椭圆中的焦点三角形(好)
过椭圆焦点的内接三角形的几个结论
过椭圆焦点的内接三角形的几个结论过椭圆焦点的内接三角形是指一个三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，且这个三角形内接于椭圆。
对于这样的三角形，有以下几个结论：1. 这个三角形的三个内角和等于180度。
这个结论可以通过椭圆的性质来证明。
椭圆的焦点是指到椭圆上任意一点的距离之和相等的两个点。
因此，对于过椭圆焦点的内接三角形，三个顶点到椭圆上的距离之和相等。
又因为三角形内接于椭圆，所以三个顶点到椭圆上的距离之和等于椭圆的周长。
而椭圆的周长等于两个焦点之间的距离乘以π，即2πa，其中a是椭圆的长半轴。
因此，三角形的三个顶点到椭圆上的距离之和等于2πa。
由于三角形的三个内角和等于三个顶点到椭圆上的距离之和除以椭圆的半周长再乘以180度，即180度×(三个顶点到椭圆上的距离之和÷2πa)，因此可得到结论：过椭圆焦点的内接三角形的三个内角和等于180度。
2. 这个三角形的重心和椭圆的中心重合。
这个结论可以通过三角形的性质来证明。
三角形的重心是指三条中线的交点，其中中线是指一个三角形的一个顶点和对边中点之间的线段。
对于过椭圆焦点的内接三角形，三个顶点都在椭圆的焦点上，因此三个顶点到椭圆的中心的距离相等。
又因为三角形内接于椭圆，所以三个顶点到椭圆的中心的距离等于椭圆的半径。
因此，三角形的重心和椭圆的中心重合。
3. 这个三角形的面积等于椭圆的面积的四分之一。
这个结论可以通过椭圆的性质来证明。
椭圆的面积等于长半轴和短半轴的乘积再乘以π，即πab，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
而过椭圆焦点的内接三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，因此这个三角形的周长等于椭圆的周长的一半，即πa。
又因为这个三角形是内接三角形，所以它的面积等于半周长乘以内切圆的半径，即πa×(a/2)，即πa²/4。
因此，这个三角形的面积等于椭圆的面积的四分之一。
综上所述，过椭圆焦点的内接三角形有以上三个结论，这些结论可以通过椭圆的性质和三角形的性质来证明。
椭圆中焦点三角形的性质
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.33解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 和椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PFF .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PFF ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31 C ．34D ．32解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PFF ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PFF ⋅=⋅=∆θ，∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF .故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 和2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且√5/3，求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PFF θ，又 3522=-==a b a ac e ，∴95122=-ab ，即952012=-a. 解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点和它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 22为等腰直角三角形， ∴＝.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为．3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝＝. 答案：4.已知A 为椭圆＋＝1(a >b >0)上的一个动点，直线、分别过焦点F 1、 F 2，且和椭圆交于B 、C 两点，若当垂直于x 轴时，恰好有1|∶2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 4.解：设2|＝m ，则1|＝3m ，∴2a ＝1|＋2|＝4m . 又在△1F 2中， 1F 2|＝＝2m . ∴e ＝＝＝＝.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，b )， 则△1F 2为直角三角形． 在△1F 2中，1F 2|2＋2|2＝1|2，即4c 2＋b 2＝1|2.而1|＋2|＝＋b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2.又c 2＝a 2－b 2， 所以3b ＝2a .所以＝.∴e 2＝＝＝1－＝， ∴e ＝. 法二：设椭圆方程为 ＋＝1(a >b >0)，则M (c ，b )．代入椭圆方程，得＋＝1， 所以＝，所以＝，即e ＝.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：2。
椭圆中的焦点三角形
思路
1：当 F1PF2 最大时，由面积公: SF1PF2
b2tan 2源自可知，焦点三角形的面积也达到最大.
所以焦点三角形的面积最大时，P 在短轴的端点处.
思路 2： S 1 ×底×高. 点 P 的纵坐标的绝对值
2
F1F2 2c
当 P 点在椭圆上运动时，纵坐标的绝对值在短轴的端点处取得最大值，
所以 P 在短轴端点处焦点三角形取得面积的最大值.
证明：在 F1PF2 中，由余弦定理得：
cos
PF12 PF22 F1F22 2PF1 • PF2
(PF1 PF2 )2 2PF1 • PF2 4c2 2PF1 • PF2
4a2 4c2 2PF1 • PF2
1 2a2 2c2 PF1 • PF2
1
2a2 2c2 ( PF1 PF2 )2
1. 建构数学
椭圆的焦点三角形：
(1)定义：椭圆上任意一点(异于长轴端点)与椭 圆的两个焦点所组成的三角形叫椭圆的焦点三 角形.
（2）焦点三角形构成要素之间的关系
以椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 为例，两焦点分别为 F1, F2 , 椭圆上
任意一点为 P，设焦点三角形 PF1F2
①焦点三角形的构成： 三边：两条焦半径 PF1, PF2 ，焦距 F1F2 ， 三角：设 F1PF2 , PF1F2 , PF2F1 .
1时，点
P
个数为
0
个
② max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
2
个
③ max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
4
椭圆的焦点三角形
F1
O
F2
x
做题感悟
1、在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成 的三角形叫焦点三角形，焦点三角形引出的问 题包含着三角形和椭圆的问题. 2、利用椭圆定义，正、余弦定理及三角形面 积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的 关系. 3、在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整 体来处理
当堂检验答案 1、2 3 2、48 3、49 4、16
2
2
2
2
椭圆的定义： PF1 PF2 2a(2a F1F2 )
椭圆的标准方程及图像 焦点在x轴
y
焦点在y轴
x2 a2
y2 b2
1
P
F1 0F2xy来自 a2x2 b2
1
F2
M
o x
F1
快速问答： 1、椭圆中的三角形是 由哪些点作为顶点构成？ 2、研究三角形一 般研究哪些元素?
F1
O
F2
x
1、讨论焦点三角形的周长.
y
2、讨论焦点三角形的面积. （已知椭圆标准方程及
P
焦点三角形的一个角）
F1
O
F2
x
变式练习：已知两定点F1(-1,0)，F2 (1, 0), 动点P满足 PF1 PF2 2 F1F2 . (1)求点P的轨迹方程； y
(2)若F1F2P 60，求PF2F1的面积.
椭圆焦点三角形的面积 与周长
知识储备
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA;b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
b2 c2 a2
c2 a2 b2
a2 b2 c2
cosA=
;cosB=
椭圆的焦点三角形
椭圆的焦点三角形
考点剖析：1.明白什么是椭圆的焦点三角形；
2．会解决有关椭圆的焦点三角形的问题；
命题方向：
1.从考查内容看，椭圆的焦点三角形是高考的重点，也是高考考查的热点．
2．从考查形式看，对椭圆的焦点三角形的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题．
知识梳理：
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系．
规律总结：
（1）对△F 1PF 2的处理方法⎩⎨⎧ 定义式的平方
余弦定理
面积公式⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|2＝2a 24c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θS △＝12|PF 1||PF 2|sin θ。
椭圆中的焦点三角形(总结非常好)
椭圆焦点三角形的性质班级_______________学号_______________姓名_______________任务一课前小测，知识回顾1.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，2a =，求,b c .2.△ABC 的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，4b c +=.(1)若23B π=，求c ；(2)设B θ=，试用θ表示c .3.(教材习题)如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是________.4.(教材习题)已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作直线AB ，交椭圆于A ,B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则△1AF B 的周长为________.思考与总结:①你能说出椭圆焦点三角形，焦点弦的定义吗？②通过题3、题4的解答，你能说说“椭圆焦点三角形的元素”与“椭圆的几何性质”间的一些关系吗？任务二抽丝剥茧，试题分析5.(2020顺德二模第19题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F =，设点P 为椭圆C 上一点,123F PF π∠=，且△12F PF (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左右顶点为1A ,2A ，称以12A A 为直径的圆为椭圆C 的“伴随圆”.设直线1l ,2l 为过点1F 的两条互相垂直的直线，设1l 交椭圆于Q ,T 两点，2l 交椭圆C 的“伴随圆”于M ,N 两点，当QT 取到最小值时，求四边形QMTN 的面积.思考与总结：①题5条件中有很多△12F PF 的信息，由这些出发，你能得到什么？这些对第(1)问求椭圆C 的标准方程有帮助吗？②第(2)问表面上“高深莫测”，请耐心一点，逐句分析，你能得到哪些基本信息？请一一写出来！③你能想到什么方法求QT 的最小值？任务三方法感悟，素养提升6.(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．312-B ．2C ．312-D 17.(2019全国卷Ⅲ)设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________.8.(2019全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为()11,0F -,()21,0F ,过2F 的直线与C 交于,A B 两点,若222AF F B =,1AB BF =,则C 的方程为()A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=思考与总结：①若△12PF F 为焦点三角形，你能否用它的元素表示椭圆的离心率？②通过上述问题的解答，请谈谈这节课你的收获.任务四课外探索，巩固练习9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F c =，设点P 为椭圆C 上一点，设12F PF θ∠=，12PF F α∠=，21PF F β∠=.(1)求证：△12F PF 的面积为2sin 1cos b θθ+；(2)求证：21cos b PF a c α=-，22cos b PF a c β=-；(3)设直线1PF 交椭圆C 于另一点Q ，求证：22222cos ab PQ a c α=-，211112a PF QF b +=.5.(2011全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为_____________.10.(2013山东卷)椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.求椭圆C 的方程.11.(2013全国卷Ⅱ)设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠= ,则C 的离心率为（）A ．36B ．13C ．12D ．3312.(2010全国卷)设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.(1)求E 的离心率;(2)略.13.(2019全国卷Ⅱ)已知1F ,2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点.(1)若△2POF 为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.。
椭圆中的焦点三角形
椭圆中的焦点三角形
由于椭圆是一种特殊的形状，它有两个焦点，以及另一种特殊的名字叫“焦点三角形”，以下是椭圆中的焦点三角形的相关知识：
椭圆的焦点三角形是指三角形的对边平分线，与两个椭圆的焦点相交所构成的三角形。
因此，无论是三个角，三条边，还是三条边的长度，椭圆的焦点三角形的都是有确定的。
焦点三角形的角度一般都是120°，而且这三个角相等，依据勾股定理，可以推算出两个
焦点三角形边长，这是一个有趣而又有用的知识点。
椭圆的焦点三角形具有一下特点：三个角为120°，角平分线的所有端点都在两个焦
点的位置上，这样的三角形称为焦点三角形，并且边AB、AC、BC的平方和等于EC（A，B，C是三角形的顶点，E是椭圆的焦点）。
焦点三角形在几何学中也有重要作用，比如它能
够用于求解椭圆曲线，从而绘制出不同的椭圆图形，和使用焦点三角形来求解其他复杂图形。
椭圆中的焦点三角形在学校中也会经常出现，因为幼儿学校到中学等学校都会学习几
何知识，并且会介绍焦点三角形，让老师和学生们了解这个有趣的几何概念。
同时，椭圆
的焦点三角形也会被用于有关视角分析，物体投射和照明计算等，为科技和先进工程所应用。
总而言之，椭圆中的焦点三角形具有很多有趣又爱思考的东西，从小学到大学，都可
以学习它，而且可以应用到许多方面，为我们的生活和科技工程的发展提供更多的便利，
让自然科学得以变得更加伟大。
椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
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解: 设 PF1 m，PF2 n， 由 余 弦 定 理 得 m 2 n 2 2 m n cos F1F2 2 4c 2①
由椭圆定义得m n 2a②
由 ① 得 ： mn 2(a2 c2 ) 2b2
1 cos 1 cos
S F1PF2
1 mn sin
2
b2 sin 1 cos
A
3
考点1 有关周长和距离问题：
例1 (0 8 浙 江 )已 知 F 1 、 F 2为 椭 圆 2 x5 2y 9 21 的 两 个 焦 点 ,过 F 1 的 直 线
交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 ,若 F 2AF 2B1 2 ,则 A B_ _ _ _ _ _ _
变式：
1（ . 2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P1,P2,P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则P1FP2FP7F _________
A
15
(2007天 津 )设 椭 圆x2y2 a2 b2
1(ab0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2，
A是 椭 圆 上 的 一 点 ， AF2F1F2， 原 点 O到 直 线 AF1的 距 离 为13OF1．
（ Ⅰ ） 证 明 a 2b； （ Ⅱ ） 略
A
16
拓展
1. 双曲线中的焦点三角形问题
昨日重现.mp3
考纲要求
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
A
2
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰 三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
如: SF1PF2
b2ctg 2
2. 椭圆的焦点改为其它的定点 (如长轴两端点)
3. 焦点弦四边形(如面积的最值)
A
17
归纳小结:
焦点三角形
基本概念 性质及应用
思想方法
A
18
A
19
b2 tan
2
Ex.1
变式（ : 04湖北） 已知椭圆x2
y2
16 9
1的左、右焦点分别是F1、F2，
点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，
则点P到x轴的距离为（）
A.9 B.9 7 C.9 D.9或9 7
5
7
4
47
A
14
性 质 四 ： 过 椭 圆 焦 点 的 所 有 弦 中 通 径 (垂 直 于 焦 点 的 弦 ) 最 短 ， 通 径 为 2b2。 a
2 m n
2 m n 2 m n m n
2b2 1 2b2 1
( m n)2
a2
2
( 当 且 仅 当 m n , 即 P 点 与 短 轴 端 点 重 合 时 " " 成 立 )
A
7
变式: (2004湖南卷) F 1,F 2是 椭 圆 C:x82y421的 焦 点 , 在 C 上 满 足 P F 1 P F 2 的 点 P 的 个 数 为 _ _ _ _ _ _
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
A
6
cos PF 12PF 22F 1F 22m 2n24c2
2PF 1 PF 2
2m n
( m n ) 2 2 m n 4 c 2 4 a 2 2 m n 4 c 2 4 b 2 2 m n 2 b 2 1
2.已 知 F 1、 F 2是 椭 圆 2 x5 2y921的 左 ,右 焦 点 ,点 P在 椭 圆 上 运 动 ,则 PF 1•PF 2的 最 大 值 是 _______
A
4
考点2 有关角的问题：
例2
(2000全 国 )椭 圆x92y42 1的 焦 点 为 Fl、 F2， 点 P为 其 上 动 点 ， 当 FlPF2为 钝 角 时 ， 点 P横 坐 标 的 取 值 范 围 是________。
A
9
性质二：已知椭圆方程为
x2 y2 1(ab0),两焦点分别
a2 b2
为 F1, F2 , 设焦点三角形 PF1F2 中 F1P2F,
则 co s12e2.
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
A
10
u u u u r u u u u r 变 式 : （ 0 9 江 西 ） 已 知 F 1 、 F 2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 满 足 M F 1 M F 2 0
A
8
考点3 有关离心率的问题：
例3
已 知 椭 圆x2 a2
y2 b2
1(ab0)的 两 焦 点 分 别 为 F1,F2,
若 椭 圆 上 存 在 一 点 P,使 得 F1PF21200,求 椭 圆 的 离 心 率 e
的 取 值 范 围 。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1PF2 与离心率e的关系吗？
探究:椭圆
x2 9
y2 4
1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
F1PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
A
5
性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1PF2达到最大。
怎样改动，使上面不是一个错题？
一：P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PF2
6
，则PF1F2的面积等于_______。
二：P是椭圆 x2 4
y2
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1PБайду номын сангаас2
3
，则PF1F2的面积等于
_______。
A
12
若 F1、 F2是 椭 圆 x a2 2+y b2 2=1(a>b>0)的 两 个 焦 点 ， P是 椭 圆 上 一 点 ， 且 ∠ F1PF2=θ ， 求 椭 圆 的 面 积 。
的 点 M 总 在 椭 圆 内 部 ， 则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _
A
11
考点4 有关面积的问题：
例4 P是 椭 圆 x52y421上 的 点 ， Fl， F2是 椭 圆 的 焦 点 ，
若 F1PF23,则 PF1F2的 面 积 等 于 _______。