中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

第一章函数、极限与连续

内容概要

课后习题全解

习题1-1

★1．求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③

(

0)≥

④ arcsin

（

[]1,1-∈）等

解：（1）[)(]1,00,11

10010112

2

⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；

（2）

3112

1

121arcsin

≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）

()()3,00,030031

arctan 3⋃∞-∈⇒⎩

⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；

（4）

()()3,11,1,,13

10301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩

⎨⎧-<-<⇒-=

-x x or x x x x x y x

；

（5）()()4,22,11601

11

0)16(log 22

1⋃∈⇒⎪⎩

⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？

（1）

2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x

知识点：函数相等的条件；

思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简

后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；

解：（1）2

lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{

},0R x x x D ∈>=，

虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；

（2）

12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；

12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”

与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；

★ 3．设⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥<=3,03

,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4

()4()6(

--ϕπ

ϕπϕπ

ϕ，，，，并做出函数

)(x y ϕ=的图形

知识点：分段函数；

思路：注意自变量的不同范围； 解：216

sin

)6

(=

=π

πϕ，224sin 4==⎪⎭

⎫

⎝⎛ππϕ，224sin 4=

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

ππϕ

()02=-ϕ；如图：

★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：

（1）

()1,1∞--=

x

x

y （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的

某个子区间上函数的单调性的问题 。

思路：利用单调性的定义即可。

解： （1）设1x ，2x ()1,∞-∈，当21x x <时，

()()

01111212

1221121<---=---=

-x x x x x x x x y y ，由单调性的定义知是单调增函数；

（2）设1x ，2

x ()+∞∈,0，21x x <，

2

121221121ln

)()ln ()ln (x x x x x x x x y y +-=+-+=-

由1x ，2

x ()+∞∈,0，21x x <，知

121

1

（对数函数的性质），则有 021<-y y ， 得结论是单调增函数；

★ 5．设

)(x f 为定义在()l l ,-内的奇函数，若)(x f 在()l ,0内单调增加，证明：)(x f 在()0,l -

内也单调增加

知识点：单调性和奇偶性的定义。

思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件； 证明：设()2

121,

0,,

x x l x x <-∈， 则1221),,0(, x x l x x -<-∈--

，

由

()x f 在()l ,0内单调增加得，()()12x f x f -<-()1 ，又()x f 为定义在()l l ,-内的奇函

数，则（1）式变形为()()12x f x f -<-

，即()()12x f x f >，则结论成立。

★ 6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：

（2） 两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

（3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。

本题可作为结论应用。

思路：按定义证明即可。 证明：设函数()()x g x f ,

定义域分别是21,D D （21,D D 是关于原点对称区间）；

（1）设()()()x g x f x F

+=，定义域为21D D ⋂，显然21D D ⋂也关于原点对称，

当

()()x g x f ,均为偶函数时，()()()()()()x F x g x f x g x f x F =+=-+-=-， 得

()x F 为偶函数；

当

()()x g x f ,均为奇函数时，()()()()()()x F x g x f x g x f x F -=--=-+-=-，得

()x F 为奇函数；

（2）令()()()x g x f x G =，定义域为21D D ⋂，21D D ⋂关于原点对称，

当

()()x g x f ,均为奇函数时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G =--=--=-)(，得

()x F 为偶函数；

当

()()x g x f ,均为偶函数时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G ==--=-，得()x F 为

偶函数；

当

()()x g x f ,为一奇一偶时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G -=-=--=-， 得()x G

为奇函数；