线线、线面、面面的位置关系

1.命题方向预测：

1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.

2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．

3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．

4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.

2.课本结论总结：

1.平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类⎩⎨⎧

共面直线⎩

⎪⎨

⎪⎧

平行

相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02

π⎛⎤ ⎥⎝

⎦

，.

3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.

4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

7.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

图形

条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α

a∥α，a⊂β，α∩β

＝b

结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b

8.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

图形

条件α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，a∩b

＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，

β∩γ＝b

α∥β，

a⊂β

结论α∥βα∥βa∥b a∥α

9.直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法.

②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.

②垂直于同一个平面的两条直线平行.

③垂直于同一条直线的两平面平行.

10.斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.

11.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法.

②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

(2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

12.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.

3.名师二级结论：

（1）异面直线的判定方法：

判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．

(5)平行问题的转化关系：

(6)垂直问题的转化关系

线线垂直判定

性质线面垂直判定

性质

面面垂直

(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；

(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.

4.考点交汇展示：

(1)立体几何与函数交汇

【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪性质

开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【答案】415

【解析】

（2）立体几何与基本不等式交汇

如图， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；

（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．

（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以2222224AC AB BC x x =

-=-=-…………9分

P

A B