⊥底面ABCD . (1)证明AB⊥平面VAD ;
(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小. 解:(1)证明:
VAD ABCD
AB AD AB VAD
AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫
⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⎭
I 平面平面平面平面平面平面 (2)解:取VD 的中点E ,连结AF ,BE , ∵△VAD 是正三形,四边形ABCD 为正方形,
∴由勾股定理可知,
BD VB,===
∴AE⊥VD,BE⊥VD,
∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt△ABE 中,∠BAE=90°,
AE=
2
AD=2
AB ,
因此,tan∠AEB=
.3
3
2=AE AB 即得所求二面角的大小为.33
2arctan
例2 如图3,AB⊥平面BCD ,DC⊥CB,AD 与平面BCD 成30°的角,且AB=BC. (1)求AD 与平面ABC 所成的角的大小; (2)求二面角C-AD-B 的大小;
(3)若AB=2,求点B 到平面ACD 的距离。 解:(1) ∵AB⊥平面BCD ,
∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300
,且CD⊥AB, 又∵DC⊥BC,AB BC B =I , ∴ CD⊥平面ABC ,
∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ,
设AB=BC=a,则AC=a 2, BD=acot300
=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=,
∴ tan∠DAC=122==a a CD AC , ∴ 045=∠DAC ,
即,AD 与平面ABC 所成的角为450
. (2)作CE⊥BD 于E ,取AD 的中点F ,连CF , ∵ AB⊥面BCD ,ABD AB ⊂面, ∴ 面ABD⊥面BCD ,
又∵ 面ABD I 面BCD=BD ,BCD CE ⊂面,CE⊥BD, ∴ CE⊥面ABD ,
又∵AC=BC=a 2,AF=FD ,∴AD⊥EF,
有三垂线定理的逆定理可知,∠CFE 就是所求二面角的平面角.
计算可知, BC CD CE BD ⋅==,2AD a,1
2
CF AD a ==,
∴ 3
CE sin CFE CF ∠=
=,∴∠CFE=arc sin 3
故,所求的二面角为arcsin 3
例3如图4,P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点,1PA =,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O.
(1)证明PA ⊥BF ;
(2)求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。 解:(1)在正六边形ABCDEF 中,ABF ∆为等腰三角形, ∵ P 在平面ABC 内的射影为O , ∴ PO⊥平面A BF ,
∴ AO 为PA 在平面ABF 内的射影; 又∵ O 为BF 中点,ABF ∆为等腰三角形, ∴ AO⊥BF,
∴ 有三垂线定理可知,PA⊥BF . (2)∵O 为BF 中点,ABCDEF 是正六边形 ,
∴ A 、O 、D 共线,且直线AD⊥BF, ∵ PO⊥平面A BF ,ABF BF ⊂面,
∴ 由三垂线定理可知, AD⊥PB,
过O 在平面PBF 内作OH⊥PB 于H ,连AH 、DH , 则 PB⊥平面A HD,所以AHD ∠为所求二面角平面角。
又∵正六边形ABCDEF 的边长为1,∴12AO =
,32
DO =
,BO =。
1
AHO tan AO OH AHO OH
∆=
∠===在中,,
3
DHO tan DO
DHO OH ∆∠=
==在中,;
tan tan()AHD AHO DHO ∠=∠+∠==从而,
故,
所求的二面角为π
二、面积射影法:
如图5,二面角l αβ--为锐二面角, △ABC 在半 平面α内, △ABC 在平面β内的
射影为△A 1B 1C 1,那么二面角l αβ--的大小111 cos A B C ABC
S S θθ∆∆=
应满足.
例4 如图6,矩形ABCD 中,AB=6,BC=32,沿对角线BD 将ABC ∆折起,使点A 移至点P,且P 在平面BCD 内的射影为O,且O 在DC 上. (1)求证:PD⊥PC;
(2)求二面角P-DB-C 的平面角的余弦值;
(3)求CD 与平面PBD 所成的角的正弦值.
解: (1)证明: ∵ PC 在面BCD 内的射影为OC, 且OC⊥BC,
∴由三垂线定理可知,BC⊥PC,又∵PB=6,BC=32, ∴PC=,62而PD=32,DC=6
∴ =+2
2
PC PD 36=DC 2
,∴ PD⊥PC.
(2
)PBD 1
OBD S 62
PBD ∆∆∆=⨯⨯=在面BCD 内的射影为,且 OC 322
1
36S S S BOC CBD OBD ⨯⨯-
=-=∆∆∆. 设OC=x,则OD=6-x , ∵ 2222BD DO BC CO ,-=-
∴ ()2
2
61224x x --=- , ∴.4=x
∴
,323436=-=∆BOD S
设二面角P-DB-C 的大小为θ,则.31363
2cos ==
θ 1
arccos .3
故,所求二面角为
三、空间向量法:
I 、先用传统方法作出二面角的平面角,再利用向量的夹角公式进行计算。