角动量守恒及其应用

角动量守恒及其应用

李泽林，过程装备与控制工程，10110902。 摘要：掌握角动量守恒定律，并通过习题深入分析其应用和注意事项。

关键词：刚体，角动量，转动惯量，惯性系。

在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，常常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。但是如何正确应用角动量定律解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定律详细的推导，加深对定律的理解，以及通过习题来深入分析角动量守恒的正确应用。 1角动量守恒定律

1．1质点对参考点的角动量守恒定律 如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值

α

sin p r L ⋅=，其中α是质

点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。其角动量的变化量L ∆等于外力的冲量矩t

M

∆⋅（M 为外力对参

考点O 的力矩），即dt M dL ∙=。若M=0，得L ∆=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。

1．2质点系对参考点的角动量守恒定律

由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作

用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t

M

i

∆⋅∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即

t

M

L i

∆⋅=

∆∑。同样当

O

m

P α

图1

r ③

gh

v 20=

∑i M时（即质点系的和外力矩为零），质点系对该参考点的角=

动量守恒。

1．3角动量守恒的判断

当外力对参考点的力矩为零，

∑i M时，质点或质点系对该参

即0=

考点的角动量守恒。有四种情况可

判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。 2角动量守恒定律的应用

2.1开普勒第二定律，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔内扫过相等大小的面积

如图，设行星的质量为m，它相对太阳的位矢为r，速度为v，走过的路程为s。行星受到太阳对它的万有引力，方向沿着它和太

dt

dA m

L 2=α

si n rm v L =常数

=dt

dA 阳的连线，因此行星受到的外力矩为零，它相对于太阳所在的点O 角动量守恒。

=⨯=mv r L 恒矢量 角动量的大小为

行星的速率为 v=ds/dt 。代入得 中,ds sin αr 为行星对

式

太阳的矢径在dt 时间内扫过的面积dA 的两倍，dA r 2ds sin =α。代入得

由于角动量守恒，L 是一个常量，所以

即行星对太阳的矢径在相等得时间间隔内扫过的面积相等。

dt

ds

r m

dt

ds rm

L ααsi n si n ==

2.2如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质

量为M 的小球A ，以一给定速度

v 0沿垂直于杆DB 的方向与右端小球B 作弹性碰撞。求刚碰后小球A 、B 、C 、D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。

本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。

解析 ①小球A 、B 碰撞瞬间，球A 挤压B ，其作用力方向垂直于杆，使球B 获得沿0

v 方向的速度B

v 。从而在碰撞瞬间使小球C 、

D 的速度也沿0

v 方向。对质点组B 、C 、D 与A 组成的系统，碰撞前

后动量守恒。由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的质点组的质心处，所以小球C 的速度也就是质点组的质心速度。

可得：

0A C 3M M m =+v v v （1）

②质点组B 、C 、D 与A 是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后A 、B 、C 、D 的速度分别为A

v 、B v 、C v 、D

v ，得

m

m m M

D

B C

A

V 0

2

22220

A

B

C

D

11111+

22

2

2

2

M M m m =

+

+

v v m v v v

（2） （2）

③对质点组B 、C 、D 在碰撞瞬间，在B 处受到A 球的作用力，若取B （与B 球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B 、C 、D 在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得

C D

02m l m l =

+v v （3）

④由杆的刚性条件有：D

c c B

v v v v -=- （4）

由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得 C 0

456M M m =

+v v （5） A 0

5656M m M m -=+v v （6）

B 0

1056M M m

=+v v （7）

D 0

256M M m

=-+v v （8）

⑤碰撞后各小球的运动

碰撞后，质点组B 、C 、D 不受外力作用，其质心作匀速运动，

即

C 0

456M M m

=

+v v ，碰撞后，B 、

D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为

656B M

l

M m ω-=

=

+C

v v v l

。

方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，由于M 、m 取值不同而导致运动情形比