外场中磁偶极子受力

展开式的第一项：
即 表示没有与自由电荷对应的自由磁荷存在。
展开式的第二项： 因为
这里用到了稳恒电流条件 所以
0
其中 故得到
式中： 称此为磁矩。
表示把整个电流系的磁矩集中在原点时， 一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。 展开式的第三项：
将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂， 一般不去讨论。
Wi
I
de dt
t
Ie
d t
dt
Ie
Ie
2W
▪ 要维持电流不变，外电源必须提供能量，抵消感生电动势做功：
外界能量输入
Ws Wi 2W
磁能增加
电流环运动动能
Ws W A
等效势能 V A W Ws W
V
W
mv
v Be
0
外场中磁偶极子受力
▪ 外场中磁偶极子受力：
v F
V
mv
v Be
本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁 场在远处的展开式。与电多极矩（electric multipole moment) 对应。引入磁多极矩概念，并讨论这种电 流分布在外磁场中的能量问题。
1、矢势 的多极展开
给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为
如果电流分布集中在一个小区域V中，而场点 又距 离该区域比较远，这时可仿照静电情况的电多极矩展 开的方法，把矢势 作多极展开，即把 在区域内 的某一点展开成 的幂级数。若展开点取在坐标的原 点，则
(xr)dV
Ia2
例3: 任意一个平面载流线圈产生的磁场
解: 在 R a 的区域
r B
0 4
(mr )
xr R3
0 4
3mr xr [ R5
xr
r m R3 ]
mr
1 2
ÑL xr
r J
(xr)dV
r IS
3、小区域内电流分布在外磁场中的能量
▪ 电流分布与外场中的相互作用能量：
vv
W J AedV V
综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢 势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的矢势 的迭加。
2、磁偶极矩的场和磁标势
根据
，即有
由此可见
因为讨论的是区域V外的场，在 处，有 故得到 由此可见在电流分布以外的空间中
故得
例1: 半经为a的载流线圈产生的磁场
解: 在 R a 的区域
r B
0 4
0
i
S
i
磁偶极子与外场之相互作用能： 电偶极子与外场之相互作用能：
W (1) W (1)
mvpv BvEeve00
外场中磁偶极子之等效势能
▪ 两电流环相互作用能：
W
1 2
V
vv v v J Ae Je A
dV
1 2
I
e
Ie
W
1 2
I
e
Ie
Ie
I e
1 2
Ie
I e
▪ 磁通变化会产生感生电动势，做功：
mv
v Be
mv
v Be
mv
ห้องสมุดไป่ตู้
v Be
▪ 外场中磁偶极子受力矩：
L
V
mBe cos mBe sin
v L
mv
v Be
磁偶极子在外磁场中的行为与电偶极子在电场中行为一致
▪ 电流环与外场中的相互作用能量：
vv vv
W I Ñ Ae dl I Be dS Ie
L
S
▪ 小区域电流分布与外场中的相互作用能量：
W
Ii
v
Ñ Ae
v dl
Ii
v Be
v dS
Ii
v Be
v
0 dS
i
Li
v
Be 0
i
S
Ii
v dS
v Be
0
i
S
v I i Si
mv
v Be
(mr )
xr R3
0 4
3mr xr [ R5
xr
r m R3 ]
Ñ mr 1 2
L
xr
r J
(
xr)dV
a
2
Ieˆz
例２: 边长为a的矩型载流线圈产生的磁场
解: 在 R a 的区域
r B
0 4
(mr )
xr R3
0 4
3mr xr [ R5
xr
r m R3 ]
mr
1 2
ÑL xr
r J