扭转刚度
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§3-5 圆轴扭转时的变形
一、圆轴扭转角的计算
由公式
l
Me
d
d T dx GI P T 得到 d dx GI P
积分，得：
Me
φ
相距 dx 的两个截面之间的相对扭转角
T dx l GI P
对于等直圆轴，T为常数时
Tl GI P
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
对于等直圆轴，T为常数时
平面圆周
α
2、簧丝的直径 d 远小于弹簧的中径D， 簧丝由平面圆周曲杆 直杆 D
二、应力分析
簧丝横截面上的内力：
F d
F
剪力： FS F
T
D
D 2
FD 扭矩： T 2
簧丝横截面上的应力：
FS
1、剪力 FS 引起的 1 近似 认为是均匀分布 2、扭矩 T 引起的 2 按照 圆轴扭转计算
单位体积所储存的剪切应变能
O
dA
128F 2 D 2 2 v 2 8 2G G d
弹簧中的应变能为： V
V
2
v dV
dV dA ds
簧丝横截面上的微小元面积 dA dA d d
ds
沿簧丝轴线的微元长度
dV d d ds
l
Me Me
Tl GI P
φ
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
弧度 圆轴的抗扭刚度
GI P
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况， 分段计算，求代数和
Tl GI P
二、圆轴扭转刚度的计算 单位长度扭转角
l
T 显然 GI P
圆轴扭转刚度条件为：
最后应选择：D
30mm
扭转超静定问题 利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭转 超静定问题。
Me
两端固定的圆轴， 受力如图，
A
a
C l
b
B
求：两端的约束力偶矩
轴受力如图
Me
A a
M
x
0
M e M A M B (1)
一次超静定 变形条件： BA 0 BA BC CA 0
单位长度扭转角的许可值
m
0
圆轴扭转刚度条件为：
T GI P 180 max
wenku.baidu.com
例题
已知： MⅡ = 39.3
N m
MⅡ
T( N m)
MⅢ
MⅣ
MⅢ = 194.3 N m MⅣ = 155 N m
2
0
d
d 2
0
d
3
nD
0
ds
n
弹簧的圈数
弹簧中的应变能为：
4 F 2 D 3n V Gd 4
外力功：
F
λ
1 W F 2
由功能原理： V W
1 4 F 2 D 3n F 2 Gd 4
弹簧的变形
8 FD 3 n 4 Gd
弹簧的变形
8 FD 3 n Gd 4
C l
b
B
MA
A
Me
C
MB
B
M Bb M Aa T 0 GI P GI P b M A M B (2) a 联解（1）（2），得： b a MA Me MB Me ab ab
MA
MB
§3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
F
一、计算假设
1、螺旋角 α 很小， d
簧丝由空间螺旋线
1
2 max
簧丝横截面上的应力：
1
F d2
4F d 2
1
A
d
2 max
A
4
2 max
FD T 8 FD 2 3 d Wt d 3 16
最大切应力发生在簧丝横截面内侧的A点，
max 1 2 max
max
4F 8 FD 2 d d 3
3
16 155 40 106
39.3
2.72 10 2 m
轴的刚度条件为：
max
D
4
155
Tmax 180 32Tmax 180 4 GI P GD
32 180 Tmax 32 180 155 4 0.0295m 2 2 9 G 80 10 1.5
max
k
4c 1 0.615 4c 4 c
8 FD k 3 d
k—修正系数（曲度系数）
弹簧的强度条件：
D c d
max
二、弹簧的变形计算
外力功：
弹簧的压缩（拉伸）变形
F
λ
1 W F 2
F
功能原理：
构件中的应变能等于外力功
V W
FD 16 FD T 2 4 d IP d 4 32
F
λ
令：
Gd C 3 8D n
弹簧刚度
4
C
F C
128F 2 D 2 2 v 2G G 2 d 8
2
F
λ
dA
V v dV
V
dV d d ds
V v d d ds
V
O
128 F 2 D 2 V G 2 d 8 4 F 2 D 3n Gd 4
轴的材料为45钢,
39.3
＝40MPa
1.5 m
0
G ＝80GPa
155
要求设计轴的直径。 解：作轴的扭矩图
Tmax 155 N m
轴的强度条件为：
max
Tmax 16Tmax 3 Wt D
16Tmax
MⅡ
T( N m)
MⅢ
MⅣ
D3
8 FD d 1 3 d 2 D
簧丝横截面上的应力：
max
8 FD d 1 A 3 d 2 D
1
2 max
A
对于簧丝的直径 d 远小 于弹簧的中径D的情况，
d
max
8 FD 3 d
在考虑簧丝的曲率和
1
分布不均匀时：
一、圆轴扭转角的计算
由公式
l
Me
d
d T dx GI P T 得到 d dx GI P
积分，得：
Me
φ
相距 dx 的两个截面之间的相对扭转角
T dx l GI P
对于等直圆轴，T为常数时
Tl GI P
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
对于等直圆轴，T为常数时
平面圆周
α
2、簧丝的直径 d 远小于弹簧的中径D， 簧丝由平面圆周曲杆 直杆 D
二、应力分析
簧丝横截面上的内力：
F d
F
剪力： FS F
T
D
D 2
FD 扭矩： T 2
簧丝横截面上的应力：
FS
1、剪力 FS 引起的 1 近似 认为是均匀分布 2、扭矩 T 引起的 2 按照 圆轴扭转计算
单位体积所储存的剪切应变能
O
dA
128F 2 D 2 2 v 2 8 2G G d
弹簧中的应变能为： V
V
2
v dV
dV dA ds
簧丝横截面上的微小元面积 dA dA d d
ds
沿簧丝轴线的微元长度
dV d d ds
l
Me Me
Tl GI P
φ
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
弧度 圆轴的抗扭刚度
GI P
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况， 分段计算，求代数和
Tl GI P
二、圆轴扭转刚度的计算 单位长度扭转角
l
T 显然 GI P
圆轴扭转刚度条件为：
最后应选择：D
30mm
扭转超静定问题 利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭转 超静定问题。
Me
两端固定的圆轴， 受力如图，
A
a
C l
b
B
求：两端的约束力偶矩
轴受力如图
Me
A a
M
x
0
M e M A M B (1)
一次超静定 变形条件： BA 0 BA BC CA 0
单位长度扭转角的许可值
m
0
圆轴扭转刚度条件为：
T GI P 180 max
wenku.baidu.com
例题
已知： MⅡ = 39.3
N m
MⅡ
T( N m)
MⅢ
MⅣ
MⅢ = 194.3 N m MⅣ = 155 N m
2
0
d
d 2
0
d
3
nD
0
ds
n
弹簧的圈数
弹簧中的应变能为：
4 F 2 D 3n V Gd 4
外力功：
F
λ
1 W F 2
由功能原理： V W
1 4 F 2 D 3n F 2 Gd 4
弹簧的变形
8 FD 3 n 4 Gd
弹簧的变形
8 FD 3 n Gd 4
C l
b
B
MA
A
Me
C
MB
B
M Bb M Aa T 0 GI P GI P b M A M B (2) a 联解（1）（2），得： b a MA Me MB Me ab ab
MA
MB
§3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
F
一、计算假设
1、螺旋角 α 很小， d
簧丝由空间螺旋线
1
2 max
簧丝横截面上的应力：
1
F d2
4F d 2
1
A
d
2 max
A
4
2 max
FD T 8 FD 2 3 d Wt d 3 16
最大切应力发生在簧丝横截面内侧的A点，
max 1 2 max
max
4F 8 FD 2 d d 3
3
16 155 40 106
39.3
2.72 10 2 m
轴的刚度条件为：
max
D
4
155
Tmax 180 32Tmax 180 4 GI P GD
32 180 Tmax 32 180 155 4 0.0295m 2 2 9 G 80 10 1.5
max
k
4c 1 0.615 4c 4 c
8 FD k 3 d
k—修正系数（曲度系数）
弹簧的强度条件：
D c d
max
二、弹簧的变形计算
外力功：
弹簧的压缩（拉伸）变形
F
λ
1 W F 2
F
功能原理：
构件中的应变能等于外力功
V W
FD 16 FD T 2 4 d IP d 4 32
F
λ
令：
Gd C 3 8D n
弹簧刚度
4
C
F C
128F 2 D 2 2 v 2G G 2 d 8
2
F
λ
dA
V v dV
V
dV d d ds
V v d d ds
V
O
128 F 2 D 2 V G 2 d 8 4 F 2 D 3n Gd 4
轴的材料为45钢,
39.3
＝40MPa
1.5 m
0
G ＝80GPa
155
要求设计轴的直径。 解：作轴的扭矩图
Tmax 155 N m
轴的强度条件为：
max
Tmax 16Tmax 3 Wt D
16Tmax
MⅡ
T( N m)
MⅢ
MⅣ
D3
8 FD d 1 3 d 2 D
簧丝横截面上的应力：
max
8 FD d 1 A 3 d 2 D
1
2 max
A
对于簧丝的直径 d 远小 于弹簧的中径D的情况，
d
max
8 FD 3 d
在考虑簧丝的曲率和
1
分布不均匀时：