生物数学模型发展与探讨

单种群生物数学模型的发展与探讨

【摘要】生物数学是生物与数学之间的边缘学科。它是用数学方法研究和解

决生物学问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究的学科。如果把生物学的分支领域看作一个集合，数学的分支领域看作另一个集合，生物数学就是这两个集合导出的乘积空间。因而生物数学的分支内容非常丰富，从研究使用的数学方法划分，生物数学可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。生命现象极为复杂，从生物学中提出的数学问题往往也十分复杂，需要进行大量计算工作，建立模型是成了必需。数学模型能定量地描述生物现象，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，通过获得的理论知识对生命或非生命现象

进行研究。

Abstract: Biomathematics between biological and mathematical disciplines of the edge. It is a mathematical method used to study and solve biological problems and the mathematical and biological methods of the theoretical research subjects. If the field of biology as a collection of branches, a branch of mathematics as a collection of the field, bio-mathematics is a collection of these two export product space. Biomathematics and thus a branch of the content is very rich, from research into the use of mathematical methods, bio-mathematics can be divided into biostatistics, biological information theory, theory of biological systems, biological control theory and biological equation, such as branches. Very complex biological phenomena, from mathematics to biology often very complex and requires a lot of calculation work, the establishment of model has become necessary. Quantitative mathematical models to describe biological phenomena, a complex biological problem using the mathematical model can be transformed into a mathematical problem, mathematical model of the logic of reasoning, solving and computing, through the acquisition of theoretical knowledge of the phenomenon of life and non-life research .

【关键词】：单种群，基本原理，连续，离散，随机数学模型

第一章经典生物数学模型

1.1 单种群模型建立的一般性原理

衡量一个模型是否完善的标准是看该模型是否是最一般化、最真实、最实用和最简单。为了使一个模型是有用的，并且是成功的，我们认为一个好的单种群模型应该满足：

1. 准确刻画自然现象并与实验数据相吻合；

2. 帮助理解未知的种群动态行为；

3. 能够自然地得到推广和改进并能考虑复杂的种内相互作用。

以下是建立单种群模型的几个基本原理。

（1）原理一：指数增长；

自然界中很多物种或个体都是以指数或几何级数增长的。

（2）原理二：合作；

生物种群为了生存、繁殖和防御外敌侵犯，个体之间需要有共同的合作行动。

（3）原理三：种内竞争；

物种竞争也是自然界中普遍存在的规律。比如，雄蝗虫为争夺雌蝗虫所发生的竞争以及雌蝗虫为了竞争产卵场所而发生的争夺空间的竞争等，都限制了蝗虫生物潜能的发挥。

1.2 Malthus 人口模型

提到数学模型，很容易想到经典的是Malthus人口模型。英国人口学家Malthus (1766-1834) 根据百余年的人口统计资料，于1798提出了著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假设是人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数量成正比。记()

N t表示在t时刻的人口数量或密

度，b 或d 分别表示该种群的出生率或死亡率，即每一个个体在时间区间 t ∆ 内出生或死亡的个体数，则有

()()()()N t t N t bN t t dN t t +∆-=∆-∆ (1.1.1)

方程两边同除以t ∆，并令0t ∆→取极限，得 ()()dN t rN t dt

= (1.1.2) 其中r b d =-是种群的内禀增长率。以上简单的微分方程就是著名的Malthus 人口模型，其解析表达式可表示为

()(0)rt N t N e = (1.1.3) 根据参数b 或d 的大小，Malthus 人口模型表现出三种不同的动力学行为

0,0lim ()(0),

0,0r N t N r r <⎧⎪==⎨⎪∞>⎩ (1.1.4)

单种群生物动力系统 表1-1 美国1800-1860年的人口统计数据和模型预测值 时间 观测数据（亿） 预测值（亿） 0 5.3 5.3

1 7.

2 7.133

2 9.6 9.599

3 12.9 12.919

4 17.1 17.387

5 23.2 23.399

6 31.4 31.491

Malthus 人口模型尽管形式非常简单，但它能非常准确地预测早期美国人口增长规律。由1.1.4可以看出，无论r 多么小，只要种群的内禀增长率大于零时，其数量最终将趋于正无穷。但由于环境是有限的，使其具局限性。大多数种群的指数增长都是短时间的，一般仅发生在早期阶段、密度较低、资源丰富的情况下，而随着密度增大、资源缺乏、代谢产物积累等势必会影响到种群的增长率r ，使