角动量守恒定理及其应用

角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。

角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。

关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用Angular momentum conservation theorems and theirapplicationAbstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts.Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application.引言在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。

例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。

在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。

我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。

角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。

事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。

角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。

角动量在20世纪已成为继动量和能量之外的力学中的重要概念之一。

1.力矩在物理学里，力矩可以被想象为一个旋转力或角力，导致出旋转运动的改变。

这个力定义为线型力乘以径长。

依照国际单位制，力矩的单位是牛顿-米[1]。

1.1对定轴的力矩如图1所示，一刚体绕定轴z 转动（只画出了刚体一部分），力F 作用在刚体上P 点，且力的方向在P 点的转动平面M 内。

如果力不在转动平面内，可以把F 分解为沿轴z 方向的分力和在转动平面内的分力。

轴向分力是要改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。

设P 点的转心为O ，径矢为r 。

通常把力F 对定轴z 的力矩定义为一个矢量F r M ⨯= （1）它的大小为Fd Fr M ==ϕsin （2）或r F Fr M t ==ϕsin （3）其中ϕsin r d =称为力F 对轴的力臂，ϕsin F F t =为力F 的切向分量。

由（3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r 和力F 矢积的方向。

图中的力矩矢量的方向向上。

在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z 轴和逆着z 轴两个方向。

我们把沿z 轴的力矩叫做正力矩，逆着z 轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。

可以证明，力对定轴z 的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z 轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。

若作用在p 点的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。

简要证明如下：按（1）式，合力的力矩图1 刚体对轴的力矩∑∑=⨯=⨯=i i M F r F r M (4)其中i i F r M ⨯=为各分力的力矩，证毕[2]。

1.2作用力矩和反作用力矩由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。

由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。

0'=+M M (5)2.角动量的概念刚体的转动惯量和角速度的乘积叫做刚体转动的角动量，或动量矩，代号L ，SI 单位千克二次方米每秒，符号kgm2/s 。

角动量是描述物体转动状态的物理量。

如果对于某一固定点,质点所受的合外力矩为零,则此 质点对该固定点的角动量矢量保持不变。

(质点角动理守恒定律)如果一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率(力矩和角动量都相对于惯性系中同一定点)。

(质点系的角动量守恒定理)角动量是矢量。

角动量><⨯⨯=⨯=F r F r F r L ,sin角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量， 角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L 。

角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。

3.角动量守恒定理在不受外界作用时，角动量是守恒的。

角动量守恒是跟空间各项同性有关系的，也就是说空间的各个方向是没有区别的，这叫做物理定律的旋转不变性，由这种不变性，在理论上，可以得到角动量守恒。

动量守恒是跟空间均匀性相关的，也就是说物理定律在各个地方是一样的，地球上的物理定律跟月亮上的物理定律是一样的，这叫做空间平移不变性，由空间平移不变性，可以从理论上推导出动量守恒。

另外，还有能量守恒是跟时间平移不变性相关的，也就是说，过去，现在和未来物理定律是一样的话，就有这么一个量，叫做能量是守恒的。

所有这些，都是由一个叫做诺特定理的东西得出来的.3.1 质点对参考点的角动量守恒定律如图2所示,质点m 的动量为p ,相对于参考点O 的角动量为L ,其值L =αsin rp ,其中α是质点的动量与质点相对参考点O 的位置矢量r 的夹角。

其角动量的变化量ΔL 等于外力的冲量矩M t ∆(M 为外力对参考点O 的力矩),即ΔL =M t ∆。

若M =0,得ΔL =0,即质点对参考点O 的角动量守恒[3]。

3.2 质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系,且处于惯性系中,可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量矩∑∆•t i M ,等于质点系对该参考点的角动量的变化量,即ΔL =∑∆•t i M 。

同样当∑=0i M 时,质点系对该参考点的角动量守恒。

如果n 个质点组成的质点系,处于非惯性系中,只要把质点系的质心取作参考点,上述结论仍成立。

4.角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零,即∑=0i M 时,质点或质点系对该参考点的角动量守恒。

有四种情况可判断角动量守恒:①质点或质点系不受外力。

②所有外力通过参考点。

③每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零。

甚至某一方向上的外力矩为零,则在这一方向上满足角动量守恒。

④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩,即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响,角动量近似守恒[4]。

5.角动量守恒定理的应用角动量守恒定理在我们的现实生活中非常的常见，航海航天领域和人们平常所使用的工具器械，以及日常中见到的现象很多一部分都可以用角动量守恒定理来解释。

5.1平板球摆问题有一光滑圆形平板A,在圆盘的中心O 点出有一圆形小孔，小空中穿过一根细棉绳，绳的另一端系着一质量为m 的小球，小球以速度v 按逆时转动，用手拉住棉线的下端缓慢向下拉。

我们会发现小球的线速度会逐渐增加。

即对于小球有，半径r 逐渐图2对参考系的角动量守恒减小，速度v逐渐增加，通过实验计算我们可以得出对于以上系统有mvr 为一定值，即小球的角动量守恒。

5.2花样溜冰中的角动量守恒我们在看滑泳表演时经常发现，一个运动员站在冰上旋转（见下图），当她把手臂和腿伸展开时转得较慢，而当他把手臂和腿收回靠近身体时则转得较快，这就是角动量守恒定律的表现。

冰的摩擦力矩很小可忽略不计，所以人对转轴的角动量定恒。

当她的手臂和腿伸开时转动惯量大故角速度较小，而收回后转动惯量变小故角速度变大。

只要你留心，你会发现优秀的体操运动员、跳水运动员都会很熟练地演示角动量守恒定律，读者可以自己去分析[5]。

图3 滑泳运动员的角动量定恒5.3角动量守恒定理在航空事业中的应用安装在轮船、飞机或火箭上的导航装置回转仪，也叫陀螺，也是通过角动量守恒的原理来工作的。

回转仪的核心器件是一个转动惯量较大的转子，装在“常平架”上。

常平架由两个圆环构成，转子和圆环之间用轴承连接，轴承的摩擦力矩极小，常平架的作用是使转子不会受任何力矩的作用。

转子一旦转动起来，它的角动量将守恒，即其指向将永远不变，因而能实现导航作用。

5.3.1回转仪的进动回转仪的进动是一类特殊的刚体定点转动。

回转仪又叫“陀螺”,是指绕对称轴作高速旋转的刚体,且轴上有一点固定不动。

一般陀螺的质量分布对中心为旋转对称分布,使陀螺以很高的转速绕其自转轴旋转。

将轴的尖端竖立在桌面上,陀螺会继续转动。

但稍加倾斜自转轴就与铅垂线保持一定角度,陀螺将在自转的同时又以稳定的角速度绕铅垂线旋转,这种运动叫做进动。

5.3.2在直升机中应用一般直升机由机身、主螺旋桨和抗扭螺旋桨组成。

那么为什么直升机必须在机尾处安装抗扭螺旋桨呢?我们把直升机的主螺旋桨和机身视为一个物体系,并从物体系对转动轴线的角动量守恒来解释:发动机未开动时,直升机静止于地面,系统对主螺旋桨转轴的角动量为零。

然后主螺旋桨开始转动,系统的角动量增加,这时外力矩由轮子与地面的摩擦力提供,满足角动量定理。

主螺旋桨加速转动的力矩对系统来讲是内力矩,它与作用在机身的内力矩总合为零,因此合内力矩对系统的角动量没有影响。

而作用于机身的内力矩又与地面的摩擦力矩相平衡,而使机身处于平衡。

当主螺旋桨的角速度不断增加,一旦机身离地,摩擦力矩将突然消失,忽略空气对主螺旋桨转动的阻力矩,此时外力矩则为零,故系统角动量应保持不变,若主螺旋桨的角速度继续增加,则机身会反方向转动,以抵消由于主螺旋桨继续加速而增加的角动量,使系统总角动量保持不变。

机尾安装的小螺旋桨可产生一个附加力矩与机身所受内力矩平衡,从而消除机身的转动。

5.3.3陀螺仪进动的应用自古以来,人们通过陀螺现象早已熟知高速旋转物体的定向性。

常平架陀螺仪如图6所示,外环可绕垂直轴自由转动,内环可绕水平轴自由转动,回转仪安装在内环中,其转轴与内环转轴相垂直,三轴交于一点,并与陀螺仪的质心重合。