第二十章数据的分析知识点及典型例题

一、知识点讲解： 1.平均数：

（1）算术平均数：一组数据中，有n 个数据，则它们的算术平均数为 n

x x x x n +++= 21.

（2）加权平均数：

若在一组数字中，出现次，

出现次，…，出现次，那么

叫做、、…、的加权平均数。 其中，、、…、分别是、、…、的权.

权的理解：反映了某个数据在整个数据中的重要水准。 权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

4.平均数中位数众数的区别与联系

相同点

平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。 不同点

它们之间的区别，主要表现在以下方面。 1）、定义不同

平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2）、求法不同

平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。

中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。 众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。 3）、个数不同

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。 4）、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，所以用来代表一组数据的“中等水平”。 众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。 5）、特点不同

平均数：与每一个数据都相关,其中任何数据的变动都会相对应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。 中位数：与数据的排列位置相关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。 众数：与数据出现的次数相关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据相关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。 6）、作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都相关，反映出来的信息最充分。平均数既能够描述一组数据本身的整体平均情况，也能够用来作为不同组数据比较的一个标准。所以，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的变化范围。

6.方差：设有n 个数据n x x x ，，

， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是2

221)()(x x x x --，，…，，， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用

])()()[(1

222212x x x x x x n

S n -++-+-=

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。 当一组数据比较小时能够用公式22

222121

[(...)]n s

x x x nx n

=

+++-计算。

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 标准差：方差的算术平方根，即

()()()[]

222211

x x x x x x n

S n -++-+-=

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

7.极差、方差和标准差的区别与联系：

联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。

区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。

方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散水准的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。

标准差实际是方差的一个变形，仅仅方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。

8.数据的收集与整理的步骤：

1.收集数据

2.整理数据

3.描述数据

4.分析数据

5.撰写调查报告

6.交流

9.平均数、方差的三个运算性质

如果一组数据x 1，x 2，x 3，……，x n 的平均数是x ，方差是s 2

。

那么（1）一组新数据x 1+b ，x 2+b ，x 3+b ，……，x n +b 的平均数是x +b ，方差是s 2

。

（2）一组新数据ax 1，ax 2，ax 3，……，ax n 的平均数是a x ，方差是a 2s 2

.

（3）一组新数据ax 1+b ，ax 2+b ，ax 3+b ，……，ax n +b 的平均数是a x +b ，方差是a 2s 2

. 二、典型例题：

1．5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：mm ）：2，2-，1-，1，0，则这组数据的极差为（ ）．

A ．4 mm

B ．3 mm

C ．5 mm

D ．0 mm

2．小伟五次数学考试成绩分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习变化情况，则李老师最注重小伟数学成绩的（ ）．