混沌现象

研究性实验报告
——非线性电路中混沌现象的研究 非线性电路中混沌现象的研究
一、 摘要
本文介绍了混沌现象的起源、产生混沌现象的原因以及非线性电路中的混沌现象 本文介绍了混沌现象的起源 产生混沌现象的原因以及非线性电路中的混沌现象， 最后用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据做了分段拟合。 最后用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据做了分段拟合
二、 背景
1．混沌的起源 混沌理论是一门对复杂系统现象进行整体性研究的科学。 混沌理论是一门对复杂系统现象进行整体性研究的科学 我国科学家钱学森称混沌是宏 观无序、微观有序的现象。混沌理论的创立 将非线性系统表现的随机性和系统内部的决定 混沌理论的创立，将非线性系统表现的随机性和系统内部的决定 性机制巧妙地结合起来。 20 世纪 60 年代，麻省理工学院的气象学家洛伦兹在计算机上进行天气模拟演算。他当时 理工学院的气象学家洛伦兹在计算机上进行天气模拟演算 用的计算机，储存数据的容量是小数点后六位数字 储存数据的容量是小数点后六位数字，但是在打印输出数据时， ，为了节省纸张， 只输出小数点后三位数字。而洛伦兹在给第二次计算输入初始条件的时候 只输入了小数点后 而洛伦兹在给第二次计算输入初始条件的时候，只输入了小数点后 的三位，与精确的数据有不到 0.1%的误差。就是这个原本应该忽略不计的误差 与精确的数据有不到 就是这个原本应该忽略不计的误差，使最终的结果 大相径庭，如图 1 所示。1963 年，洛伦兹在美国《气象学报》上发表了题为“ 1963 “确定性的非周期 流”的论文，提出了在确定性系统中的非周期现象 提出了在确定性系统中的非周期现象。第 2 年，他发表了另外一篇论文 他发表了另外一篇论文，指出对 于模式中参数的微小改变将导致完全不一样的结果，使有规律的、周期性的行为 于模式中参数的微小改变将导致完全不一样的结果 周期性的行为，变成完全混 乱的状态。图 2 所示的就是我们今天谈 是我们今天谈到的混沌双吸引子。 2．模型及状态方程 动力学系统的状态定义为完全的表征系统的时间域行为的一个最小内部变量组， 动力学系统的状态定义为完全的表征系统的时间域行为的一个最小内部变量组 组成这 个变量组的变量 x1（t）, x2（ （t）,…,xn（t）称为系统的状态变量，其中 t ≥ t0， 0 为初始时刻。 ，t 由状态变量构成的列向量为
x (t ) = [ x1 (t ) ⋅ x2 (t ) L xn (t ) ] t ≥ t0
T
图 1 两个天气图像的分岔图 2 混沌双吸引子
称为系统的状态向量，简称状态 状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间。由 简称状态。状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间 于状态变量只能取实数值， ，故状态空间是建立在实数域上的向量空间。对于某个确定时刻 对于某个确定时刻， 状态表示为状态空间的一个点； 状态表示为状态空间的一个点 而状态随时间的变化过程， 则构成了状态空间中的一条轨迹。 则构成了状态空间中的一条轨迹 系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成，其一般形式为 系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成
x = f ( x, u , t ) y = g ( x, u , t )

其中 u 为输入向量。 若上式不包含输入向量 u,则称该系统为自治系统， 即该系统的当前状态完全由上一刻状 态转移而来。 产生混沌现象的基本条件有以下两个。 （1）系统是非线性的。 （2） 描述系统的状态方程若是非自治的，则为二阶的；若为自治的，则需要至少 3 个以上变 量。 我们采用如图 3 所示电路来演示混沌现象。 其中电感 L， 电容 C2 及非线性电阻 R 组成正 弦波振荡线路，电导 G 和电容 C1 将正弦波移相输出，实验中通过改变电导值来达到改变参 数的目的。图 4 为非线性电阻元件 R 的伏安特性曲线，从特性曲线可知，加在此非线性元件 上电压与通过它的电流极性是相反的。 由于加在此元件 R 上的电压增加时， 通过它的电流却 减少，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图 3 实际非线性混沌实验电路
图 4 非线性负阻元件伏安特性
该电路的非线性方程为
duc1 = G (uc2 − uc1 ) − guc1 dt du C2 c2 = G (uc1 − uc2 ) + iL dt diL L = −uc2 dt C1
（1） （2） （3）
式中，导纳 G = 1/（Rv1 + Rv2）,uc1 和 uc2 分别表示加在 C1 和 C2 上的电压，iL 表示流过电 感器 L 的电流，g 表示非线性电阻的导纳。上式变形为
 G+g  •  − C 1 u c1   •   G u c2  =   •   C2 i L     0  G C1 − G C2 − 1 L  0   u   c1    1  u c2  C2    i L  0   
系统含有 3 个状态变量，不含输入向量，称为自治过程，满足产生混沌的条件。 以上方程很难得到具体解的表达式，但可求得其数值解。 为了求得状态方程得数值解，我们可以先取 G = a，选取参考点 t = 0 时测定[uc1 uc2iL]， G G  并根据 uc1 的值，从图 4 中查得 G。根据式（1） ，有 ∆uc1 =  (uc2 − uc1 ) − uc1  ∆t ，从而求 C1   C1 得当时间变化 ∆t 时， uc1 的变化值 ∆uc1 。同理，可由式（2）和式（3）求得 ∆uc2 和 ∆iL ，再 令 uc1 = uc1 + ∆uc1 , uc2 = uc2 + ∆uc2 , iL = iL + ∆iL ，其算法如下所示： 取 G = 1 k ,L 11 t=0
t = ∆t t = n∆t

[uc1
uc2
iL ] [uc1
uc2
iL ] [u c1
uc 2
iL ]
↓ ↓↓ GGG 以所求 [uc1 , uc2 ] 为二维空间中的一点作图，可得到相应的相图。以 [uc1 , uc2 , iL ] 为三维空 间的点作图，可以得到类似图 2 的状态图。 3．实验电路及实现 有源非线性负阻元件的实现方法有许多种，这里使用的是 Kennedy 于 1993 年提出的 方法：使用 2 个运放（双运放 TL082）和 6 个配置电阻来实现的，其电路图如图 5 所示。 由于我们研究的只是元件的外部效应，即其两端电压及流过其电流的关系。因此，在允许 的范围内，我们完全可以把它看成一个黑匣子，我们也可以利用电流或电压反位相等技术 来实现负阻特性。只要知道它主要是一个负阻电路（元件） ，能输出电流维持 LC2 振荡器 不断振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
图 5 有源非线性负阻电路图
三、 实验目的
1．学习有源非线性电阻的伏安特性。 2．通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。 3．学会自己设计和制作一个实用电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
四、 实验内容
1．实验现象的观察 （1）用示波器观测 LC 振荡器产生的波形，及经 RC 移相后的波形。 （2）用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图（李萨如图）。 （3）改变 RC 移相器中 R 的阻值，观测相图周期的变化，观测倍周期分岔、阵发混沌、 三倍周期、吸引子（混沌）和双吸引子（混沌）等现象,分析混沌产生的原因。 具体方法如下。 将示波器调至 CH1-CH2 波形合成挡，调节可变电阻器的阻值，我们可以从示波器上观 察到一系列现象。最初仪器刚打开时，电路中有一个短暂的稳态响应现象，这个稳态响应被 称作系统的吸引子，这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异，但仍会变化到一个稳态， 在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动，各对应于一个正负的稳态。 当电导 G 继续平滑增大到达某一值时，我们发现响应部分的电压和电流开始周期性地 回到同一个值，产生了振荡。这时，我们就说，我们观察到了一个单周期吸引子，它的频率 决定于电感与非线性电阻组成的回路的特性。 再增加电导 G 时，我们就观察到了一系列非线性的现象。首先，电路中产生了一个不 连续的变化：电流和电压的振荡周期变成了原来的两倍，也称分岔。继续增加电导，我们还 会发现二周期倍增到四周期，四周期倍增到八周期。如果精度足够，当我们连续地，越来越 小地调节时就会发现一系列永无止境的周期倍增， 最终在有限的范围内会成为无穷周期的循