初等行变换

初等行变换

一、基本理论

设A 为m n ⨯矩阵, 可对A 实施以下三类初等行变换，将A 化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵.

(1)将A 的第i 行与第j 行交换位置;

(2)将A 的第i 行乘以非零常数λ;

(3)将A 的第i 行的λ倍加到第j 行.

行阶梯矩阵: 若A 的每个非零行上方没有非零行, 且每个非零行从左到右第一个非零元,j i i a 所在列号满足1

2r i i i <<< .

最简行阶梯矩阵: 若行阶梯矩阵

A 的每个阶梯元为1，且阶梯元所在列的其余元素都为零，则称A 为最简行阶梯矩阵.

二、Matlab 实现

由于需要反复使用三种初等行变换，所以将它们写成函数文件，方便以后调用.

1. 将第i 行和第j 行交换位置

2. 将第i 行乘以常数c

3. 将第i 行的c 倍加到第j 行

将以上三个函数文件保存到某个目录下, 例如 D:\myfunc 下，然后在Matlab 的File 菜单, Set Path, Add Folder ，将D:\myfunc 添加到 Matlab 的搜索路径, Save, Close. 即可在Matlab 中调用这三个函数.

三、例子

例. 将111421931A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

用初等行变换化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵. 解. 生成矩阵A

A=sym('[1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]')

A =

[ 1, 1, 1]

[ 4, 2, 1]

[ 9, 3, 1]

将A 的第1行的(-4)倍加到第2行，结果保存到矩阵B :

B=rowcomb(A, 1, 2, -4)

B =

[ 1, 1, 1]

[ 0, -2, -3]

[ 9, 3, 1]

将B 的第1行的(-9)倍加到第3行，结果仍保存到矩阵B

B=rowcomb(B, 1, 3, -9)

B =

[ 1, 1, 1]

[ 0, -2, -3]

[ 0, -6, -8]

将B 的第2行的(-3)倍加到第3行

B=rowcomb(B, 2, 3, -3)

B =

[ 1, 1, 1]

[ 0, -2, -3]

[ 0, 0, 1]

B 已经为行阶梯矩阵. 即A 可通过初等行变换化成行阶梯矩阵

111023001⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭

继续将B 化成最简行阶梯矩阵.

将第3行的3倍加到第2行

B=rowcomb(B,3,2,3)

B =

[ 1, 1, 1]

[ 0, -2, 0]

[ 0, 0, 1]

将第3行的(-1)倍加到第1行

B=rowcomb(B,3,1,-1)

B =

[ 1, 1, 0]

[ 0, -2, 0]

[ 0, 0, 1]

将第2行乘以(-1/2)倍

B=rowscale(B,2,-1/2)

B =

[ 1, 1, 0]

[ 0, 1, 0]

[ 0, 0, 1]

将第2行的(-1)倍加到第1行

B=rowcomb(B,2,1,-1)

B =

[ 1, 0, 0]

[ 0, 1, 0]

[ 0, 0, 1]

B 已经为最简行阶梯矩阵. 即A 可通过初等行变换化成如下最简行阶梯矩阵 100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

注：也可直接调用Matlab 函数 rref(A), 直接将A 化成最简行阶梯矩阵 R=rref(A)

R =

[ 1, 0, 0]

[ 0, 1, 0]

[ 0, 0, 1]

四、练习

（1）通过初等行变换将下面的矩阵A 化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵.

2341253615A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

（2）通过初等行变换将下面的矩阵A 化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵.

21112112144622436979A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭