1.1.1 空间向量及其线性运算2

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1.1.1 空间向量及其线性运算

基础达标练

1.化简(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的结果是( ) A.0

B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗

C.BC

⃗⃗⃗⃗⃗ D.AB

⃗⃗⃗⃗⃗ 2.(多选题)下列说法错误的是( ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线

3.空间任意四个点A ,B ,C ,D ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )

A.DB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AC

⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB

⃗⃗⃗⃗⃗ D.BA

⃗⃗⃗⃗⃗ 4.已知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是空间两个不共线的向量,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么必有( ) A.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B.MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面 D.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面 5.在空间四边形ABCD 中,若E ,F ,G ,H 分别为AB ,BC ,CD ,DA 边上的中点,则下列各式中成立的是( )

A.EB

⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C.EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FG ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GH

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 6.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为A 1D 1的中点,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-a -1

2b +c

B.a -1

2b +c

C.a -1

2b -c D.a +1

2

b -c

7.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是底面A 1B 1C 1D 1和侧面CC 1D 1D 的中心,若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +λA 1D

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(λ∈R ),则λ= . 8.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+k e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A ,B ,D 三点共线,则实数k 的值是 .

9.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为√5的所有向量. (3)试写出与AB

⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的所有向量.

2

(4)试写出AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的相反向量.

能力提升练

10.设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是( ) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形

D.矩形

11.(多选题)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中错误的是( ) A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量 B.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量 C.OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量

D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量

12..已知空间四边形OABC ,点M ,N 分别是OA ,BC 的中点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,用a ,b ,c 表示向量MN

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为 ( )

A.1

2a +1

2b +1

2c

B.1

2a -1

2b +1

2c

C.-1

2a +1

2b +1

2c D.-1

2a +1

2b -1

2c

13.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,P ,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么M 必

( )

A.在平面BAD 1内

B.在平面BA 1D 内

C.在平面BA 1D 1内

D.在平面AB 1C 1内

14.已知A ,B ,C 三点不共线,O 是平面ABC 外任一点,若由OP

⃗⃗⃗⃗⃗ =15

OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23

OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 确定的一点P 与A ,B ,C 三点共面,则λ= .

15.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC=2∶1,求证:A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.

16.如图,已知空间四边形ABCD ,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF

⃗⃗⃗⃗⃗ =23

CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23

CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.