关于极限思维法的思考

关于极限思维法的思考
南京市江宁区湖熟初级中学 张德祥
一、问题的提出
我在参加暑期培训的一次课上，许志老师在讲授极限思维法的应用时举到下面一个例题。
如图1（甲），在两个完全相同的容器中装有等质量的A、B两种液体。液体中a、b两点到容器底部的距离相等，则a、b两点压强Pa、Pb的大小关系是 （ ）




A、Pa＜Pb B、Pa＝Pb C、Pa＞Pb D、无法判断
这是一个老题目，许多老师都做过、讲过常规方法，在当时情景之下不少老师都想到用极限思维法。即将 a、b两点到容器底部的距离放大到B液体的液面高度，如图1（乙）此时， b点却已到液面，Pb ＝0，a点仍在液体内部，Pa＞0，显然Pa＞Pb 。这样使得Pa、Pb两者关系明朗。
就在大家沉浸在感受这种方法的优越性之中时，有一位女教师提出既然可以将a、b两点到容器底部的距离用极限思维的方法扩大到B液体的液面高度，也可以将a、b两点到容器底部的距离缩小到容器底部。但此时可由题意知道Pa＝Pb，显然得出了一个错误的结论。
于是，全班哑然！
渐渐疑问声起。都是采用了极限思维法，将a、b两点到容器底部的距离扩大可以，缩小为什么就不行呢？极限思维法的应用条件是什么？
二、问题的思考
（一）第一阶段
回到宿舍后，我继续思考这一问题，并与同宿舍的老师在一起探讨。
1、本题之所以要用到“极限思维法”这一非常规武器，是因为a、b两点在液体中的深度ha＞ hb而液体密度ρa＜ρb，这样两者压强大小关系不够明确，无法直接判断。
2、图2是a、b两点压强p和a、b两点到容器底部的距离h 关系图像.图中虚线1就是前面所述，当a、b两点到容器底部的距离用极限思维
的方法扩大到B液体的液面高度时的情景，由图可知Pa＞Pb。从
图中还可以看出，只要保证a、b两点到容器底部的距离相等，总
有Pa＞Pb，如图中虚线2。同时也可以看出随着h的减小Pa、Pb的
大小之差在逐渐减小。当a、b两点落到容器底部时Pa＝Pb。
由此，我知道本题中采用极限思维法只能将a、b两点到容器底部的距离用极限思维的方法扩大到B液体的液面高度，而不可以将a、b两点到容器底部的距离缩小到容器底部。
但极限思维法的应用条件究竟是什么？
（二）第二阶段
为了能对这个问题进行进一步的思考，培训结束后，我找到了许多同行关于极限思维法应用方面的文章。但这些文章中多数指出了什么是极限思维法，以及应用极限思维法的优点，并举出了一些例子加以说明。遗憾的是这些文章并没有指出应用极限思维法的条件或范围。虽然如此，看文章、做题的过程实质也是我思

考的过程。以下就是我在同行们文中看到的、或近期遇到的几个应用极限思维法比较典型的例子。
例1：如图3，轻质杠杆的两端分别挂着300N的铜块和200N的铝块，杠杆在水平位置平衡。若杠杆两头各减少50 N,杠杆将会 （ ）
A、左端下沉 B、右端下沉 C、仍保持水平平衡 D、无法判断
【分析】本题采用极限思维法，使两边由减少50 N扩大
为减少200N。则右边变为0N，左边变为100N，此时显然左
边下沉。应选A。
例2：如图4容器中由一定量的水，入射光线1斜射入水中，折射光线为2，在容器底部P点形成一亮点。当打开容器底部阀门时，随着水面的下降，亮点p将 （ ）
A、向左移动 B、向右移动
C、不移动 D、无法判断
【分析】本题如果在原来水面下再画出水面下降后的水面，可以根据光的折射定律作出新的折射光线3，可以看出光点右移到Q点。但如果将这里的物理过程用极限思维法扩大化，即水流尽，光线不存在折射，直接照射到容器底S点。
例3：如图5所示为一形状规则、质地均匀的长木板，可绕支点o转动。小红和爸爸分别站在木板两端。
（1）若小兰和爸爸的体重分别为400N和800N，小兰站在距支点2m处，则爸爸站在距支点多远处杠杆刚好水平平衡？
（2）若小兰和爸爸相向而行且小兰的速度为0.5m/s爸爸的速度为多大才能使木板的平衡不被破坏？
【分析】（1）G1=800N，G2=400N，L2=2m
G1 L1= G2 L2 SHAPE \* MERGEFORMAT
L1= 1m
(2)对过程采用极限思维法
若是杠杆水平平衡不被破坏，小兰和爸爸应同时到达支点处。
t= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 4s
v1= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 0.25m/s
三、思考的收获
通过对包括以上例题在内的众多习题的思考，对于极限思维法的应用条件我逐步有了自己的思考。
1、适用范围
通过以上几例可以看出极限思维法，一般用于定性分析类问题，也可用于定量计算类问题的答案可能性的判断上，也就说这种方法一般使用于客观题。
2、所研究的问题应具有单向连续性
单向连续性就是说所研究的问题的变化是连续的、不间断的，而且单向递增或递减。如许老师所举例题中a、b两点的压强差随着a、b两点到容器底部距离减小而减小。例1中左右两边力和力臂的乘积之差随着左右两边力的减小而增大。例2中光点随着水面的下降而逐步右移。
3、应用极限思维法应建立在事实的基础上
极限思维法的应用实际就是将所研究问题的条件在一定范围内进行夸大或缩小，以使问题中的物理关系、物理过程变得更加简单、明朗。这就是说采用极限思维法仍应尊重客观事实。在许

老师所举例题中，a、b两点到容器底的距离是是相等的，但并没有明确具体为多大，在此基础上我们将a、b两点到容器底的距离进行夸大，使两者压强关系变得简单明确。而那位女教师所提出的将a、b两点到容器底的距离缩小到零却违反了本题a、b两点到容器底的距离本不为零的事实。
学生在掌握基本物理规律的基础上，应用极限思维法可以帮助学生快速准确的处理问题，特别是对于客观题该方法有着很强的实用价值。同时，我们必须认识到该方法的应用是有条件的，并不适合所有类型的题目。其次，在中学物理的习题教学中讲授一些解题方法，不仅可以提高学生解题效率，更重要的是，通过对解题方法的学习，学生思维的广阔性、灵活性、发散性以及思维深度都将由不同程度的提高。作为物理教师，我们在习题教学中要重视解题方法的渗透。这正是我思考并写这篇文章的源动力。








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图1

图2

图3

图5

图4






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