高三数学第一学期期末试题(附答案)
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（ ） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（ ） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 知①不正确 命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】 不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后 可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误； 当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点 当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立 根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立 故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1； （2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数； 当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值． 【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间； （2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增 又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数； 当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。
山东省烟台市2024届高三上学期期末考试数学试题含解析
2023~2024学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合U =R ，集合{}{}0,12M x x N x x =<=-<，则()UM N ⋃=ð（）A.{}3x x ≥ B.{}3x x > C.{1x x ≤-或0}x ≥ D.{1x x <-或0}x >【答案】A 【解析】【分析】解出集合{}12N x x =-<，利用集合的运算计算即可.【详解】由12x -<，得212x -<-<，即13x -<<，所以{}13N x x =-<<，所以{}{}{}0133M N x x x x x x ⋃=<⋃-<<=<，所以(){}3U M N x x ⋃=≥ð.故选：A.2.“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．3.已知0,0a b c >>>且1c ≠，则（）A.a a cb bc +<+ B.c c a b>C.a b c c > D.c ca b >【答案】D 【解析】【分析】对于选项A,B 利用作差法即可判断；对于选项C,D 利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.【详解】对于选项A ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()()()()()0a c b a b c c b a a c a b c b b c b b c b+-+-+-==<+++，故a a cb bc +>+，选项A 错误；对于选项B ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()0c b a c c a b ab--=<，故c c a b <，选项B 错误；对于选项C ：由指数函数可知,0x y c c =>，在定义域上单调性不确定，故无法确定,a b c c 的大小，比如当01c <<时，则a b c c <，选项C 错误；对于选项D ：由幂函数可知,0c y x c =>，在定义域上单调递增，且a b >，所以c c a b >，选项D 正确.故选：D.4.已知||||1,()(3)3a b a b a b ==+⋅-=-，则向量a 与b 夹角的大小为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式，求解即可.【详解】结合题意：设向量a与b夹角为θ，22()(3)32cos 3a b a b a b a b θ+⋅-=--⋅=- ，因为||||1a b ==，所以132cos 3θ--=-，解得1cos 2θ=.因为[]0,πθ∈，所以π3θ=.故选：B.5.我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（）数字123456789纵式横式A.25B.35C.38D.310【答案】A 【解析】【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意可知，共有4根算筹，当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为4224225=+++，故选：A6.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()ln 1,012,1x x f x x x +<≤⎧=⎨->⎩，则方程()10f x -=实数根的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义求出()f x 的解析式，进而解方程即可.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当10x -≤<时，01x <-≤，()()()ln 1f x f x x =--=---，当1x <-时，1x ->，()()2f x f x x =--=--，综上()()2,1ln 1,010,0ln 1,102,1x x x x f x x x x x x ->⎧⎪+<≤⎪⎪==⎨⎪----≤<⎪--<-⎪⎩，当1x >时，令()1f x =无解；当01x <≤时，令()1f x =解得1x =；当0x =时，令()1f x =无解；当10x -≤<时，令()1f x =解得2e x -=-；当1x <-时，令()1f x =，解得3x =-，综上()10f x -=实数根的个数为3个，故选：C7.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF与C 的另外一条渐近线交于点B .若3BF AF =，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b =--，求出2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用向量关系表示出2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再代入另外一条渐近线by x a =-，整理计算即可.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，不妨设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b=--，联立()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,B x y ，由3BF AF = ，可得()221133,3,3,a ab a ab c x y c c c c c c ⎛⎫⎛⎫--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即211333a c x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得211323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在另外一条渐近线by x a =-上，所以2332,ab b a c c a c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭整理得：223c a =，即23e =，所以e =故选：C.8.已知函数()()e 2,ln 2xf x xg x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e -B.1- C.1e-D.21e -【答案】C 【解析】【分析】结合题意构造函数()e xh x x =+，得到12ln x x =，表示出1121e xx x x =⋅,再借助导数求出()e x u x x =⋅得最小值即可.【详解】因为12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，所以1122e 2ln 2xx x x +-=+-，即12ln 1222e ln eln xx x x x x +=+=+，令()e xh x x =+，()e 10xh x '=+>，所以()e xh x x =+在R 上单调递增.所以12ln x x =，即12e x x =，所以1121e xx x x =⋅，令()e xu x x =⋅，则()()e1xu x x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0u x '<，()e xu x x =⋅在(),1-∞-单调递减;当()1,x ∈-+∞时，()0u x '>，()e xu x x =⋅在()1,-+∞单调递减;所以当=1x -时，函数()e xu x x =⋅取得最小值，即()1111e eu --=-⨯=-.11211e ex x x x =⋅≥-.故选：C.【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：积型：e ln a a b b ≤，①ln e ln e a b a b ≤，构建()e xf x x =；②e lne ln a a b b ≤，构建()ln f x x x =；商型：e ln a b a b≤，①ln e e ln a ba b ≤，构建()e x f x x=；②e ln e ln a abb≤，构建()ln x f x x =；和型：e ln a a b b ±≤±，①ln e e ln a b a b ±≤±，构建()e xf x x =±；②e ln e ln a a b b ±≤±，构建()ln f x x x =±.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x （）A.与原数据的极差相同B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据题意，由数据平均数、方差、中位数、极差的定义分析选项，综合可得答案.【详解】由样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，可得()121n x x x x n=+++ ，其方差为()()()2222121n s x xx xx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，对于数据12,,,,n x x x x ，其平均数()1211n x x x x x x n '+++=+=+ ，其方差()()()()122222221111n x x x x x n s s n x x n x ⎡⎤==⎢⎥-⎣-++++-+⎦+- ；即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C 错误，D 正确；由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A 正确；对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B 错误.故选：AD10.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到sin2y x =的图象，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线5π6x =对称C.()f x 在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为12【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数的图象变换，求出()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】结合题意：要得到函数()f x 的解析式，只需将sin2y x =向左平移π6个单位长度.所以()ππ=sin 2sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,对于选项A:由()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭可得2ω=，所以2ππT ω==,故选项A 正确；对于选项B:将5π6x =代入()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得：5π5π66π=sin 2sin 2π03f ⎛⎫⎛⎫⨯+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线5π6x =对称，故选项B 错误；对于选项C:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以πππ2,363t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，而=sin y t 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；对于选项D:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,336t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象可知=sin y t 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，故π5π236t x =+=，即π4x =时，()min π5π1sin 462f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选项D 正确.故选：ACD.11.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，111224,AB AB AA P ===为棱1CC 上一点，则（）A.不存在点P ，使得直线BP 平面11AB DB.当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPDC.当P 为1CC 中点时，直线BP 与AD 所成角的余弦值为26D.当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2【答案】BCD 【解析】【分析】连接AC 交BD 于O ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立坐标系，利用空间向量法判断ABC ，利用三棱锥体积公式判断D.【详解】连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台1111ABCD A B C D -，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z轴建立如图所示坐标系，设点1A 在底面投影为E，则AE OA OE =-=1A E ==即正四棱台1111ABCD A B C D -，则()A，()0,B，()C -，(1B，(1C，(10,D ，所以(1AB =-，(1AD =-，1CC =，()BC =--，因为P 为棱1CC上一点，所以)()101CP CC λλ==≤≤，所以(),BP BC CP =+=--，设平面11AB D 的法向量()111,,n x y z =，则1111111100AB n AD n ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11x =可得平面11AB D 的一个法向量为()1,0,2n = ，令0n BP ⋅=-+= 解得23λ=，故存在点P ，使得直线BP 平面11AB D ，A 说法错误；当点P 与1C重合时即(P，()0,D -，(BP =-，()0,BD =-，设平面BPD 的法向量()222,,m x y z =，则222200BP m BD m ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21x =可得平面BPD 的一个法向量为()1,0,1m = ，因为1CC =，所以当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPD ，B 说法正确；当P 为1CC中点时，即,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()AD =--，所以cos ,26BP AD BP AD BP AD⋅===，所以直线BP 与AD所成角的余弦值为cos ,26BP AD =，C 说法正确；设正四棱台1111ABCD A B C D -的高为h ，当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -的体积111111122223323A B D V S h ==⨯⨯⨯ ，三棱锥P BCD -的体积211124244323223BCD h V S ==⨯⨯⨯=，所以三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2，D 说法正确；故选：BCD12.我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线22(0)y px p =>分别逆时针旋转90180270 ､､可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A.开口向下的抛物线的方程为()220x py p =->B.若8AB =，则2p =C.设1p =，则1t =时，直线x t =截第一象限花瓣的弦长最大D.无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值【答案】ABD 【解析】【分析】根据图象的对称性判断A ；由8AB =及抛物线方程得到点A 的坐标，由对称性得到点B 坐标，代入()220x py p =->即可求p ，判断B ；由题意得到直线x t =截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C ；利用导数的几何意义求出过点B 的切线，借助图象的对称性判断D.【详解】对于A ，因为抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，若抛物线逆时针旋转270︒，则开口向下，焦点为0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭，故开口向下的抛物线方程为：()220x py p =->，故A 正确；对于B ，由题意可知，,A B 关于x 轴对称，因为8AB =，设()(),,,A A B B A x y B x y ，所以4A y =，4B y =-，因为点A 在抛物线22(0)y px p =>上，所以162A px =，所以8A x p =，即8,4A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以8,4B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由B 在抛物线()220x py p =->上，所以()26424p p=-⨯-，解得2p =，故B 正确；对于C ，当1p =，由2222y xx y⎧=⎨=⎩得()2,2A ，所以02t <<，由题意直线x t =截第一象限花瓣弦长为122222t ty ==-，02t <<，所以122y t t -'=-，令0y '=，则t =当0t <<时，0'>y ，函数单调递增，2t <<时，0'<y ，函数单调递减，所以当t =C 错误；对于D ，由2222y pxx py⎧=⎨=-⎩得()2,2B p p -，过第二象限的两抛物线分别为：22x py =①，22y px =-②，对于①，22x y p =，则x y p '=，设切点坐标为2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以过点B 的切线方程为：()22my p x p p+=-，将点2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得22440m mp p +-=，解得2m p =±，因为0m <，故(22m p p =-=-，所以切线的斜率为2-p 为何值，切线斜率均为2-y x =的夹角为定值，由题意可知，22x py =与22y px =-关于直线y x =对称，故过点B 的两切线也关于直线y x =对称，故22y px =-的切线与直线y x =的夹角为定值，即无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()53(21)x x -+的展开式中3x 的系数为__________.【答案】200-【解析】【分析】先求得二项式5(21)x +展开式的通项为5552rr r C x --⋅，结合通项进而求得3x 项的系数.【详解】由二项式5(21)x +展开式的通项为()55515522rrr r r r T C x C x ---+=⋅=⋅，则()53(21)x x -+的展开式中，含3x 的项为232323355232200x C x C x x ⋅⋅⋅-⨯⋅⋅=-，所以3x 项的系数为200-.故答案为：200-.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为5,25n S S =且815a =，则1a 的值为__________.【答案】1【解析】【分析】利用等差数列的基本量1a 和d 表示525S =,815a =，计算即可.【详解】结合题意：设等差数列的公差为d ，因为525S =,815a =，所以518151025715S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d ⎧⎨⎩==.故答案为：115.若存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，则实数a 的取值范围为__________.【答案】e ,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】由()()e e xya y x y x -=-+，可得22e e y x ax ay =++，令()2e mh m am =+，要存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，即()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()e 2,0mh m am m '=+>，当0a ≥时，()e 20mh m am =+>'，此时()2e mh m am =+在()0,∞+单调递增,不满足；当a<0时，令()e 2mg m am =+，则()e 2mg m a ='+，令()e 20mg m a ='+=，则()ln 2m a =-，当()()0,ln 2m a ∈-时，()0g m '<，()e 2mg m am =+在()()0,ln 2a -单调递减，当()()ln 2,m a ∞∈-+时，()0g m '>，()e 2mg m am =+在()()ln 2,a ∞-+单调递增，要使()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()ln 20h a -<'，即()()ln 2e2ln 20a a a -+-<，解得e 2a <-.故答案为：e ,2∞⎛⎫--⎪⎝⎭.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，则该三棱柱外接球的表面积为__________；若点P 为线段AC 的中点，点Q 为线段1AC 上一动点，则平面BPQ 截三棱柱111ABC A B C -所得截面面积的最大值为__________.【答案】①.54π②.【解析】【分析】把直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，结合长方体的性质，求得外接球的半径，得到其表面积；连接PQ ，延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，在过点E 作1//EF B M ，证得截面四边形BPEF 为直角梯形，设ME x =，求得梯形BPEF 的面积为()S x =，设()22)(4),02f x x x x =-⋅+≤≤，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，该直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，其中直三棱柱111ABC A B C -的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5,5,2，可得对角线长为=，所以外接球的半径为2R =，则该三棱柱外接球的表面积为24π()54π2⨯=；如图所示，连接PQ ，并延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，则1B M BP =且1//B M BP ，在过点E 作1//EF B M ，可得//EF BP ，连接BF ，则四边形BPEF 即为过点,,B P Q 的截面，在ABC 中，因为AB BC =，且P 为AC 的中点，所以BP AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，所以1BP AA ⊥，因为1AC AA A =∩，且1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以BP ⊥平面11ACC A ，又因为PE ⊂平面11ACC A ，所以BP PE ⊥，所以四边形BPEF 为直角梯形，在ABC 中，由5AB BC ==且AB BC ⊥，可得AC =122BP AC ==，设ME x =，在直角PME △中，可得PE =，又由112C E C M ME x =-=-，可得12EF C E x ==-，所以直角梯形BPEF 的面积为()11()()2222S x BP EF PE x =+⨯=+-1)2x ==，其中5202x ≤≤，设()2252)(4),02f x x x x =⋅+≤≤，可得()()()()((22'22'[]4(4)42f x x xx x x x x ⎛⎫=⋅++-⋅+=--- ⎪ ⎪⎝⎭'，当2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又由()0200,216f f ==，可得()0f f <，所以当x =()f x 取得最大值，此时梯形的面积取得最大值S =.故答案为：【点睛】知识方法点拨：对于立体结合中的截面的探索性以及最值问题的求解策略：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.5、对于探索性问题的求解，可得建立函数关系，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.若ABC 的内角,,A B C 的对边分别为()2sin ,,,tan cos a b A a b c a C B-=.（1）求C ；（2）若3,a c ==ABC 的面积.【答案】17.π318.4或2【解析】【分析】（1）在三角形中，对已知条件进行“边化角”，化简后再利用两角和的正余公式，求出角C 的余弦值，从而求出角C 的大小；（2）由余弦定理求出b 的值，再由三角形面积公式求解即可．【小问1详解】(2)sin ,tan cos a b AABC a C B-= ，(2)sin sin ,(2sin sin )sin cos sin sin cos cos cos a b A a CA B A C A C BB C-∴=∴-=sin 0,2sin cos sin cos sin cos A A C B C C B ≠∴-= ，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，1π2cos 1,cos ,(0,π),23C C C C ∴==∈∴=．【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，22222π312cos ,,320,132326b b b b b b b+-+∴=∴=∴-+=∴=⨯⨯或2b =，所以ABC 面积为：11πsin 31sin 2234ab C =⨯⨯⨯=或11πsin 32sin 2232ab C =⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n m =+，且137,2,S S S -成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n a a b +=，求证：数列{}n b 的前n 项和59nT <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的定义，得到()23172S S S -=，解出0m =，得到2n S n =，进而算出数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法，结合等比数列的前n 项和公式算出n T 的表达式，进而证出不等式59n T <成立.【小问1详解】根据题意，可得()23172S S S -=，即()()()27149m m m +=++，解得0m =，所以2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11211a ==⨯-也符合，故21n a n =-.【小问2详解】证明：由（1）的结论，可得2212124n nnn n b --==，所以23135214444n nn T -=++++ ，两边都乘以14，得234111352144444n n n T +-=++++ ，以上两式相减，可得：2311311112111215221121444444444123414141824n n n n nn n n n T +---⎛-⎫⎛⎫=++++-⨯=+-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以565994n n n T +-⨯=，结合65094n n +>⨯，可知不等式59nT <成立.19.如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，平面VBD ⊥底面ABCD.（1）求证：AC VD ⊥；（2）若2VB =，且四棱锥V ABCD -的体积为2，求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）由平面VBD ⊥底面ABCD ，证明AC ⊥平面VBD ，可证得AC VD ⊥；（2）O 为AC 和BD 交点，证明VO ⊥底面ABCD ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【小问1详解】平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ⊥，AC ⊂底面ABCD ，则有AC ⊥平面VBD ，又VD ⊂平面VBD ，所以AC VD ⊥.【小问2详解】底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，BAD 为等边三角形，2BD =，122sin 602ABD S =⨯⨯⨯=△，平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，过V 点作BD 的垂线，垂足为O ，则VO ⊥底面ABCD ，四棱锥V ABCD -的体积为2，则1122233ABD S VO VO ⨯⋅=⨯= ，解得VO =，则1BO ===，所以O 为BD 中点，即O 为AC 和BD 交点，AO OC ====以O 为原点，,,OA OB OV 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，)A，()0,1,0B ，()C ，(V ，()AB = ，(0,1,VB = ，(VC = ，设平面VAB 的一个法向量(),,n x y z = ，则有00AB n y VB n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则y =1z =，即()n =，cos ,5VC n VC n VC n⋅===-，所以直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值为105.20.某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为21,32.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数()4n n ≥为多少时，对该小组更有利？【答案】（1）2027（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据好投手的定义，利用独立重复试验的概率求解；（2）先求得甲、乙同学都获得好投手的概率，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，由10,27X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据3X =时，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的概率最大求解.【小问1详解】解：设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ，则()233322222222122220C 1+C 3+133333333333327P A ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；【小问2详解】设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则()23331111111111111C 1+C 3+12222222222222P B ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，甲、乙同学都获得好投手的概率为：2011027227P =⨯=，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，则10,27X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，且()33310103C 12727n n P X -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3331=1010C 2727n n f n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()11f n f n f n f n ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩，则3332331333433110101010C 1C 12727272710101010C 1C 127272727n n n n n n n n --+---⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即()17212717327n n n n ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，即7.18.1n n ≥⎧⎨≤⎩，又*N n ∈，则8n =，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.21.已知函数()()2ln 1(1)1ax x f x x a x +=+-<+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：()*111ln2122n n n n +++<∈++N .【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）对()f x 求导可得()()()22121ax a xf x x -+-'=+，再对参数a 进行分类讨论即可讨论出函数()f x 的单调性；（2）易知当0a =时，满足()ln 11x x x +≥+，再利用对数运算性质以及累加法即可得出证明；【小问1详解】易知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()2222211121111ax x ax x ax a x f x x x x ++-+-+-'=-=+++，当0a =时，()()21xf x x '=+，易知()1,0x ∈-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增；即()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；当0a ≠时，令()()21212a g x ax a x ax x a -⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，易知当01a <<时，()12110a a a a ----=>，当102a <<时，120a a ->，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当112a <<时，1210a a --<<，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；当12a =时，()2012g x x =-≤，所以()f x 在()1,-+∞单调递减；当a<0时，()12110a a a a ----=<，所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；综上可知，当0a ≤时，()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；当102a <<时，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当12a =时，()f x 在()1,-+∞单调递减；当112a <<时，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；【小问2详解】由（1）可知当0a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()ln 11x x x +≥+（当且仅当0x =时等号成立），令1x n =可得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，即()1<ln 1ln 1n n n +-+；()()1<ln 2ln 12n n n +-++，⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()1<ln ln 21n n n n n+--+，累加可得111ln 2ln ln2122n n n n n+++<-=++ .【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用（1）中结论，由()1<ln 1ln 1n n n +-+根据累加法即可求得结论.22.已知P 为曲线22:1(1)4x y C n n+=>上任意一点，直线,PM PN 与圆221x y +=相切，且分别与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）若OP OM ⋅为定值，求n 的值，并说明理由；（2）若43n =，求PMN 面积的取值范围.【答案】（1）4n =或43n =;（2）2,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，以及韦达定理表示出1212O x x y y P OM +⋅= ，进而求出n 的值（2）判读出,,M O N 三点共线，利用（1）问表示出2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，借助弦长公式，进行换元转化为二次函数求最值即可.【小问1详解】由题意设()()1122,,,P x y M x y ，当直线PM 的斜率不为0时，直线PM ：x my t =+，因为直线与圆相切，所以1d ==，即221m t +=，联立2214x my t x y n =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()2224240m n y mnty nt n +++-=，所以()()()222212122224Δ24440,,,44mnt nt n mnt m n nt n y y y y m n m n --=-+->+=⋅=++()()()2222121212122444t m n x x my t my t m y y mt y y t m n -=++=+++=+，所以()22121224444m n n t n OP OM x x y y m n -++-⋅=+=+ ，因为221m t +=，所以()()21212243434n m n x x y y nm -+-+=+，要使OP OM ⋅ 为定值，则43434n n n --=，所以4n =或43n =，当直线PM 的斜率为0时，因为直线与圆相切，所以1d t ==，即1y =±，不妨取1y =，联立22114y x y n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2440x n +-=,所以1244x x n =-所以121243x x y y n +=-+，也符合上式.【小问2详解】当43n =时，由（1）可知0OP OM ⋅= ，OP OM ⊥，同理OP ON ⊥,即,,M O N 三点共线，所以2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，当直线PM 的斜率不为0时，由（1）可知：212122224,,34mt t y y y y m m --+=⋅=++所以23PMN S PM m ===+ ，因为221m t +=，所以23PMN S m ==+ ，令233m k +=≥，所以PMN S k === ，所以当3k =时，PMN S △有最小值为2；当6k =时，PMN S △有最小值为3；当直线PM 的斜率为0时，由（1）可知：2PMN S PM == .综上:PMN 面积的取值范围2,3⎡⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。
浙江省台州中学2025届高三数学第一学期期末检测试题含解析
浙江省台州中学2025届高三数学第一学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i + C ．86i -+ D ．86i --2．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1） B ．（1，2） C ．（–1，+∞） D ．（1，+∞）3．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53C ．43D ．324．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元5．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15- B ．3715 C ．3720 D ．13156．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．87．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨ 8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心9．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） A ．32y x =± B ．233y x =± C ．2x y =± D ．2y x =±10．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )A ．53B ．329C ．43D ．25911．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．68B ．64C ．32πD ．23π12．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（ ） AB．3 C ．12 D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省合肥一中高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数3+ai2−i的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣32．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−√3] B ．(−∞，−√3)C ．(−√3，1)D ．(−∞，−√3)∪(√3，+∞)3．如图为2021～2022年中国十大行业人工智能应用渗透率，则下列说法错误的是（ ）A ．2021年与2022年人工智能应用渗透率最低的行业都是教育B ．与2021年相比，2022年人工智能应用渗透率增长最快的是金融行业C ．2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为56%D ．2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是42.5% 4．求值：2sin80°cos20°−sin20°2sin10°=（ ）A ．√33B ．√22C ．1D ．√325．已知抛物线C 1：y 2=4x 与抛物线C 2：x 2=4y ，则（ ） A ．过C 1与C 2焦点的直线方程为x +y ＝4 B ．C 1与C 2只有1个公共点C ．与x 轴平行的直线与C 1及C 2最多有3个交点D ．不存在直线与C 1和C 2都相切6．若将lny ＝lnx +ln （y ﹣x ）确定的两个变量y 与x 之间的关系看成y ＝f （x ），则函数y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中O 1O 3＝20cm ，O 1O 2＝2cm ，AB ＝16cm ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：π≈3，铜的密度为8.96g /cm 3）（ ）A ．1kgB ．2kgC ．3kgD ．0.5kg8．若数列{a n }满足：当k 2−k+22≤n ≤k 2+k 2时，a n =2k (1+2k )(k ∈N ∗)，则数列{a n }的前28项和为（ ）A ．2048B ．2046C ．4608D ．4606二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2025届山西省山大附中高三数学第一学期期末检测试题含解析
2025届山西省山大附中高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π 2．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 4．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．326．由曲线3,y x y ==）A ．512 B ．13C ．14D ．127．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-8．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．9．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β11．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．512．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末数学试卷(附答案)
福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末试卷数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（ ）A 2B. 2i -C. 2-D. 2i2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （ ） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D. (4,)+∞3. 已知向量(3,5)a =r，(1,21)b m m =-+，若//a b，则m =（ ）A. 8B.8- C. 213-D. 87-4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（ ） A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ）A 4B. 8C. 6D. 107. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 52π3 C. 208π3D.103π38. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的..取值范围为（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D. (,4]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +的最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 9295 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（ ）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（ ）A. 直线AB 截圆C 所得的弦长为B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB 的P 点位置共有3个D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（ ）的A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 等差中项D.20241()2024i f i ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 14. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC所成角的余弦值为10，则1CC =_________.15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且的()320D X >，求K 的最小值.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =，求b c +.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.22. 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由.的答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（ ）A. 2B. 2i -C. 2-D. 2i【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据条件，利用复数的运算即可求出结果. 【答案详解】因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，所以1i z =-，故2i z z -=， 故选：D.2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （ ） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D.(4,)+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】解一元二次不等式化简集合A ，结合交集的概念即可得解.【答案详解】因为{4A x x =>或}2x <，{}3B x x =<，所以{}2A B x x ⋂=<. 故选：C.3. 已知向量(3,5)a =r ，(1,21)b m m =-+ ，若//a b ，则m =（ ）A. 8B.8- C. 213-D. 87-【答案】B 【答案解析】【详细分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.【答案详解】因为//a b ，所以3(21)5(1)m m +=-，所以8m =-.故选：B.4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】A 【答案解析】【详细分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.【答案详解】因为0.30.3log 2log 10a =<=，0.20331b =>=，0.30.2(0,1)=∈c ，所以b c a >>.故选：A5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度【答案】D 【答案解析】【详细分析】先把()f x ，()g x 的答案解析式都化成()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，再用图象的平移解决问题.【答案详解】()πππππcos sin 2244442f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2π3πsin 22cos 1sin 2cos 22244g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得3π3π2284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为()g x 的图象. 故选：C6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 4 B. 8C. 6D. 10【答案】B 【答案解析】【详细分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案. 【答案详解】因为OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上，||2pOF =， 所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离624p p+=，可得8p =.故选：B.7. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（ ） A. 52πB. 52π3 C. 208π3D.103π3【答案解析】【详细分析】根据给定条件，结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得. 【答案详解】在三棱锥C ABD -中，,,,,BD AD BD CD AD CD D AD CD ⊥⊥=⊂ 平面ACD ，由二面角A BD C --为π3，4AD CD ==，得ACD 是正三角形，令其外接圆圆心为O '，则2πsin 333O D AD '==，令三棱锥C ABD -外接球的球心为O ，球半径为R ， 则OO '⊥平面ACD ，即有//OO BD '，显然球心O 在线段BD 的中垂面上，令线段BD 的中垂面交BD 于E ，则OE BD ⊥，显然O D BD '⊥，于是//OE O D '，四边形OEDO '是平行四边形，且是矩形，而12==DE BD22222252(33R OD OE DE ==+=+=， 所以三棱锥C ABD -外接球的表面积22084ππ3S R ==. 故选：C8. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的取值范围为（ ） A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D.(,4]-∞【答案解析】【详细分析】先根据递推关系得到111n n na a a +-=-，把条件转化为22λ≤，从而可得答案. 【答案详解】因为1n n a a n +=，11a =，所以21a =，且当2n ≥时，11n n a a n -=-， 所以111n n n n a a a a +--=，所以111n n na a a +-=-， 所以3142531123111n n na a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= 12112n n n n a a a a a a ++--++=+-.因为1231112n n na a a a a λ++++≤+- ， 所以1122n n n n a a a a λ+++-≤+-，所以22λ≤，故1λ≤. 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 【答案】AD 【答案解析】【详细分析】利用作差法比较大小判断A ，利用基本（均值）不等式判断BCD ，要注意“一正二定三相等”.【答案详解】因为2()0a ab a a b -=->，所以2a ab >， 的因为2()0=->-b a b ab b ，所以2ab b >，所以22a ab b >>，故A 正确； 因为221222x x ++≥+的等号成立条件22122x x +=+不成立，所以B 错误； 因为222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以222a b +≥，故C 错误；因为11111121(2)2(22)2222222xx x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x x=-，即1x =时，等号成立，所以D 正确. 故选：AD10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 92 95 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（ ）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 【答案】BD 【答案解析】【详细分析】由样本数据可判断A ；样本数据的集中程度可判断D ；由众数的概念可判断B ；由百分位数的概念可判断C.【答案详解】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误； 因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为6668672+=，所以C 错误； 由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确. 故选：BD. 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（ ）A. 直线AB 截圆C所得的弦长为 B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB的P 点位置共有3个 D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣【答案】BCD 【答案解析】【详细分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A ，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B ，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C ，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.【答案详解】对于A ，因为()0,5A ，()5,0B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB 的距离为d ==，又因为圆C 的半径r =所以直线AB 截圆C所得的弦长为2=A 错误．对于B，易知AB =PAB 的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P到直线AB的距离的最大值为r d +==， 所以PAB的面积的最大值为1152⨯=，B 正确． 对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB 的P 点位置有2个．当点P 在直线AB 下方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r，即(，此时满足到直线AB的P 点位置只有1个．综上所述，满足到直线AB的P 点位置共有3个，C 正确．对于D ，由题意知()()()2PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅．又因为()0,5A ，()5,0B -，()3,4C -，所以()3,1CA = ，()2,4CB =--， 故()()321410CA CB ⋅=⨯-+⨯-=- ，()1,3CA CB +=-．设点()00,D x y 满足CA CB CD +=，则()003,4CD x y =+- ，故0031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩解得002,1,x y =-⎧⎨=⎩即()2,1D -，CD =所以()28cos ,10PA PB PC PC CA CB CA CB PC CD PC CD ⋅=+⋅++⋅=+⋅⋅-2,2,PC CD PC CD =-+=-+ ．又因为,PC CD ⎡∈-⎣，所以2,22PC CD ⎡-+∈---+⎣ ，即PA PB ⋅取值范围为[2--，2-+，D 正确．故选：BCD12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（ ）A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=的C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项D.20241()2024i f i ==∑【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】由(2)()(2026)f x f x f ++=，可推出()f x 的周期为4，由(1)1f x +-是奇函数可推出(1)1f =，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【答案详解】因为(2)()(2026)f x f x f ++=， 所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=， 两式相减得(4)()f x f x +=， 所以()f x 的周期为4. 因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=， 即()(2)2f x f x -++=， 令=1x -，得(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==， 令2x =，得(4)(2)(2)f f f +=， 所以(4)0f =，即(0)0f =. 因为()(2)2f x f x -++=， 令0x =，得(0)(2)2f f +=， 所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=， 所以(3)(1)2f f +=，故A 正确. 因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误. 因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==， 所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确故选：ACD【点评】关键点评：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一详细分析选项即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 【答案】2- 【答案解析】【详细分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【答案详解】由题意得()2e x f x x a '=--， 由函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴， 可得(0)20f a '=--=，得2a =-， 故答案为：-214. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为10，则1CC =_________. .【答案】【答案解析】【详细分析】利用直线的平移，把两条异面直线所成的角转化为平面角，再解三角形求角. 【答案详解】连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点E ，连接OE ，BE . 因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE （或其补角）. 令EC x =，在BEO △中，由8AB =，6AD =，得5OB =.又OE =，BE =cos 10BOE ∠=， 由余弦定理得22222225536210x x OE OB BE OE OB ++-++-==⋅，解得x =1CC =.故答案为：15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种. 【答案】60 【答案解析】【详细分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.【答案详解】由题意可知凉菜选择方案共有24C 6=种，饮品选择方案共有2144C C10+=种，因此该套餐的供餐方案共有61060⨯=种. 故答案为：6016. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________. 【答案】12##0.5 【答案解析】【详细分析】根据蒙日圆的定义得出点(,)a b 一定在其蒙日圆上，从而可得离心率. 【答案详解】由题意可知点(,)a b 一定在其蒙日圆上，所以22273a b b +=， 所以234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故椭圆C的离心率为12c e a ===. 故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）91n nT n =+ 【答案解析】【详细分析】（1）根据条件，利用n a 与n S 间的关系，得到13n n a a -=，从而得出数列{}n a 为等比数列，即可求出结果；（2）由（1）得出3n nb =-，从而得出111191n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再利用裂项相消法即可求出结果.【小问1答案详解】因为210n n S a +-=，所以当1n =时，113a =， 当2n ≥时，11210n n S a --+-=，两式相减得13n n a a -=，又1103=≠a ， 所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列， 则1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问2答案详解】因为27271log log (33nn n n b a ===-， 所以119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率； （2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且()320D X >，求K 的最小值. 【答案】（1）0.243 （2）2001 【答案解析】【详细分析】（1）根据正态分布的性质求出(248)P M ≥的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；（2）根据正态分布的对称性求出(248252)P M <<的值，确定~(,0.8)X B K ，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案. 【小问1答案详解】由题意知每包牛肉干的质量M （单位：g）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=， 所以(248)10.10.9P M ≥=-=，则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为223C 0.90.10.243⨯⨯=.【小问2答案详解】因为(248)0.1P M <=，所以(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=， 依题意可得~(,0.8)X B K ，所以()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=， 因为()320D X >，所以0.16320,2000K K >>， 又K 为正整数，所以K 的最小值为2001.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D，且AD =，求b c +.【答案】（1）π3（2）6 【答案解析】【详细分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得. 【小问1答案详解】 因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin cos sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠，则有1cos sin 22A A =，即tan A =， 因(0,π)A ∈，故π3A =. 【小问2答案详解】因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ， 所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠. 因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =，则444AB AC AB AC +=⋅， 即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=. 又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=， 解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见答案解析（2）17． 【答案解析】【详细分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得//OF AD ，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1答案详解】证明：取CD 的中点F ，连接EF ，PF ，OF ，因为E 为PC 的中点，所以//EF PD ． 又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面APD ． 因为//OE 平面PAD ，OE EF E = ，,OE EF ⊂平面OEF ， 所以平面//OEF 平面PAD ．因为平面ABCD ⋂平面OEF OF =，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以//OF AD ． 因为AD CD ⊥，所以OF CD ⊥．由PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，可得PO CD ⊥．又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ,所以CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF , 从而PF CD ⊥．因为PF 是CD 的中垂线，所以PC PD =．【小问2答案详解】因为PO ⊥平面ABCD ，所以PC 与平面ABCD 所成的角为60PCO ∠=︒， 又OC OD ⊥，OC OD =,2AB CD ==，所以OC OD PO ====．作OG BC ⊥，垂足为G ，分别以OG，OF ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0D -，()1,3,0B -，()1,1,0C，(P ，()0,4,0BC =，(1,1,PC = ，()2,0,0DC =uuu r ．设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11z =，得)m = ．设平面PCD 的法向量为()222,,x n y z =，则222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2y =，得()n = ．所以1cos ,7m n m n n m ⋅===，即平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为17．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.【答案】（1）2216x y -=（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解. （2）当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±.动直线l 与C 相切可得Δ0=即2261k m =+，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合2261k m =+即可得解.【小问1答案详解】设右焦点为(),0F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，1b ==.因为222,6c e c a b a ===+，所以a c ==. 故C 的方程为2216x y -=.【小问2答案详解】当直线l 的斜率不存在时，l的方程为x =，此时12,22OPQ PQ S ==⨯= . 当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±. 联立方程组22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221612660k x mkx m ----=. 由()()2222Δ144416660m k km=+-+=，得2261k m =+.联立方程组6y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得x =. 不妨设l与,66y x y x ==-的交点分别为,P Q，则P x =同理可求Q x =P Q PQ x =-=因为原点O 到l的距离d =，所以221216OPQS PQ d k=⋅=- . 因为2261k m =+，所以OPQ S =.故OPQ △.22 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件的1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见答案解析 （2）14x =，22x = 【答案解析】【详细分析】（1）求得()f x '，分 1a ≥，1a <讨论()f x 的单调性. （2）将问题转化为()121212ln ln ln x x x x x x -=+，根据ln ()x f x x=的值域确定122x x -=，分别就13,4,x =⋅⋅⋅详细分析是否满足题意. 【小问1答案详解】21ln ()a xf x x'--=， 当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,)+∞上单调递减. 当1a <时，令()0f x '=，得1e a x -=.)11,e a x -⎡∈⎣，()0f x '>，则()f x 在)11,e a-⎡⎣上单调递增， ()1e ,a x ∞-∈+，()0f x '<，则()f x 在()1e ,a ∞-+上单调递减.【小问2答案详解】由（1）知，令0a =，得ln ()xf x x=在[1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则11()(e)e 2f x f ≤=<. 因为121x x >≥，所以()12211212x x x x x x x x -=，即()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+， 即()121212ln ln ln x x x x x x -=+， .因为1x ，2x 为正整数，所以121x x -≥.当121x x -=时，21121x xx x =，因为21x ≥，12x ≥，所以21121x x x x >，这与21121x xx x =矛盾，不符合题意.当121x x ->时，因11ln 12x x <，22ln 12x x <，所以()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<， 所以12e x x -<，得122x x -=，即1212ln ln ln 2x x x x =+. 经检验，当21x =，13x =时，不符合题意， 当22x =，14x =时，符合题意，当23x =，15=x 时，因为53153037532763528<==⨯，所以ln3ln5ln 235+<， 当24x ≥时，11ln ln 6ln565x x ≤<，22ln ln 4ln343x x ≤<， 所以1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<. 综上，仅存在14x =，22x =满足条件.【点评】关键点评：本题关键点在于根据ln ()xf x x =的值域确定12x x -的范围，再根据12,x x 为正整数得122x x -=，从而就12,x x 的取值讨论即可为。
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末经典试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧2．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．123．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x4．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 9895607388748677799497 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或627．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．10．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B 2C 3D ．011．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．312．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
河北省唐山市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题含答案
唐山市2023-2024学年度高三年级第一学期期末考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在笞题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，()()12i 2i -+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合M ，N 满足M N N ⋂=，则（）A.M N = B.M =∅ C.M N ⊇ D.M N⊆3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,-∞⋃+∞C.[]4,6- D.(][),46,-∞-⋃+∞4.已知函数()sin ,0π,02x x f x m f x x ≤⎧⎪=⎨⎛⎫-+> ⎪⎪⎝⎭⎩.满足()π1f =，则实数m 的值为（）A.14 B.12 C.1 D.25.在正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（）A.16个 B.12个 C.10个 D.8个6.已知函数()lg3x x f x m x +=-是偶函数，则m =（）A.3 B.0 C.-1 D.27.已知函数()()()sin π0,2f x x x =∈的图象与直线()1y a x =-有3个交点，则实数a 的取值范围为（）A.(),0-∞B.()1,0-C.(),π-∞-D.()π,0-8.已知双曲线：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，1222F F a =+，P 为双曲线右支上一点，212PF F F ⊥，12PF F 的内切圆圆心为M ，1MF P 与2MF P 的面积的差为1，则双曲线的离心率e =（）A.2B.3二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都为2，M ，N 分别是AB ，11A C 的中点，则（）A.MN AC⊥ B.1MN BC ∥C.MN =D.MN ∥平面11BCC B 10.已知m ，n 都是正整数，且m n <，下列有关组合数的计算，正确的是（）A.m n m n n C C -= B.1111m m m n n nC C C -+--+=C.11m m n n mC nC --= D.()()()222012n n n n n nC C C C ++⋅⋅⋅+=11.已知函数()f x 的定义域为R ，则以下选项正确的是（）A.若()()1f x f x +=-，则()()2f x f x +=B.若()()2f x f x +=，则()()1f x x f +=-C.若()()2f x f x +=-，且()f x 为奇函数，则()()4f x f x +=D.若()()2f x f x +=-，且()()4f x f x +=，则()f x 为奇函数12.数列{}n a 的通项公式为11n n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列命题正确的为（）A.{}n a 先递增后递减B.{}n a 为递增数列C.*n ∃∈N ，n a e >D.*n ∀∈N ，n a e<三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(),3a x = ，()2,6b = ，若a 与b 共线，则实数x =______.14.已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为______.15.已知抛物线2:4E y x =，圆()22:11M x y -+=，过点M 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与圆M 交于C ，D 两点（A ，C 都在x 轴上方），若AC BD -=l 的斜率为______.16.已知函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>，A ，B 是直线12y =与曲线()f x 的两个交点，若AB 的最小值为π6，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f <，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin cos B a B b c+=+（1）求A ；（2）设AC 边的中线BD =，且2228a c +=，求ABC 的面积S .18.（12分）目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22:kg BMI :m =体重单位身高单位.中国成人的BMI 数值标如下表所示：BMI <18.5[)18.5,24[)24,28≥28体重情况过轻正常超重肥胖为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工､50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI 值，并进行分类统计，如下表所示：性别BMI 合计过轻正常超重肥胖男106011990女15255550合计25851614140（1）参照附表，对小概率值α逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的α的一个值；（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI 值，发现其BMI 值不低于28.由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小.α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828附：()()()()()22d n ad bc a b c a c b d χ++-=++19.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时111,,2,.n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数.且31S =.（1）求1a ，2a ；（2）（i ）当n 为偶数时，求{}n a 的通项公式；（ii ）求2024S .20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，BC AD ∥，222AD AB BC ===，3PC =，()01PE PD λλ=<< .（1）求证：CD PA ⊥；（2）若平面PAC 与平面EAC 夹角的余弦值为31717，求三棱锥P ACE -的体积.21.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，点)M 在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，求ABF 面积的最大值.22.（12分）已知函数()()()ln xf x e x m m m R =-+-∈.（1）若1m =，求函数()f x 的极值；f x有两个零点，求m的取值范围.（2）若()唐山市2023—2024学年度第一学期高三年级期末考试数学参考答案一､选择题（单选）：1-4DCAB5-8CADA 二､选择题（多选）：9.CD 10.ACD 11.AC 12.BD 三､填空题：13.114.20π16.2四､解答题：17.解：（1sin cos B a B b c +=+，sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，()sin sin cos sin sin A B A B B A B +=++，sin sin cos sin A B B A B =+，因为sin 0B ≠cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=或5π6（舍），所以π3A =.（2）在ABD 中，由余弦定理得：222cos 2BD AD AB ADB BD AD∠+-=⨯⨯，即2224cos 22b c ADB b ∠+-=，在BDC中，同理可得：2224cos 22b a BDC b ∠+-=，由cos cos 0ADB BDC ∠∠+=，得222b =，解得2b =.在ABD 中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⨯⨯⨯，即221132422b b c c =+-⨯⨯⨯，整理得：2120c c --=，解得：4c =.所以ABC的面积1sin 2S bc A ==.18.解：（1）零假设为0H ：职工体重是否正常与性别相互独立，即二者没有关联.性别BMI合计不正常正常男306090女252550合计5585140将分类统计表简化整理成22⨯列联表，如下表所示.根据列联表中的数据，经计算得到22140(30256025)700 3.74390505585187χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.0.13.743 2.706;x >=0.050.010.0050.0013.743 3.841x x x x <=<<<.经过对附表所给的小概率值α逐一进行独立性检验，发现0.1α=时，拒绝了零假设0H ，而附表α的其余取值都不能拒绝零假设0H .因此，能认为职工体重是否正常与性别有关联，则α的一个值可以为0.1.（2）可能性不相同.设事件A ：职工为男职工，事件:B 职工为女职工，事件:C 职工体重情况为肥胖.()()()()()()9595140140,14141414140140P AC P BC P A C P B C P C P C ======∣∣，()()P A C P B C >∣∣.因此，该职工为男职工的可能性要大.19.解：（1）由31S =得1231a a a ++=，又213212,121a a a a a ==+=+，则120,0a a ==.（2）（i ）当n 为偶数时，1n -为奇数，则12n n a a -=，且121n n a a --=+，则()221n n a a -=+故()2222n n a a -+=+，则当n 为偶数时，{}2n a +是一个等比数列，公比为2，首项为22a +，特别要注意，2n a +是第2n 项，则()122222n n a a -+=+，则222nn a =-.（ii ）设S 奇132023242024,a a a S a a a =+++=+++偶，则202413,22S S S S S S ==+=奇奇偶偶偶.S 偶21012101324202422221012221013a a a =+++=+++-⨯=-⨯，则()1012202433210132S S ==-偶.20.解：（1）因为PC ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PC CD ⊥.取AD 中点M ，连接CM ，因为1,AM BC AM ==∥BC ，所以ABCM 是平行四边形，从而112CM AB AD ===，于是CD AC ⊥.又PC AC C ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，所以CD PA ⊥.（2）如图，以C 为原点，,,CM CB CP分别为x 轴，y 轴，z 轴正向，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,0,3)C A D P CA CP -== ，(),,3PE PD λλλλ==-- ，(),,33CE CP PE λλλ=+=-- ，由（1）可知，()1,1,0CD =- 为面PAC 的一个法向量.设(),,n x y z = 为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即()0,330,x y x y z λλλ+=⎧⎨-+-=⎩取33,33,2x y z λλλ=-=-=，则()33,33,2n λλλ=--，依题意，317cos ,17CD n CD n CD n ⋅== ，得23λ=或2λ=（舍去）.因为23PE PD = ，所以2233P ACE P ACD V V --==.所以三棱锥P ACE -的体积为23.21.解：（1）由已知可得2222611,4a b a b+==+，解得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）将y kx m =+代入22184x y +=，整理得()()222124280,*k x kmx m +++-=设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222428,1212km m x x x x k k--+==++，因为直线,AF BF 的倾斜角互补，所以1212022AF BF y y k k x x +=+=--，即()()12122240kx x m k x x m +-+-=，()22228422401412m km k m k m k k--⨯+-⨯-=++，整理得4m k =-，（*）式可化简为()222212163280k x k x k +-+-=，2212122216328,1212k k x x x x k k -+==++，由()2Δ32120k =->，得212k <，点F 到直线:4l y kx k =-的距离d =，则ABF的面积12121122S AB d x k x x ==-=⋅-=当且仅当22412k k =-，即21,66k k==±时等号成立.所以ABF 面积的最大值为.22.解：（1）因为1m =，所以()()e ln 11(1)x f x x x =-+->-.()()1e ,1x f x f x x -+'='在()1,∞-+上单调递增，且()00f '=.当()1,0x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减；当()0,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.所以当0x =时，()f x 有极小值为()()00,f f x =无极大值.（2）由（1）知若1m =，则()f x 有最小值()()00,f f x =有唯一零点0x =.若1m <，则1x m x +<+，()()()e ln e ln 110x x f x x m m x =-+->-+- ，此时，()f x 没有零点.若1m >，则()1e ()x f x x m x m=->-+'，令()()g x f x ='，则()g x 在(),m ∞-+上单调递增，由e 0m m m --<-+<，得()e ee e 0m m m m g m ---+-+=-<，又()1010g m=->，所以()0,0x m ∃∈-，使得()00g x =，当()0,x m x ∈-时，()0g x <，即()()0,f x f x '<单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()0g x >，即()()0,f x f x '>单调递增，所以()()001ln 0f x f m m <=--<.取()e 11e 0,e 0m m m x m f x ---+=-+=<>，取()e e ln 222e 0,e 2e e mm m m m m x m f x m -+-+=-+>=-=-.设()e ln2(1)x t x x x x =-+->，()1e 1x t x x=--'，在()1,∞+上单调递增，所以()()1e 20t x t '>=->'，所以()()1e 1ln20t x t >=-->，所以()20f x >.所以()0e ,m m x α-∃∈-+，使()0f α=，()0,e m x m β∃∈-+，使()0f β=，所以()f x 有两个零点时，m 的取值范围为1m >.。
2025届华中师大一附中高三数学第一学期期末达标测试试题含解析
2025届华中师大一附中高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i2．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．2535- B ．535- C ．535+ D ．2535+ 4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π6．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．69．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C 23D 4311．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2B ．1C ．2D 512．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
2024北京海淀区高三(上)期末数学试题及答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题(解析版)
2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}2|4,{|1}M x x N x x =>=>，则()R M N =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{}|2x x ≥-C ．{|1}x x >D ．{}2|x x ≤【答案】B【分析】解一元二次不等式求M ，应用集合的并、补运算求集合. 【详解】由题设{|2M x x =<-或2}x >，则R {|22}M x x =-≤≤， 而{|1}N x x =>，故()R {|2}M N x x ⋃=≥-. 故选：B 2．若2i12iz +=-，则z =（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】D【分析】应用复数的除法化简复数，由共轭复数的概念写出z 即可. 【详解】2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====--+，故i z =-. 故选：D3．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 2,03,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2023f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用给定函数可得()()20231f f =，结合解析式及对数运算求函数值即可.【详解】由题设，当0x >时，()(3)f x f x =-，即当0x >时，函数()f x 的值每隔3个单位重复出现， 则()()()()()2220233674112log 22log 42f f f f ⎡⎤=⨯+==-=--==⎣⎦. 故选：C4．已知函数()22x f x x =-在点()()22f ,处的切线与直线10x ay ++=垂直，则=a （ ）A ．()6ln21-B ．()4ln21-C ．()2ln21-D ．0【答案】B【分析】求出()2f '后可求a 的值.【详解】()2ln 22xf x x '=-，故()24ln 24f '=-，故图象在点()()22f ,处的切线的斜率为4ln 24-， 所以()14ln 241a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭即4ln 24a =-，故选：B5．在梯形ABCD 中，1,3AB DC BE EC ==，且AE xAB y AD =+，则x y +=（ ）A ．16B ．12C ．52D ．72【答案】C【分析】由向量在几何图形中位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用,AB AD 表示出AE ，进而求x y +.【详解】由AE AB BE AD DE =+=+，故2AE AB BE AD DE =+++，又BE CE =-，则3DE DC CE DC BE AB BE =+=-=-， 所以24AE AB AD =+，即122AE AB AD =+， 由AE xAB y AD =+，故152,,22x y x y ==+=.故选：C6．已知数列{}n a 的前n 项和1(0,1)nn S q q q =->≠.则“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】应用,n n a S 求{}n a 通项公式，结合等比数列定义确定{}n a 的性质，再由等比数列性质及充分、必要性定义判断推出关系即可.【详解】由题设111a S q ==-，且112(1),n n n n a S S q q n --==-≥-，显然11a q =-满足上式，则11n n a a q -=，即{}n a 是首项为1q -，公比为q 的等比数列，当01q <<时，10q ->，则{}n a 为递减数列； 当1q >时，10q -<，则{}n a 为递减数列.若{}n a 为递减数列，则1001q q ->⎧⎨<<⎩或101q q -<⎧⎨>⎩，即01q <<或1q >，所以“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的充分不必要条件. 故选：A7．已知圆22:430C x y y +-+=，点()7,12M ，直线:l y x =.点P 是圆C 上的动点，点Q 是l 上的动点，则PQ QM +的最小值为（ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】找到M 关于:l y x =的对称点(12,7)M '，由||PQ QM PM '+≥且min ||||1PM CM ''=-，即可求最小值.【详解】由题设22:(2)1C x y +-=，即是圆心为(0,2)C ，半径为1的圆， 又227(122)1491+-=>，在圆外同时不在直线:l y x =上，如下图示：若M '为M 关于:l y x =的对称点，则(12,7)M '，则||PQ QM PQ QM PM ''+=+≥，而min ||||1PM CM ''=-，所以||112PQ QM CM '+≥-=，仅当,,,C P Q M '共线且P 在,C Q 之间时等号成立， 故PQ QM +的最小值为12. 故选：B8．设0.16e ,ln 5a b c === ）A ．b<c<aB ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A【分析】根据b c -、a c -的形式分别构造1()2ln f x x x x=+-、e ()x g x =，注意给定定义域范围，利用导数研究单调性，进而判断定义域上函数值符号，即可判断大小关系.【详解】由6ln 5b c -=+1()2ln f x x x x =+-，且1x >，所以22211()1(1)0f x x x x'=--=--<，即()f x 在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0f x f <=在(1,)+∞上恒成立，故21ln x x x+<在(1,)+∞上恒成立，有b c <，由0.1e a c -=e ()x g x =，且102x <<， 所以()exg x '=1(0,)2上递增，则()(0)0g x g ''>=，即()g x 在1(0,)2上递增，所以0()(0)e 10g x g -==>在1(0,)2上恒成立，故e x >1(0,)2上恒成立，有a c >.综上，b<c<a . 故选：A二、多选题9．设,αβ是两个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A ．若,a b a c ⊥⊥，则//b c B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ D ．若//a b ，//a α，则//b α 【答案】BC【分析】由线面、线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误. 【详解】A ：,a b a c ⊥⊥，则,b c 可能异面、相交或平行，错误； B ：,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两条直线平行知：//a b ，正确；C ：若,αβ不平行，则,αβ必相交，令d αβ⋂=，假设,a a αβ⊥⊥垂足分别是,A B ，在d 上找一点C ，连接,AC BC ， 故AC α⊂，BC β⊂，则,a AC a BC ⊥⊥，故90CAB CBA ∠=∠=︒， 在△ABC 中内角和大于180︒，显然矛盾，故//αβ，正确；D ：//a b ，//a α，则//b α或b α⊂，错误. 故选：BC10．已知函数()cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在[],ππ-上有4个零点C ．()f x 2D ．()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】AC【分析】根据偶函数的定义可判断A 的正误，求出函数在[]0,π上的零点和最值后后可判断BC 的正误，利用辅助角公式结合正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】()f x 的定义域为R ，且()()()cos sin f x x x f x -=-+-=，故()f x 为偶函数， 故A 正确.当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，令()0f x =，则cos sin 00πx x x +=⎧⎨≤≤⎩，解得3π4x =，故()f x 在[],ππ-上有2个零点，故B 错误. 又当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ3π444x <+<且sin y t =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.当0x ≥时，()cos sin f x x x =+；当0x <时，()()cos sin cos sin f x x x x x =-+=+；故()cos sin f x x x =+，而()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=+++=+， 故()f x 是周期函数且周期为2π.而当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，故()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时ππ5π444x ≤+≤，故πsin 14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故()1f x -≤()max π4f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭由()f x 为偶函数可得()f x 在[],ππ-由()f x 的周期性可得()f x 在R 故选：AC.11．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，则（ ）A ．直线l 过定点()3,2B ．当点F 到直线l 的距离最大时，1m =-C ．动点N 的轨迹为椭圆D ．MF MN +的最小值为3 【答案】ABD【分析】根据题意求出直线l 的定点即可判断选项A ；利用点到直线的距离公式，将式子整理化简即可判断选项B ；根据垂直即可判断选项C ；作出图象，借助抛物线的定义即可判断选项D.【详解】直线:320l mx y m --+=可化为(3)(2)0m x y ---=，令3020x y -=⎧⎨-=⎩，解得：32x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()3,2，故选项A 正确；由题意可知：(1,0)F ，则点F 到直线l 的距离d == 当0m =时，2d =；当0m ≠时，222324(21)24(1)111m m m m d m m m m-+-+===-+++， 因为1(,2][2,)m m+∈-∞-+∞，所以当1m =-时，d 取最大值222>，也即点F 到直线l 的距离最大时，1m =-，故选项B 正确；因为过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，直线l 过定点(3,2)P ，则FN NP ⊥，所以点N 在以PF （PF 的长度为定值）为直径的圆上，也即动点N 的轨迹为圆，故选项C 错误； 过点M 作MD 与准线垂直并交准线于点D ，连接PF ，取PF 的中点E ，则E 的坐标为(2,1)，2EP =，因为FN l ⊥，则点N 在以PF 为直径的圆上，其方程为22(2)(1)2x y -+-=，又由MF MD =，得MF MN MD MN +=+，如图所示：MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -+-=上的点到准线的距离的最小值，过点E 作ED '与准线=1x -垂直并交于点D ，与圆E 交于点N '，与抛物线交于点M '，则D N ''即为MD MN +的最小值，即min ()32MD MN D N ED EN ''''+==-=故选项D 正确， 故选：ABD .12．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列.在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N .则下列结论正确的是（ ） A ．87a = B ．819S =C ．2023a 是偶数D ．()32224n n n S S a n --=++≥【答案】BCD【分析】根据递推关系依次写出前8项，再求8S ，判断A 、B ；根据已知判断数列{}n a 中奇偶数出现的规律，找出其周期，即可判断C ；根据递推关系，应用累加法得到2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，两边都加上前3项即可判断D.【详解】由题设4212,a a a =+=5322a a a =+=，6433a a a =+=，7544a a a =+=，8655a a a =+=，A 错误；由上分析，12388...19a a S a a ++=++=，B 正确；由()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N 知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数，而20237289=⨯，故2023a 是偶数，C 正确；由421a a a =+，532a a a =+，643a a a =+，…，23n n n a a a --=+，且4n ≥， 所以2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，又123...nn S a a a a =++++，故()1233223322...22n n n n n S a a a a a a a S a ----=+++++++=++，D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知tan 2θ=-，则sin cos =θθ__________. 【答案】25-##-0.4【分析】将sin cos θθ分母看成“1”，利用22sin cos 1θθ+=替换，然后把所求的式子转化为tan θ表达式，进而得出结果.【详解】因为tan 2θ=-， 则222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθ-====-+++， 故答案为：25-14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若55678915,35S a a a a a =++++=，则14S =__________. 【答案】105【分析】利用等差数列前n 项和公式、等差中项的性质求得33a =、77a =，进而确定公差以及通项公式，最后求14S 即可. 【详解】由题设15355()521522a a a S +⨯===，则33a =， 567897535a a a a a a ++==++，则77a =，若公差为d ，则7314a a d -==，故3(3)n a a n d n =+-=， 故1141414()7151052a a S ⨯+==⨯=.故答案为：10515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且213PF PF =，若122cos 3F PF ∠=，则该双曲线的离心率是__________.【分析】根据双曲线的定义求出1PF ，2PF ，再在12PF F △中利用余弦定理得到2246c a =，即可得解.【详解】解：因为213PF PF =，122PF PF a -=，故13PF a =，2PF a =，在12PF F △中，利用余弦定理得到122224923cos c a a a a F PF ∠=+-⨯⨯，化简整理得到2246c a =，即2c =， 所以离心率62c e a.故答案为：16．三棱锥-P ABC 中，2π,,,3PA PB CA CB ACB PC CA ∠===⊥，若2CA CP +=，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积的最小值为__________. 【答案】16π5【分析】先确定三棱锥-P ABC 的球心在底面外接圆圆心作底面垂线上，与线段PC 中垂线的交点上，底面外接圆半径用CA 的长来表示，求出外接球半径也用CA 的长来表示，然后球最值即可. 【详解】如图所示，因为,,PA PB CA CB PC PC === 所以PCA PCB ≅所以PCA PCB ∠≅∠，又因为PC CA ⊥ 所以PC CB ⊥ 又因为CA CB C ⋂= ,CA CB ⊂平面CAB所以PC ⊥平面ABC ，设H 为ABC 的外心，过H 作平面ABC 的垂线，过P 作CH 的平行线，两线交于点D ，取DH 的中点O ，连接OC ，则O 为三棱锥-P ABC外接球的球心； 设,2,CA x PC x AB ==-=设三棱锥-P ABC 的外接球半径为R ，外接圆半径为r ， 则222πsin3ABr x ==， 所以222222552441244555x R x x x x -⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积的最小值为16π5.故答案为：16π5四、解答题17．如图所示，,,A B C 为脚两侧共线的三点，现计划沿直线AC 开通穿山隧道，在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===，在地面测得5AD =千米，1BE =千米，()1033BC =-千米.求隧道DE 的长度.【答案】(43+千米【分析】在PBC 中，由正弦定理可得求出PC 的长，在R t PAC 中求出AC 的长. 【详解】解：由在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===得： 30,15,135,60,90C BPC PBC PAC APC ︒︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=在PBC 中，由正弦定理可得：sin sin BC PCBPC PBC=∠∠即：(1033sin15sin135PC ︒︒=解得：3PC =在R t PAC 中，由sin PCPAC AC∠= 得：sin PCAC PAC=∠即：203403AC =所以DE AC AD BE BC =---即：(40511034DE =---=+所以隧道DE的长度约为(4+千米.18．数列{}n a 是正项等比数列，已知12a =且324,3,a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2122log ,n nn n n n nb b b ac b b +-==+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1)2n n a = (2)(2)1n n n n S +=+【分析】（1）由等差中项的性质及等比数列通项公式求公比，进而写出{}n a 的通项公式； （2）由（1）、题设可得1111n c n n =+-+，应用裂项相消法求n S . 【详解】（1）由题设2346a a a =+，令{}n a 公比为0q >，则12n n a q -=，所以231222q q q +=，即26(3)(2)0q q q q +-=+-=，则2q ，故2n n a =.（2）由（1）知：2log n n b a n ==，则2222(1)111111(1)1n n n n n c n n n n n n n n +-++===+=+-++++，所以1111111(2)...(1...)1223111n n n n c c n n n S n n n +=++=+-+-++-=+-=+++. 19．已知函数()sin f x x x mx =+.(1)若函数()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若()f x 在()0,2π内有两个极值点,αβ，讨论αβ+的值. 【答案】(1)m 1≥ (2)2π3αβ+=或8π3【分析】（1）由题设π()2sin()3f x x mx =-+，可得π()2cos()3f x x m '=-+，根据()0f x '≥在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求范围即可；（2）将问题转化为π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，数形结合法判断,αβ的对称轴，即可得结果.【详解】（1）由π()sin 3cos 2sin()3f x x x mx x mx =-+=-+，所以π()2cos()3f x x m '=-+，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π[,]363x -∈-，故()[1,2]f x m m '∈-+，又()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即10m -≥，所以m 1≥.（2）由()0,2πx ∈，令π()2cos()03f x x m '=-+=，则π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，而π()2cos(),3g x x y m =--=图象如下，由图知：要使(),g x y m =有两个交点，则交点横坐标关于π3x =或4π3x =对称， 所以2π3αβ+=或8π3. 20．如图所示，在高为2的三棱锥-P ABC 中（ABC 为底面），,2AB BC AB ⊥=，22,PA PC D==为AC 的中点.若三棱锥-P ABC 的体积为43.(1)证明：平面ABC ⊥平面PBD ； (2)求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 63【分析】（1）由棱锥体积公式求得2BC =，根据等腰三角形的性质有BD AC ⊥、PD AC ⊥，利用线面、面面垂直的判定证结论；（2）由（1）P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，进而可得DH BD =，讨论H 与B 在AC 两侧、H 与B 重合两种情况，并构建空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【详解】（1）由题设11243633P ABC ABCV Sh AB BC h BC -=⋅⋅=⋅⋅⋅==且-P ABC 的高2h =，故2BC =， 由2AB =且D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，又22PA PC ==，则PD AC ⊥， 由BD PD D =，,BD PD ⊂面PBD ，故AC ⊥面PBD ， 又AC ⊂面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBD ；（2）由（1）知：P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，且2222AC AB C P B PA C =+===， 所以362PD PA ==，则222DH PD h =-=，即DH BD =， 当H 与B 在AC 两侧，则D 为AC 、BH 的中点，且AB BC ⊥，故ABCH 为正方形且PH ⊥面ABCH ， 构建以H 为原点，,,HA HC HP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C P ，故(2,0,2),(0,2,2),(2,0,0)AP CP CB =-=-=， 令(,,)m x y z =为面PBC 的一个法向量，则22020CP m y z CB m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，(0,1,1)m =满足；令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n b c AP n a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时26cos ||3||||23m n m n θ⋅===⨯；当H 与B 重合，且AB BC ⊥，又PH ⊥面ABCH ，,AB BC ⊂面ABCH ， 所以,PH AB PH BC ⊥⊥，构建以H 为原点，,,BC BA BP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)A C P ，故(0,2,2),(2,0,2)AP CP =-=-， 易知：(0,1,0)m =为面PBC 的一个法向量，令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n a c AP n b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时13cos ||3||||3m n m n θ⋅===；综上，二面角A PC B --的余弦值为63或33. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若1l 为椭圆C 在点P 处的切线，21//l l 且2l 与椭圆C 交于,A B 两点. （i ）求直线1l 的方程； （ii ）求PAB 面积的最大值. 【答案】(1)22:14x C y +=(2)（i ）13240l x y -+=；（ii 33【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得2241a b ⎧=⎨=⎩，即可得椭圆方程；（2）（i）切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立椭圆方程并整理，结合Δ0=求参数k ，即可得直线方程； （ii ）令直线:AB y m +，联立椭圆方程，注意0∆>求参数m 范围，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求||AB 、P 到直线AB 的距离，进而得到PAB 面积关于m 的函数，利用导数求最大值即可.【详解】（1）由题设223114c a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎨=⎩，故22:14x C y +=；（2）（i）由题设，切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立2214x y +=，整理得：222(41)41)1230k x k x k +++++-=，所以2222161)4(41)(123)0k k k ∆=+-++-=，即222241)(41)(123)k k k +=++-，整理为2243(20k k -+==，所以k11:2l y x -=，则1240l y -+=；（ii ）由（i ），令直线:AB y m +，联立22:14x C y +=，整理得：2210x m +-=，且22234(1)40m m m ∆=--=->，即22m -<<，所以2,1A B A B x x x x m +==-，则||AB = 又P到:AB y m +的距离d ==，所以1||2PABSAB d =⋅= 令2(0,4)t m =-∈，且33(2)(2)(4)y m m t t =-+=-，则24(3)y t t '=-， 当03t <<时，0'>y ，即y 递增；当34t <<时，0'<y ，即y 递减； 所以max 3|27(43)27t y y ===⨯-=，故PAB面积的最大值为PABS=22．已知函数()e ln xf x ax x x =--，若()1f x ≥恒成立，(1)求实数a 的取值范围；(2)当0x >时，证明：1e 12sin x x x x >-+.【答案】(1)1a ≥ (2)证明见解析【分析】（1）问题转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，不等式右边构造函数，利用导数研究单调性，并求出其最大值，即可得参数范围；（2）由（1）知e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，应用分析法，将问题化为证1ln 2sin x x x x++>恒成立，讨论1x ≥、01x <<，利用导数研究单调性并确定区间符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设()e ln 1x f x ax x x =--≥在(0,)+∞上恒成立， 所以ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()e xx x g x x ++=，则2(1)(ln )()e xx x x g x x ++'=-， 令()ln h x x x =+，则1()10h x x'=+>在(0,)+∞上恒成立， 所以()h x 在(0,)+∞上递增，显然111()ln 0222h =+=，(1)10h =>，故01(,1)2x ∃∈使0()0h x =，则0(0,)x 上()0h x <，0(,)x +∞上()0h x >， 所以0(0,)x 上()0g x '>，()g x 递增；0(,)x +∞上()0g x '<，()g x 递减；又00ln x x =-，即00xx e -=，则000max 00ln 1()()1e x x x g x g x x ++===，综上，1a ≥.（2）由（1）知：e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，所以e ln 1x x x x ≥++且,()0x ∈+∞，要使1e 12sin xx x x >-+恒成立，只需证1ln 2sin x x x x +>-恒成立，只需证1ln 2sin x x x x ++>恒成立，当1x ≥时，若1y x x =+，则2110y x'=-≥，即y 递增，又ln y x =也递增， 所以1ln y x x x=++在[1,)+∞上递增，故1|22sin x y y x =≥=>恒成立， 当01x <<时，令sin y x x =-且(0,1)x ∈，则1cos 0y x '=->，即y 递增，故0|0x y y =>=， 所以sin x x >在(0,1)上恒成立，故11ln 2sin ln x x x x x x x++->-+，令1()ln k x x x x =-+，则22213()1124()10x k x x x x -+'=--=-<， 所以()k x 在(0,1)上递减，故()(1)0k x k >=，即11ln 2sin ln 0x x x x x x x++->-+>， 综上，1ln 2sin x x x x++>在,()0x ∈+∞上恒成立， 所以，0x >时1e 12sin xx x x >-+得证.【点睛】关键点点睛：第一问转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，第二问化为证明1ln 2sin x x x x++>恒成立，再构造函数并利用导数研究单调性即可.。
西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案
20232024学年度第一学期期末试卷 第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一） （13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分 所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤， 即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷 第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1； 当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=， 所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分 （Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷 第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ， 平面PAB 平面PAD PA =， 且DE ⊂平面PAB ． 所以DE ⊥平面PAB ． ………2分 所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分 如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ． 所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分 所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分 所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分 所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点， 所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分 因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++． 整理得340k k +=． ………13分 解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去． 综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =， 所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分 所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下： 令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>． 所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−； 当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−． 综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次， 故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤． 当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '： 首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤． 其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。
高数上册期末考试题及答案
高数上册期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是（）。
A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. x+2答案：A2. 若函数f(x)在x=a处可导，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处不一定连续答案：A3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 函数y=ln(x)的不定积分是（）。
A. x+CB. e^x+CC. ln(x)+CD. 1/x+C答案：D5. 以下哪个级数是发散的（）。
A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1/2+1/4+1/6+...D. 1/2^2+1/3^2+1/4^2+...答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的二阶导数是________。
答案：6x-32. 函数f(x)=e^x的原函数是________。
答案：e^x+C3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
答案：04. 函数y=x^2的不定积分是________。
答案：1/3x^3+C5. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是________。
答案：x=-1三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
经检验，f(1)=-1为最小值，f(3)=1为最大值。
2. 求极限lim(x→2) [(x^2-4)/(x-2)]。
答案：lim(x→2) [(x^2-4)/(x-2)] = lim(x→2) [(x+2)(x-2)/(x-2)] = lim(x→2) (x+2) = 4。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 0.5（x ﹣1）＞0}，B ＝{x |2x ＜4}，则（ ） A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．已知复数z 满足z ⋅z =4，则复数|z|=（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜a ）＝3P （X ≥a ），则P （X ≥a ）＝（ ） A ．0.75B ．0.5C ．0.3D ．0.254．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A ．28√3B ．84√2C ．28√63D ．28√25．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y ＝x ﹣2与f （x ）的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0B ．8C ．12D ．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．函数f(x)=3sin(2x −π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f （x ）为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 312．已知函数f（x）＝xe x，g（x）＝xlnx，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）与函数g（x）有相同的极小值B．若方程f（x）＝a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0C．若方程g（x）＝a有两个不同的实根x1，x2，则x1x2＞a2D．当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1x2＝t成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有 种．14．已知圆C 1：x 2+y 2−2ax +4by +4=0，则直线ax ﹣2by +2＝0与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系是 ．15．已知函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '．将画有该图象的纸片沿着x 轴折成120°的二面角A ﹣A 'B '﹣B ，此时|AB |＝ ．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}，B＝{x|2x＜4}，则（）A．A＝B B．A∩B＝∅C．A∩B＝B D．A∪B＝B解：不等式log0.5（x﹣1）＞0，即为log0.5（x﹣1）＞log0.51，根据对数函数的单调性知，0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，所以A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2x＜22}＝{x|x＜2}，所以A⊆B，从而A∩B＝A，A∪B＝B．故选：D．2．已知复数z满足z⋅z=4，则复数|z|=（）A．2B．4C．8D．16解：由于zz=4，所以|z|2＝z z=4，故|z|＝2．故选：A．3．设随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＜a）＝3P（X≥a），则P（X≥a）＝（）A．0.75B．0.5C．0.3D．0.25解：随机变量X～N（μ，σ2），显然P（X＜a）+P（X≥a）＝1，而P（X＜a）＝3P（X≥a），所以P（X≥a）＝0.25．故选：D．4．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（）A．28√3B．84√2C．28√63D．28√2解：记正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面的中心为O，O1，连接OO1，在平面ACC1A1中过A1作A1E平行于OO1，交AC于E，如图所示：则由正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的性质可知OO1⊥底面ABCD，从而A1E⊥底面ABCD，所以∠A1AE为侧棱AA1与底面ABCD所成的角，即∠A1AE＝60°，因为正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，所以A1C1=2√2，AC=4√2，则AE=12(4√2−2√2)=√2，故A1E=AE⋅tan60°=√2×√3=√6，即正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为√6，所以该正四棱台的体积为13×(22+√22×42+42)×√6=28√63．故选：C ．5．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]解：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B （√3，0），C （√32，32），由题意设P （cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π）， 则PB →=(√3−cosθ，−sinθ)，PC →=(√32−cosθ，32−sinθ)， ∴PB →⋅PC →=(√3−cosθ)(√32−cosθ)−sinθ(32−sinθ)=32−3√32cosθ+cos 2θ−32sinθ+sin 2θ =52−3sin(θ+π3)， ∵0≤θ＜2π，∴π3≤θ+π3＜7π3，可得52−3sin(θ+π3)∈[−12，112]．故选：B ．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若对∀n ∈N *，都有a n +1＞|a n |，可得a 2＞|a 1|，a 3＞|a 2|，a 4＞|a 3|，⋯，a n +1＞|a n |， 因为|a n |≥a n 恒成立，所以a n +1＞a n ＞a n ﹣1＞⋯＞a 2＞a 1，即数列{a n }为递增数列，S n+1n+1=(n+1)(a 1+a n+1)2n+1=a 1+a n+1，S nn n(a 1+a n )2n+1=a 1+a n ，所以S n+1n+1＞S n n，即nS n +1＞（n +1）S n 成立，所以充分性成立；反之：若对∀n ∈N *，都有nS n +1＞（n +1）S n ，即S n+1n+1＞S n n，可得(n+1)(a 1+a n+1)2n+1＞n(a 1+a n )2n，解得a n +1＞a n ，所以d ＝a n +1﹣a n ＞0，即数列{a n }为递增数列，例如：数列a n ＝n ﹣7为递增数列，可得a 1＝﹣6，a 2＝﹣5， 此时a 2＞|a 1|不成立，即必要性不成立；所以对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的充分不必要条件． 故选：A ．7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，g （x ）为偶函数，即g （﹣x ）＝g （x ）， 两边同时求导数可得：﹣g ′（﹣x ）＝g ′（x ）， 则g ′（x ）是定义域为R 的奇函数，则有g ′（0）＝0，在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝4可得：f （4）﹣g ′（0）＝2，必有f （4）＝2，①正确； 对于②，又由f （x ）+g '（x ）＝2，则有f （x ）﹣g '（﹣x ）＝2， 同时，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，两式联立可得g ′（4﹣x ）＝g ′（﹣x ），变形可得g ′（x +4）＝g ′（x ），g ′（x ）是周期为4的周期函数，则有g ′（2）＝g ′（﹣2），又由g ′（x ）为奇函数，则g ′（2）＝﹣g ′（﹣2）， 必有g ′（2）＝g ′（﹣2）＝0，②正确；对于③，在f （x ）+g '（x ）＝2中，令x ＝1可得：f （1）+g '（1）＝2， 在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝3可得：f （3）﹣g ′（1）＝2， 有f （1）+f （3）＝4，③错误；对于④，在f（x）+g'（x）＝2中，令x＝﹣1可得：f（﹣1）+g'（﹣1）＝2，在f（x）﹣g'（4﹣x）＝2中，令x＝﹣3可得：f（﹣3）﹣g′（7）＝2，而g′（x）是周期为4的周期函数，则有g′（7）＝g′（﹣1），必有f（﹣1）+f（﹣3）＝4，④正确．有3个命题正确．故选：C．8．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为（）A．0B．8C．12D．16解：由f（x）＝x﹣2可得sin(2πx)=x−2−1x−2，令g（x）＝sin（2πx），ℎ(x)=x−2−1x−2，则函数g（x）＝sin（2πx）的定义域为R，其最小正周期为T=2π2π=1，g（4﹣x）＝sin[2π（4﹣x）]＝sin（8π﹣2πx）＝﹣sin（2πx）＝﹣g（x），所以，函数g（x）的图象关于点（2，0）对称，函数ℎ(x)=x−2−1x−2的定义域为{x|x≠2}，对任意的x∈{x|x≠2}，ℎ(4−x)=(4−x)−2−1(4−x)−2=2−x−12−x=−ℎ(x)，所以，函数h（x）的图象也关于点（2，0）对称，因为函数y＝x﹣2、y=−1x−2在（2，+∞）上均为增函数，则函数h（x）在（2，+∞）上也为增函数，如下图所示：由图可知，函数g（x）、f（x）的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点（2，0）对称，因此，直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为4×3＝12．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则下列说法正确的是（）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z解：∵f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1为偶函数，∴φ−π3=kπ+π2（k∈Z），∴φ＝kπ+5π6（k∈Z），又φ∈（0，π），∴φ=5π6，A正确；∴f（x）＝3sin（2x+π2）+1＝3cos2x+1，令2x＝kπ+π2（k∈Z），得x=kπ2+π4（k∈Z），∴f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)（k∈Z），B正确；令2x＝kπ（k∈Z），得x=kπ2（k∈Z），∴f（x）图象的对称轴方程为x=kπ2（k∈Z），C错误；令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+π2（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+π2]（k∈Z），D错误．故选：AB．10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数解：A．剩下的28个样本数据的和为28x1，去掉的两个数据和为2x2，原样本数据和为30x，所以28x1+ 2x2=30x，因为x=x2，所以x=x1，故A选项正确；B．设x1＜x2＜x3＜⋯＜x29＜x30，s12=128[(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2]，因为x1=x2=x，所以s22=12[(x1−x1)2+(x30−x1)2]，所以28s12+2s22=[(x1−x1)2+(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2+(x30−x1)2]=30s2，所以15s2=14s12+s22，故B选项正确；C．剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；D．去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确．故选：ABD．11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 3解：对于A：由题意可知，多面体ABCDEF可以放在如图所示的正方体当中，设DF 中点为O ，则O 为多面体ABCDEF 的外接球球心， 所以多面体ABCDEF 的外接球半径为√12+12+122=√32， 则多面体ABCDEF 的外接球的表面积为4π×（√32）2＝3π，故A 正确； 对于B ：△CGD 的周长为CG +GD +CD ＝CG +GD +1，将△ADF ，△AFC 如下图所示展开，当D ，G ，C 三点共线时，CG +GD 最小，由AD ＝1，AF =AC =CF =√2，DF =√3， 则AD 2+AF 2＝DF 2，所以∠DAF ＝90°，∠F AC ＝60°， 所以∠DAC ＝150°，在△ACD 中，由余弦定理得，CD 2＝AD 2+AC 2﹣2AC •AC cos ∠150°， 所以CD =√1+2−2×1×√2×(−√32)=√3+√6，则△CGD 的周长最小为√3+√6+1，故B 错误；对于C ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系：则C （0，1，0），设G （1，m ，m ），0≤m ≤1，则CG =√1+(m −1)2+m 2=√2(m −12)2+32∈[√62，√2]，故C 正确；对于D ：由A （1，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），所以AC →=(−1，1，0)，AE →=(−1，0，1)，CG →=(1，m −1，m)，设平面AEC 法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅AC →=−x +y =0n →⋅AE →=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，则n →=（1，1，1）， 则CG 与平面AEC 所成角的正弦值为|CG →⋅n →||CG →||n →|=√3×√2(m 2−m+1)=√2√3×√(m −2)2+4，因为0≤m ≤1，所以1m≥1，当1m=1，即m ＝1时，移动CG 与平面AEC 所成角的正弦值最大为√2√3×√(2)2+4=√63，故D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f （x ）＝xe x ，g （x ）＝xlnx ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）与函数g （x ）有相同的极小值B ．若方程f （x ）＝a 有唯一实根，则a 的取值范围为a ≥0C ．若方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2，则x 1x 2＞a 2D ．当x ＞0时，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1x 2＝t 成立 解：对于A ，f （x ）＝xe x ，f '（x ）＝（x +1）e x ，当x ＜﹣1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）的极小值为f(−1)=−1e，g （x ）＝xlnx ，g ′（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e 时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1e 时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以g （x ）的极小值为g(1e )=−1e，故A 正确；对于B ，若方程f （x ）＝xe x ＝a 有唯一实根， 由于当x →﹣∞时，f （x ）→0，且f （0）＝0，结合f （x ）的单调性和最值可知，a ≥0或a =−1e，故B 错误；对于C ，因为方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2， 假设x 1＞x 2，则a ＜0，{x 1lnx 1=ax 2lnx 2=a ，即{lnx 1=ax 1lnx 2=a x 2， 两式相减得，x 1−x 2lnx 1−lnx 2=−1ax 1x 2，下面证对数均值不等式：x1−x2lnx1−lnx2＞√x1x2(x1＞x2)，即证x1x2−1ln x1x2＞√x1x2，设m=√x1x2(m＞1)，即证m2−12lnm＞m，即证m−1m−2lnm＞0，令φ(m)=m−1m−2lnm(m＞1)，则φ′(m)=1+1m2−2m=(m−1)2m2＞0，则φ（m）在（1，+∞）单调递增，当m＞1时，φ（m）＞φ（1）＝0，得证．所以x1−x2lnx1−lnx2=−1ax1x2＞√x1x2，则√x1x2＞−a＞0，即x1x2＞a2，故C正确；对于D，当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1e x1=lnx2e lnx2=t⇒f（x1）＝f（lnx2），显然x1＞0，lnx2＞0，则x1＝lnx2，则x1x2＝x2lnx2＝t，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有120种．解：由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有C51=5种分法，再将剩余的4张分给剩余4个人，有A44=24种分法，所以一共有5×24＝120种分法．故答案为：120．14．已知圆C1：x2+y2−2ax+4by+4=0，则直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1的位置关系是相交．解：因为（x﹣a）2+（y+2b）2＝a2+4b2﹣4表示圆C1的方程，所以a2+4b2﹣4＞0，即a2+4b2＞4．因为圆C2的圆心到直线ax﹣2by+2＝0的距离22=√a2+4b2＜22=1，所以直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1相交．故答案为：相交．15．已知函数f(x)=3sin(π4x+φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A，B分别为图象的最低点和最高点，过A，B作x轴的垂线分别交x轴于点A'，B'．将画有该图象的纸片沿着x轴折成120°的二面角A﹣A'B'﹣B，此时|AB|＝√43．解：函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '， ∴由题意得AA ′＝BB ′＝3，A ′B ′=12×2ππ4=4， ∴|AB |=√(BB′→+B′A′→+A′A →)2=√BB ′→2+B′A′→2+A′A →2+2|BB′→|⋅|A′A →|cos60°=√9+16+9+2×3×3×12=√43． 故答案为：√43．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 √2 ． 解：由题意得√x 2+y 2−mx +my +m 22=√(x −m 2)2+(y +m2)2，即求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到(m 2，−m2)距离的最小值，又因为(m 2，−m2)在直线y ＝﹣x 上，所以当曲线与直线y ＝﹣x 平行时，所求距离取得最小值， 因为x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，所以y ＝x 2﹣3lnx ，y ′＝2x −3x ，令y ′＝2x −3x =−1，解得x ＝1或x =−32 （舍），当x ＝1时，点（1，1）到直线x +y ＝0距离为√2=√2，即所求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到 (m 2，−m2) 距离的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．解：（Ⅰ）函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2）＝sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin （π2−ωx ）=√32sin ωx −32cos ωx=√3sin （ωx −π3），又f （π6）=√3sin （π6ω−π3）＝0，∴π6ω−π3=k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +2， 又0＜ω＜3， ∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=√3sin （2x −π3），将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =√3sin （x −π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y =√3sin （x +π4−π3）的图象，∴函数y ＝g （x ）=√3sin （x −π12）； 当x ∈[−π4，3π4]时，x −π12∈[−π3，2π3]，∴sin （x −π12）∈[−√32，1]， ∴当x =−π4时，g （x ）取得最小值是−√32×√3=−32．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．解：（1）证明：连接AM ，OM ，MN ，PN ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴四边形OMNB 为菱形， 设MB ∩ON ＝Q ，则Q 为ON 的中点，且ON ⊥MB ， 又∵OP ＝ON ，∠PON ＝60°，故△OPN 为等边三角形， 连接PQ ，则ON ⊥PQ ，又∵MB ∩PQ ＝Q ，∴ON ⊥面PMB ，∵PB ⊂面PMB ，∴ON ⊥PB ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴ON ∥AM ， ∴AM ⊥PB ，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，因此P A ⊥PB ， 又AM ∩P A ＝A ，∴PB ⊥面P AM ，∵PM ⊂面P AM ，∴PB ⊥PM ； （2）根据题意可知PQ ⊥面AMB ，如图建立空间直角坐标系，则P(0，0，√3)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，A(√3，−2，0)， PM →=（√3，0，−√3），PA →=（√3，﹣2，−√3），BA →=(2√3，−2，0)，则{n →⋅PA →=√3x −2y −√3z =0n →⋅BA →=2√3x −2y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，因此n →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 所成角为θ，sinθ=|n →⋅PM→|n →||PM →||=√35×6=√105，直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值为√105．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． （1）证明：因为a ＝b cos A ﹣a cos B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos A ﹣sin A cos B ，所以sin A ＝sin （B ﹣A ）， 又因为△ABC 为锐角三角形，可得A ，B ∈(0，π2)，所以B −A ∈(−π2，π2)，可得A ＝B ﹣A ，即B ＝2A ．（2）解：因为B ＝2A ，且△ABC 为锐角三角形，且C =π−(A +B)=π−32B ＜π2，可得B ＞π3，所以π3＜B ＜π2，又因为B ＝2A ，即π3＜2A ＜π2，可得π6＜A ＜π4，所以√22＜cosA ＜√32，则b a =sinB sinA =sin2A sinA =2cosA ∈(√2，√3)，即b a的取值范围是(√2，√3)．（3）解：由正弦定理得a=sinAsinC，b=sinBsinC，所以S=12absinC=12⋅sinA⋅sinBsinC=12⋅sinA⋅sin2Asin3A=12⋅sinA⋅sin2Asin2A⋅cosA+cos2A⋅sinA=sinA⋅cosA3cos2A−sin2A=13 tanA −tanA，又由π6＜A＜π4，可得√33＜tanA＜1，设f(x)=3x−x在(√33，1)为单调递减函数，可得3tanA−tanA∈(2，8√33)，所以S∈(√38，12)，故S的取值范围是(√38，12)．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．解：（1）设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，∵a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，∴1+2d1＝2+d1，d2＝1+d1，解得d1＝1，d2＝2，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），c1＝max{b1﹣a1}＝0，c2＝max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}＝max{﹣1}＝﹣1，c3＝max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}＝max{﹣2，﹣3，﹣4}＝﹣2．猜想数列{c n}的通项公式c n＝1﹣n．证明：∵b k+1﹣na k+1﹣（b k﹣na k）＝b k+1﹣b k﹣n（a k+1﹣a k）＝2﹣n，∴数列{b k﹣na k}为单调递减数列，∴c n＝b1﹣na1＝1﹣n．（2）1(3−c n)(2−c n)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n＝（12−13）+（13−14）+…+（1n+1−1n+2）=12−1n+2，∵S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，∴12≤−m2+4m，化为：2m2﹣8m+1≤0，解得：4−√142≤m≤4+√142，∴偶数m的值为2．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．解：（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，所以当x＞0时，e x﹣1﹣x﹣ax2＞0恒成立，设f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2（x≥0），令g（x）＝f'（x）＝e x﹣1﹣2ax（x≥0），则g（′x）＝e x﹣2a，显然g′（x）在（0，+∞）单调递增．故当x＞0时，g'（x）＞g'（0）＝1﹣2a，当a≤12时，1﹣2a≥0，则g'（x）＞0 对x＞0恒成立，则f'（x）在（0，+∞）单调递增，从而当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，即f（x）在（0，+∞）单调递增，所以当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，符合题意；当a＞12时，g（0）＝1﹣2a＜0，又因为g'[ln（1+2a）]＝e ln（1+2a）﹣2a＝1＞0，所以存在x0∈（0，ln（1+2a）），使得g'（x0）＝0，所以当0＜x＜x0时，g'（x0）＜0，即f'（x）单调递减，f'（x）＜f'（0）＝0，则f（x）单调递减，此时f（x）＜f（0）＝0，不符合题意，综上所述，a的取值范围为(−∞，12 ]；证明：（2）要证当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2，即证e x−1(1+lnx)x2−1＞0，设m（x）=e x−1(1+lnx)x2−1，x≥1，则m′（x）=(1+lnx)e x−1x2−(1+2lnx)e x−1x3=xlnx−2lnx+x−1x3⋅e x−1，令n（x）＝xlnx﹣2lnx+x﹣1（x≥1），则n′(x)=lnx+2−2x单调递增，所以当x＞1时，n′（x）＞n′（1）＝0，即m（x）单调递增，则当x＞1时，m′（x）＞0，即m（x）单调递增，所以当x＞1时，m(x)=e x−1(1+lnx)x2−1＞m(1)=0，原式得证．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．解：（1）设“第3回合由甲发球”为事件A，则P(A)=35×35+25×15=1125，所以第3回合由甲发球的概率为11 25．（2）①证明：第i（i≥2）回合是甲发球分两种情况：第一种情况为第i﹣1回合是甲发球且甲得分，第二种情况为第i﹣1回合是乙发球且甲得分，则p i=35p i−1+15(1−p i−1)，即p i=25p i−1+15，所以p i−13=25(p i−1−13)，i≥2，又因为p1−13=1−13=23≠0，所以p i−13≠0，所以p i−13p i−1−13=25，i≥2，即{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列．②因为{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列，所以p i−13=23×(25)i−1，即p i=23×(25)i−1+13，记第i回合甲得分为X i，显然X i服从两点分布，且事件X i＝1等价于第i+1回合是甲发球，故P（X i＝1）＝p i+1，又因为甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为X＝X1+X2+…+X n，所以E（X）＝E（∑n i=1X i）=∑n i=1p i+1=∑n i=1[23×(25)i+13]=23×25[1−(25)n]1−25+n3=n3+49[1−(25)n]，故甲的总得分的期望为n3+49[1−(25)n]．。
2023届山东省菏泽市高三上学期期末数学试题(解析版)
2023届山东省菏泽市高三上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2A =--，52B x x ⎧=<⎨⎩且}N x ∈，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【分析】写出由集合A 中满足小于52的自然数元素组成的集合即可.【详解】集合A 中满足小于52的自然数元素有0，1，2， 所以{}0,1,2A B =. 故选：C. 2．若复数i1ia z +=+的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】利用复数的除法，然后利用复数的实部与虚部相等即得. 【详解】()()()()()()1i 11i 11i 1i 22i 2i 1i 1i a a a z a a a-++++=+-+-===-++， 由于复数z 的实部与虚部相等， 则1122a a+-=， 解得0a =. 故选：A. 3．若2:01xp x -≤+，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．12x -≤≤ B ．1x > C ．2xD ．25x <≤【答案】B 【分析】解不等式201xx -+≤得1x <-或2x ≥，选出其必要不充分条件即可.【详解】p ：201xx -+≤，即(2)(1)0x x -+≤且1x ≠-，解得1x <-或2x ≥， 所以p ：1x <-或2x ≥，对于A ，12x -≤≤是p 的既不充分也不必要条件； 对于B ，1x >即1x <-或1x >，是p 的必要不充分条件； 对于C ，2x即<2x -或2x >，是p 的充分不必要条件；对于D ，25x <≤是p 的充分不必要条件； 故选：B.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则40S =（ ） A ．60 B ．70 C ．80 D ．150【答案】D【分析】根据等比数列前n 项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可. 【详解】因为{}n a 是等比数列，所以10201030204030,,,S S S S S S S ---成等比数列， 又因为1010S =，2030S =，201020S S -=， 则302040S S -=，403080S S -=， 所以3070S =，40150S =. 故选：D.5．已知函数()2lg 1y x ax =-+在()2,+∞上单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)4,+∞C ．(],4∞-D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由复合函数单调性及定义域可求解.【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知：函数2()1f x x ax =-+在()2,+∞上单调递增且()0f x >在()2,+∞上恒成立， 则有222(2)2210af a ⎧≤⎪⎨⎪=-+≥⎩，解得52a ≤，则a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D6．设圆C ：()()22230x y r r -+=>上恰好有三个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的值为（ ） A ．2 B ．4 CD ．3【答案】D【分析】首先求圆心到直线的距离，再利用数形结合可得r 的值.【详解】圆心()3,0到直线4320x y --=的距离2d =，若圆上有3个点到直线4320x y --=的距离等于1，则213r =+=. 故选：D7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水恰好刚刚满盆，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ） A ．223寸 B ．8寸 C ．263寸 D ．9寸【答案】C【分析】利用圆台的体积公式求得盆中积水的体积，进而求得平地降雨量.【详解】由题意，可知圆台形天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸，则盆中积水的体积为()22π186186182808π3⨯⨯++⨯=，又盆口面积为2π18324π⨯=， 所以平地降雨量为2808π26324π3=(寸). 故选：C.8．已知函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，4个极值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1911,63⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1911,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．811,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】先求出π3x ω+的范围，然后结合函数图象、零点个数和极值点个数可πππ3π+,4π32ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，进而求出πππ3π+,4π32ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦可得答案.【详解】因为()0,πx ∈，所以πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π内恰好有3个零点，4个极值点，结合函数图象可得：πππ3π+,4π32ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，解得1911,63ω∈⎛⎤ ⎥⎝⎦，ω的取值范围是1911,63⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、多选题9．已知双曲线C 的渐近线方程为13y x =±，焦距为10，则满足条件的双曲线C 可以是（ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．2219y x -=D ．2219x y -=【答案】AD【分析】根据双曲线焦点的位置讨论，结合条件即得.【详解】若双曲线C 的焦点在x 轴上，可设方程为()222210,0x ya b a b-=>>，则221013a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得229,1a b ==，双曲线C 方程为2219x y -=；若双曲线C 的焦点在y 轴上，可设方程为()222210,0y xa b a b-=>>，则221013a b a b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得221,9a b ==，双曲线C 方程为2219x y -=.故选：AD.10．某城市100户居民月平均用电量（单位：度），以[160，180)、[180，200）、[200，220），[220，240）、[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．0.0075x =B ．月平均用电量的众数为210和230C ．月平均用电量的中位数为224D ．月平均用电量的75%分位数位于区间[)240260，内 【答案】ACD【分析】利用各组的频率之和为1，列出方程求解x ，然后根据众数，中位数及百分位数的概念逐项分析即得.【详解】由直方图的性质可得()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=， 解得0.0075x =，故A 正确； 由直方图可知月平均用电量的众数2202402302+=，故B 错误； 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ， 则()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=， 解得224a =，故C 正确；因为()0.0020.00950.0110.0125200.7+++⨯=，()0.0020.00950.0110.01250.0075200.85++++⨯=，所以月平均用电量的75%分位数位于区间[)240260，内，故D 正确. 故选：ACD.11．若1a b >> ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．a b a b > B ．b a a b > C ．1e a b a b +->+ D ．ln e b a <【答案】AC【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断B,D ；根据1e a b a b +->+的特征，构造函数()e 1,(0)x f x x x =-->，利用其单调性可得e 1,(0)x x x >+>，可判断1e a b a b +->+，判断C. 【详解】由于1a b >>，故x y a =为R 上单调增函数， 所以a b a a >，而b y x =是(0,)+∞上的增函数，故b b a b >， 所以a b a b >，A 正确；取4,2a b ==满足1a b >>，但244,2,b a b a a b a b ==∴=，B 错误； 设()e 1,(0)x f x x x =-->，则()e 1x f x '=-，由于0,e 1x x >∴>，故()0f x '>，即()e 1x f x x =--是(0,)+∞上的增函数， 故()(0)0,e 1,(0)x f x f x x >=∴>+>，由于1a b >>，则110a b +->>，故11e 11,e a b a b a b a b +-+->+-+∴>+，C 正确； 取10e ,2a b ==，满足1a b >>，而2ln 10e e b a =>=，故D 错误， 故选：AC12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 为底面ABCD 的中心．P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），则（ ）A ．不存在点P ，使得1BC ∥平面APOB ．正方体1111ABCD A BCD -的外接球表面积为12π C ．存在P 点，使得PO AO ⊥D ．当P 为线段11A D 中点时，过A ，P ，O 三点的平面截此正方体1111ABCD A B C D -外接球所得的截面的面积为26π9【答案】ABD【分析】利用反证法，由此判断A ；求正方体的外接球的半径，结合球的体积公式判断B ；根据勾股定理判断C ；根据球的截面性质判断D. 【详解】假设存在点P ，使得1BC ∥平面APO ， 在11B C 上取点Q ，使得11B Q A P =，又11//B Q A P ， 所以四边形11A B QP 为平行四边形，所以1111//,=A B PQ A B PQ ，又1111//,=A B AB A B AB 所以四边形ABQP 为平行四边形，故//BQ AP ， 又⊄BQ 平面APO ，AP ⊂平面APO ， 所以//BQ 平面APO ，又1BC ∥平面APO ，1BC BQ B =,1,BC BQ ⊂平面11BCC B ，所以平面//APO 平面11BCC B ，与已知矛盾， 所以不存在点P ，使得1BC ∥平面APO ，A 正确；正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心为1BD 的中点，外接球的半径3R 所以正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积24π12πS R ==，B 正确； 假设存在P 点，使得PO AO ⊥，在线段AD 上取点1P 使得11AP A P =,设1AP x =，则24AP x +21π222cos 4PO x x =+-⋅226PO x x -+ 因为PO AO ⊥，所以222AP PO AO =+，所以224262x x x +=-++，解得2x =，与已知矛盾；C 错误；取11C D 的中点E ，因为P 为线段11A D 中点时，连接PE 交11B D 与点F ， 所以11//PE A C ，又11//AC A C ，所以//PE AC ，故过A ，P ，O 三点的平面为平面ACEP ， 取11B D 的中点1O ，过1O 作1O H FO ⊥，垂足为H ，又AC ⊥平面11BB D D ，1O H ⊂平面11BB D D ，所以1O H AC ⊥，FO AC O ⋂=，,FO AC ⊂平面ACEP ，所以1O H ⊥平面ACEP ，过球心2O 作211//O H O H ，则21O H ⊥平面ACEP ，所以正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心到截面ACEP 的距离为21O H 的长， 又11232,2,22O F OO FO ===，111O F OO O H FO⋅=⋅ 所以123O H =，因为2O 为1OO 的中点，所以213O H =，故截面圆的半径为2126333⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以截面圆的面积2626ππ99S =⨯=，D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题为立体几何综合问题，考查面面平行的证明，正方体的外接球，求得截面问题，解决球的截面问题的关键在于合理使用球的截面的性质.三、填空题13．已知向量()2,1a =-，()1,b t =，若()()a b a b +⊥-，则t 的值为______． 【答案】2±【分析】利用向量的线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示，结合向量的数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量()2,1a =-，()1,b t =， 所以()1,1a b t +=-+，()3,1a b t -=--， 又因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，即()()()13110t t -⨯-++⨯-=， 解得2t =±. 故答案为：2±. 14．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解.【详解】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =， ∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，2c e a ∴==，故答案为：2. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.15．写出一个数列{}n a 的通项公式，使得这个数列的前n 项积当且仅当4n =时取最大值，则n a =______．（写出一个即可）【答案】 4.112n -⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】根据等差数列的前n 项和公式，指数函数及二次函数的性质求解即得.【详解】对于n a = 4.112n -⎛⎫⎪⎝⎭，其前n 项积为()1 4.12 4.14.7.21211112222n n n n T ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，令()27.21 3.622n n n S n n -==-，*N n ∈，由二次函数的性质可知，当且仅当4n =时n S 取到最小值， 又函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以当且仅当4n =时n T 取到最大值，所以n a = 4.112n -⎛⎫⎪⎝⎭满足题意.故答案为： 4.112n -⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）16．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()1f x '+和()22f x ++均为奇函数，则()()()()1232023f f f f +++⋅⋅⋅+=______．【答案】4046-【分析】由原函数的奇偶性，对称性推导函数的周期性，构造新函数求解即可. 【详解】因为()1f x '+为奇函数，则()f x '关于点()1,0中心对称， 所以()f x 关于直线1x =对称， 所以()()11f x f x -=+， 令()()2F x f x =+，则()()112F x f x -=-+，()()112F x f x +=++， 所以()()11F x F x -=+， 所以()F x 关于直线1x =对称， 又因为()22f x ++为奇函数， 所以()()22220f x f x +++-++=， 所以()()220F x F x ++-+=，所以()F x 关于点()2,0中心对称，令0x =，则()()()()()222222222020f f f F F +++=+==⇒=⎡⎤⎣⎦， 由()()11F x F x -=+，所以()()2F x F x -=， 所以()()20F x F x ++=， 所以()()2F x F x +=-， 所以周期为4T =，当1x =时，()()310F F +=， 当2x =时，()()420F F +=， 所以()()()()()()()()123202312320F F F F F F F F ++++=++==， 所以()()()()()1232023220234046f f f f ++++=-⨯=-.故答案为：4046-.四、解答题17．已知函数()3213g x x x ax =-+-在()0,∞+上单调递减，设实数a 的取值集合为M ．(1)求M ；(2)若函数lg 2m y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间M 上单调递增，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[)1,+∞ (2)()0,2．【分析】(1)由导数与函数的单调性的关系列不等关系求M ；(2)根据对数函数的单调性和复合函数的单调性结论列不等式求m 的取值范围． 【详解】（1）因为()3213g x x x ax =-+-，所以()22g x x x a '=-+-．因为函数()3213g x x x ax =-+-在()0,∞+上单调递减，所以220x x a -+-≤对()0,x ∀∈+∞成立，所以()22211a x x x ≥-+=--+对()0,x ∀∈+∞成立，又()2111x --+≤ 所以1a ≥，所以实数a 的取值集合为[)1,M =+∞；（2）函数lg 2m y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[)1,+∞上单调递增，所以函数2my x =-为[)1,+∞上的增函数， 且当1x ≥时，20m x->恒成立， 由函数性质可得0,20,m m >⎧⎨->⎩ 所以0<m <2．所以m 的取值范围为()0,2．18．已知等差数列{}n a 的通项公式为()22n a n c c =-<，记数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，且数列为等差数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列14n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈，求{}n T 的通项公式．【答案】(1)21n a n =-；(2)22221n n nT n +=+.【分析】（1）根据数列通项及等差中项的性质即得；（2）由题可得2214411114122121n n n S n a a n n n +⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭，然后利用裂项相消法即得. 【详解】（1）因为()22n a n c c =-<，数列为等差数列， 所以12S c =-，262S c =-，3123S c =-，所以=，又2c <， 解得1c =， 所以21n a n =-；（2）由（1）得()21212n n n S n +-==，所以()()2221444111121214122121n n n S n n a a n n n n n +⎛⎫===+- ⎪-+--+⎝⎭， 所以111111111111221212414122121n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦21122122121n nn n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭． 19．如图，在四棱维P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面P AD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PE PD λ=（01λ<<）．(1)若12λ=，求证：PD ⊥平面ABE ； (2)若平面ABE 与平面P AC 的夹角为θ，且5cos 7θ=，求λ的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)13λ=．【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得AB ⊥平面PAD ，然后利用线面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得. 【详解】（1）当12λ=时，E 为PD 的中点，又因为PAD 为正三角形， 所以AE PD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD AB AD =⊥，，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB PD ⊥，又AB AE A =，AB ⊂平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，故PD ⊥平面ABE ；（2）取AD 的中点Q ，则PQ AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PQ ⊂平面PAD ， 所以PQ ⊥平面ABCD ，在平面P AD 内作//Az PQ ，则Az ⊥平面ABCD ，即有射线AB ，AD ，Az 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，Az 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()000200,220,020A B C D ，，,，，，，，，，(3P ， 所以(0,1,3PE PD λλ==-，()0,133E λλ+，则()2,0,0AB =，()2,2,0AC =，()0,133AE λλ=+，(3AP =， 设平面ABE 的一个法向量(),,m x y z =，则()()201330m AB x m AE y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令33z，得130,1m λλ⎛-= +⎝⎭， 设平面PAC 的一个法向量(),,n a b c =，则30220m AP b c m AC a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3b =，得(3,3,3n =-，所以()()2213115cos cos 7112131m n m n m nλλθλλ-⎛⎫- ⎪⋅+⎝⎭=⋅===-+⨯+，设11t λλ-=+（t <0），可解得12t =-或3t =-， 由1112λλ-=-+，可得13λ=， 由131λλ-=-+，可得12λ=-(舍去)， 所以13λ=．20．在①π1sin sin tan 22cos C C B B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；②3S AB CA =⋅；③()tan 2tan c A c b C =-+． 三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且满足______． (1)求A 的大小；(2)设ABC 的面积为6，点D 为边BC 的中点，求2AD 的最小值． 【答案】(1)23A π=(2)【分析】（1）分别选取三个条件，运用正余弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换结合条件即得；（2）由题可得bc =. 【详解】（1）选①，由π1sin sin tan 22cos C C B B⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 化简得：1sin cos sin 2cos cos BC C B B-=⋅，所以2cos cos 12sin sin B C C B -=，即()1cos 2B C +=， 在ABC 中，()1cos cos 2B C A +=-=，1cos 2A =-，因为()0,πA ∈，所以2π3A =；选②，()31cos πsin 2S CA bc A bc A =⋅=-=，所以tan A = 因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选③，()tan 2tan c A c b C =--， 由正弦定理和切化弦得()sin sin sin sin 2sin cos cos A CC C B A C=--， 在ABC 中，sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B -=+=+=， 在ABC 中，sin 0B ≠，因为()0,πA ∈， 所以1cos 2A =-，得2π3A =；（2）由16sin 2ABC S bc A ==△，得bc =由12AD AB BC =+，有1122AD AB AC =+，所以22222111111111424442244AD AB AB AC AC c b bc bc bc ⎛⎫=+⋅+=++-≥== ⎪⎝⎭当且仅当22b c ==所以2AD 的最小值为23．21．已知点(0,1)F 和直线1l ：1y =- ，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P ． (1)求点P 轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线l 与C 交于,A B 两点．若C 上恰好存在三个点()1,2,3i D i =，使得i ABD △的面积等于274，求l 的方程． 【答案】(1)24x y = (2)512y x =+或512y x =-+．【分析】（1）根据抛物线的定义可判断东点轨迹为抛物线，即而求得抛物线方程；（2）设l 的方程为1y kx =+，作与l 平行且与C 相切的直线l '，切点为D ,表示出切点D 的坐标，联立方程，求出弦长AB ，利用三角形ABD △的面积可求得k 的值，说明符合题意，C 上恰好存在三个点()1,2,3i D i =，使得i ABD △的面积等于274，即得答案. 【详解】（1）连接PF ，因为MF 的垂直平分线l 交2l 于点P ，所以PF PM =，即点P 到定点(0,1)F 的距离等于点P 到直线1l ：1y =-的距离， 由抛物线的定义，点P 的轨迹为抛物线24x y =, 即点P 轨迹C 的方程为24x y =.（2）如图，作与l 平行且与C 相切的直线l '，切点为D ,由题知ABD △的面积等于274． 由题意知直线l 的斜率一定存在，设l 的方程为1y kx =+ ， 方程24x y =可化为214y x =，则12y x '=， 设()00,D x y ，令012y k x ='=，解得02x k =， 将02x k =代入24x y =，得2y k =，故()22,D k k ，所以D 到l 的距离22222111k k d k k -+==++由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得2440x kx --=，216(1)0k ∆=+> ， 从而124x x k +=，124x x =-， 所以()()22212121441AB k x x x x k =++-+，故ABD △的面积(2212112AB d k k ⋅=++(22272114k k ++， 解得5k =或5k =，此时55,4D ⎫⎪⎭或55,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭为使得ABD △的面积等于274的一个点，那么在直线l 的上方必然也存在着一条直线和l 平行，和l 的距离为21d k + 这条直线与抛物线有两个交点也使得ABD △的面积等于274， 即此时C 上恰好存在三个点()1,2,3i D i =，使得i ABD △的面积等于274， 所以l 的方程为51y x =+或51y x =+． 【点睛】关键点点睛：要满足C 上恰好存在三个点()1,2,3i D i =，使得i ABD △的面积等于274，关键在于找到使得ABD △面积等于274时，和直线l 平行且和抛物线相切的那条直线，即表示出切点坐标，从而表示出三角形的高，进而利用面积求得答案.22．已知函数()()()e 1ln 1xf x a x x x =---++，0a ≥．(1)证明：()f x 存在唯一零点；(2)设()e xg x a x =+，若存在()12,1,x x ∈-+∞，使得()()()112f x g x g x =-，证明：12212ln 2x x -≥-．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用导函数求()f x 单调性，结合()00f =即可求解.（2）由题意可得()()2112ln 11e xx a x a x +++=+，若1x 是方程()()ln 11x a x b +++=的根，则()1ln 1x +是方程x ae x b +=的根，所以()21ln 1x x =+，()121122ln 1x x x x -=-+，再利用导函数求()2ln 1x x -+的最小值即可.【详解】（1）由题意可得()()1e 111xf x a x '=--++， 记()()()1e 111xF x f x a x '==--++，则()()21e 1x F x a x '=++，因为0a ≥时，()0F x '>恒成立，所以()()F x f x '=在()1,-+∞上单调递增， 因为()00f '=，所以()f x '在()1,0-上恒小于0，在()0,∞+上恒大于0， 所以()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()00f =，所以()f x 有唯一零点0．（2）由()()()112f x g x g x =-可得()()2112ln 11e xx a x a x +++=+，若1x 是方程()()ln 11x a x b +++=的根，则()1ln 1x +是方程x ae x b +=的根，因为()()()ln 11m x x a x =+++，()xn x ae x =+都单调递增，所以()21ln 1x x =+，()121122ln 1x x x x -=-+， 设()()2ln 1h x x x =-+，()21111x h x x x -'=-=++， 所以()0h x '>的解为()1,+∞，()0h x '<的解为()1,1-， 所以()h x 在()1,1-上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 的最小值为()112ln 2h =-，即122x x -的最小值为12ln2-． 故原不等式成立.【点睛】当函数的一阶导数符号不好判断时，常利用二阶导数判断一阶导数的单调性，进而得到一阶导数大于0和小于0的区间.。
2023-2024学年安徽省亳州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2≤x ＜3|B ．{x |﹣2≤x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣2≤x ＜3}2．已知复数z ＝（1﹣i ）（a +i ）（a ∈R ），则“a ＜0”是“z 的实部小于0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组……第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）A ．140B ．240C ．280D ．3204．在等差数列{a n }中，已知a 6＝2（a 2+a 4），则a 2＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，已知F 为棱AA 1的中点，D ，E 分别在棱B 1B ，C 1C 上，BD ＝2，CE ＝1，记四棱锥A 1﹣B 1C 1ED 三棱锥F ﹣A 1DE 与三棱锥A ﹣DEF 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ）A ．V 1＜V 2B ．V 2＜V 3C ．2V 1＝3V 2D ．V 1＝V 2+V 36．已知直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝0和曲线C ：y =√9−x 2，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定7．在三棱锥P ﹣ABC 中，已知AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．18π B ．9√3π C ．9√2π D ．9π8．当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a)−a 在[1，+∞）上的零点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量a →，b →，c →满足c →=λa →+（1﹣λ）b →（0＜λ＜1），且c →=（1，2），则a →，b →的坐标可以为（ ）A ．a →=（1，0），b →=（0，2）B ．a →=（2，0），b →=（0，4）C ．a →=（3，1），b →=（﹣1，3）D ．a →=（2，1），b →=（4，﹣1） 10．已知函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω＝3B ．φ=π4C ．f （x ）的图象关于点(7π12，0)对称D ．f （x ）在[−7π12，−π4]上单调递增 11．将正数x 用科学记数法表示为x ＝a ×10m ，a ∈[1，10），m ∈Z ，则lg x ＝m +lga ，我们把m ，lga 分别叫做lgx 的首数和尾数，若将lgx 的首数记为S （x ），尾数记为W （x ），则下列说法正确的是（ ）A ．W （x ）∈[0，1）B ．W （x ）（x ＞0）是周期函数C ．若x ，y ＞0，则S （xy ）≥S （x ）+S （y ）D ．若x ＞y ＞0，则W(x y)=W(x)−W(y) 12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到点G （0，p ）的距离为√5，直线l 经过点F ，且与C 交于点P ，Q （P 位于第一象限），R 为抛物线上P ，Q 之间的一点，S 为点P 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）A．p＝2B．若l的斜率为1，则当R到l的距离最大时，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形C．若|PF|＝2|QF|，则l的斜率为3D．若Q，S不重合，则直线QS经过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的斜率为2，且与曲线y＝2e x相切，则l的方程为．14．已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X≤﹣2）≥P（X≥3），则μ的取值范围是．15．已知α，β∈(0，π2)，3sinβ−cosα=√3，sinα+3cosβ＝2，则α﹣β＝．16．已知椭圆C：x 25+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C上，且∠F1PF2=2π3，则|PO|＝．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b cos A﹣2c＝0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=72，点D在边BC上，AD⊥BC，且AD=2√3，求a．18．（12分）记正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1＝1，b4＝S3＝13，T3＝27．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设集合A＝{n|8＜T n＜56}，B＝{a i+a j|i，j∈A}，求B中元素的个数．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面ACB1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）若∠BAD=π3，求二面角C﹣AB1﹣E的正弦值．20．（12分）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题．（Ⅰ）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及E（X）．（Ⅱ）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率．21．（12分）已知函数f(x)=e x−aln xa．（Ⅰ）若a＝e，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞）和a∈（0，+∞），不等式f（x）≥ka恒成立，求k的最大值．22．（12分）已知双曲线C：4x2﹣y2＝λ（λ≠0）经过点A(√2，2)，直线y＝t（t≠±2）与C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴相交于点P，Q．（Ⅰ）证明：以线段PQ为直径的圆恒过点R（2，0）；（Ⅱ）若|MN|＜2√2，且|AM||AN|=|AQ||AP|，求t．2023-2024学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2≤x ＜3|B ．{x |﹣2≤x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣2≤x ＜3}解：集合A ＝{x |x 2≤4}＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：C ．2．已知复数z ＝（1﹣i ）（a +i ）（a ∈R ），则“a ＜0”是“z 的实部小于0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：z ＝（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ，若a ＜0，则z 的实部不一定小于0，若z 的实部小于0，则a ＜﹣1，可得a ＜0．∴“a ＜0”是“z 的实部小于0”的必要不充分条件．故选：B ．3．如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组……第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）A ．140B ．240C ．280D ．320解：由题意，（0.01+a +0.06+0.04+0.02）×5＝1，解得a ＝0.07，则第二组的员工人数为800.02×0.07＝280人．故选：C ．4．在等差数列{a n }中，已知a 6＝2（a 2+a 4），则a 2＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 解：设等差数列{a n }的公差为d ，a 6＝2（a 2+a 4），则a 1+5d ＝2（a 1+d +a 1+3d ），即a 1＝﹣d ，故a 2＝a 1+d ＝﹣d +d ＝0．故选：B ．5．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，已知F 为棱AA 1的中点，D ，E 分别在棱B 1B ，C 1C 上，BD ＝2，CE ＝1，记四棱锥A 1﹣B 1C 1ED 三棱锥F ﹣A 1DE 与三棱锥A ﹣DEF 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ）A ．V 1＜V 2B ．V 2＜V 3C ．2V 1＝3V 2D ．V 1＝V 2+V 3解：根据题意易知S △AA 1E =S 直角梯形B 1C 1ED ，又易知D 到底面AA 1E 的距离等于B 1到底面AA 1E 的距离，而B 1到底面AA 1E 的距离等于A 1到平面B 1C 1ED 的距离，∴V A 1−B 1C 1ED =V D−AA 1E =V D−FA 1E +V D−AEF =V F−A 1DE +V A−DEF ，即V 1＝V 2+V 3，又S △FA 1E =S △AEF ，∴V D−FA 1E =V D−AEF ，∴V F−A 1DE =V A−DEF ，∴V 2＝V 3，∴V 1＝V 2+V 3＝2V 2＝2V 3，故只有D 选项正确．故选：D ．6．已知直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝0和曲线C ：y =√9−x 2，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解：直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝k （x +6）﹣（y +6）＝0，所以直线l 恒过A （﹣6，﹣6），曲线C ：y =√9−x 2表示以原点为圆心，以3为半径的圆的上半部分，当k =23时，直线l ：y =23x −2与圆交于（3，0）， 当k ＝2时，直线l ：y ＝2x +6经过点（﹣3，0），结合图象可知，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为1． 故选：B ．7．在三棱锥P ﹣ABC 中，已知AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．18π B ．9√3π C ．9√2π D ．9π解：取AC 的中点为Q ，连接PQ ，BQ ，∵P A ＝PC ，∵PQ ⊥AC ，又∵平面P AC ⊥平面ABC ，且平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PQ ⊂平面P AC ，∴PQ ⊥平面ABC ，∵AB ＝BC ，∴BQ ⊥AC ，以点Q 为坐标原点，分别以QC →，QB →，QP →为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则A （﹣2，0，0），C （2，0，0），B （0，2，0），设P （0，0，m ）（m ＞0），∴AB →=（2，2，0），PA →=（﹣2，0，﹣m ），设平面P AB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{AB →⋅n →=2x +2y =0PA →⋅n →=−2x −mz =0，取x ＝1，解得{y =−1z =−2m ，∴n →=（1，﹣1，−2m）， 易知平面ABC 的一个法向量为m →=（0，0，1），∴二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4， ∴|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|−2m |√1+1+4m 2=√22，解得m 2＝2， 又∵m ＞0，∴m =√2，即PQ =√2，∵AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，易知三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心在PQ 上，设球心为O ，连接OC ，则OC ＝R ，∴R 2=22+(√2−R)2，解得R =3√22， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为4π(3√22)2=18π． 故选：A ．8．当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a )−a 在[1，+∞）上的零点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解：当a ≥e 时，令f(x)=x(e x +x +ln x a)−a =0，x ∈[1，+∞）， 化为e x +x =e ln a x +ln a x， 令g （x ）＝e x +x ，g ′（x ）＝e x +1＞0在x ∈[1，+∞）上恒成立，∴函数g （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，∴x ＝ln a x， 化为lna ＝x +lnx ，x +lnx ∈[1，+∞），a ≥e ，易知函数y ＝lna 与y ＝x +lnx 的图象在x ∈[1，+∞）上有且只有一个交点，即当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a)−a 在[1，+∞）上的零点的个数为1． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量a →，b →，c →满足c →=λa →+（1﹣λ）b →（0＜λ＜1），且c →=（1，2），则a →，b →的坐标可以为（ ）A ．a →=（1，0），b →=（0，2）B ．a →=（2，0），b →=（0，4）C ．a →=（3，1），b →=（﹣1，3）D ．a →=（2，1），b →=（4，﹣1）解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若a →=（1，0），b →=（0，2），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（1，0）+（1﹣λ）（0，2），无解，不符合题意；对于B ，若a →=（2，0），b →=（0，4），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（2，0）+（1﹣λ）（0，4），当λ=12时等号成立，符合题意； 对于C ，若a →=（3，1），b →=（﹣1，3），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（3，1）+（1﹣λ）（﹣1，3），当λ=12时等号成立，符合题意； 对于D ，若a →=（2，1），b →=（4，﹣1），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（2，1）+（1﹣λ）（4，﹣1），当λ=32时等号成立但不符合0＜λ＜1，不符合题意． 故选：BC ．10．已知函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω＝3B ．φ=π4C ．f （x ）的图象关于点(7π12，0)对称D ．f （x ）在[−7π12，−π4]上单调递增 解：由图象可知，12T =π12−(−π4)=π3，解得T =2π3， ω＞0，则2πω=2π3，解得ω＝3，故A 正确；由图象可知，f(−π4)=3， 则f(−π4)=3sin(−3π4+φ)=3，即−3π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=5π4+2kπ，k ∈Z ， |φ|＜π，则φ=−3π4，故B 错误； f （x ）=3sin(3x −3π4)，则f(7π12)=3sin(3×7π12−3π4)=0，故f（x）的图象关于点(7π12，0)对称，故C正确；x∈[−7π12，−π4]，则t=3x−3π4∈[−5π2，−3π2]，y＝3sin t在[−5π2，−3π2]上单调递增，故D正确．故选：ACD．11．将正数x用科学记数法表示为x＝a×10m，a∈[1，10），m∈Z，则lg x＝m+lga，我们把m，lga分别叫做lgx的首数和尾数，若将lgx的首数记为S（x），尾数记为W（x），则下列说法正确的是（）A．W（x）∈[0，1）B．W（x）（x＞0）是周期函数C．若x，y＞0，则S（xy）≥S（x）+S（y）D．若x＞y＞0，则W(xy)=W(x)−W(y)解：对于A，因为a∈[1，10），所以W（x）＝lga∈[0，1），故A正确；对于B，若W（y）＝W（x），必有y＝x•10k（k∈Z），不符合周期函数的定义，故B错误；对于C，设x＝a×10m，y＝b×10n（a，b∈[1，10），m，n∈Z），则S（x）＝m，S（y）＝n，xy＝ab×10m+n，若1＜ab＜10，则S（xy）＝m+n，若10＜ab＜100，则xy=ab10×10m+n+1，S（xy）＝m+n+1，所以S（xy）≥S（x）+S（y），故C正确；对于D，设x，y同选项C，W（x）＝lga，W（y）＝lgb，xy =ab×10m−n，若1＜ab＜10，则W(xy)=lgab=lga−lgb，若110＜ab＜1则xy=10ab×10m−n−1，所以W(xy)=lg10ab=lga−lgb+1，所以W(xy)≥w（x）﹣W（y），故D错误．故选：AC．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到点G（0，p）的距离为√5，直线l经过点F，且与C交于点P，Q（P位于第一象限），R为抛物线上P，Q之间的一点，S为点P关于x轴的对称点，则下列说法正确的是（）A．p＝2B．若l的斜率为1，则当R到l的距离最大时，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形C．若|PF|＝2|QF|，则l的斜率为3D．若Q，S不重合，则直线QS经过定点解：对于A，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（p2，0），因为焦点F到点G（0，p）的距离为√5，所以p24+p2＝5，解得p＝2，故A正确；对于B，由A知，抛物线方程为y2＝4x，焦点F（1，0），因为l的斜率为1，当R到l的距离最大时，此时过点R与抛物线相切的切线的斜率为1，设切线方程为：y＝x+m，由{y=x+my2=4x，得y2﹣4y﹣4m＝0，Δ＝14+16m＝0，解得m＝﹣1，所以R（1，2），所以RF⊥OF，即，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形，故B正确；对于C，如图：设C的准线为l′，过点P，Q分别作PP′⊥l′，QQ′⊥l′，过点Q作|QT⊥PP′于T，因为|PF|＝2|QF|，所以|PP′|＝2|QQ′|＝2|TP′|，所以|PT||PQ|=13，所以tan∠PFx＝tan∠QPT＝2√2，即直线l的斜率为2√2，故C错误；对于D，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S（x1，﹣y1），设直线l的方程为x＝my+1，由{x=my+1y2=4x，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，直线QS的方程为y+y1=y2+y1x2−x1（x﹣x1）=y1+y2y224−y124（x−y124）=4y2−y1（x−y124），整理得y=4y2−y1（x+1），所以直线QS经过定点（﹣1，0），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的斜率为2，且与曲线y＝2e x相切，则l的方程为y＝2x+2．解：因为y＝2e x，所以y′＝2e x，令y ′＝2e x ＝2，可得x ＝0，x ＝0时，y ＝2e 0＝2，即切点为（0，2），故直线l 的方程为：y ﹣2＝2×（x ﹣0），即y ＝2x +2．故答案为：y ＝2x +2．14．已知随机变量X ～N （μ，σ2），若P （X ≤﹣2）≥P （X ≥3），则μ的取值范围是 （﹣∞，12] ． 解：根据题意，随机变量X ～N （μ，σ2），若P （X ≤﹣2）≥P （X ≥3），则|μ﹣（﹣2）|≤|μ﹣3|，解可得：μ≤12，即μ的范围为（﹣∞，12]． 故答案为：（﹣∞，12]． 15．已知α，β∈(0，π2)，3sinβ−cosα=√3，sin α+3cos β＝2，则α﹣β＝ −π6． 解：已知3sinβ−cosα=√3，①sin α+3cos β＝2，②由①2+②2可得：10+6（sin αcos β﹣cos αsin β）＝7，则sin(α−β)=−12， 又α，β∈(0，π2)，则α﹣β∈(−π2，π2)，则α﹣β=−π6． 故答案为：−π6． 16．已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在C 上，且∠F 1PF 2=2π3，则|PO |＝ √2 ．解：根据题意可得a =√5，b ＝1，c ＝2，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a =2√5，又∠F 1PF 2=2π3， ∴根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−4c 22mn ， ∴−12=m 2+n 2−162mn，∴m 2+n 2+mn ＝16， ∴（m +n ）2﹣mn ＝16，∴20﹣mn ＝16，∴mn ＝4，又PF 1→=PO →+OF 1→，PF 2→=PO →+OF 2→=PO →−OF 1→，∴PF 1→⋅PF 2→=PO →2−OF 2→2，∴mncos 2π3=|PO→|2−|OF1→|2，∴4×(−12)=|PO|2−4，∴|PO|2＝2，∴|PO|=√2．故答案为：√2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b cos A﹣2c＝0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=72，点D在边BC上，AD⊥BC，且AD=2√3，求a．解：（Ⅰ）因为a+2b cos A﹣2c＝0，由正弦定理可得sin A+2sin B cos A＝2sin C，在三角形中，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，可得sin A＝2sin A cos B，又sin A≠0，所以cos B=1 2，而B∈（0，π），所以B=π3；（Ⅱ）因为AD⊥BC，且AD=2√3，B=π3，在△ABD中，可得c＝AB=ADsinB=2√332=4，在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2a cos B，即（72）2＝a2+42﹣2a•4•12，整理可得4a2﹣16a+15＝0，解得a=32或52．经验证，符合锐角三角形的只有5 2．18．（12分）记正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1＝1，b4＝S3＝13，T3＝27．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设集合A＝{n|8＜T n＜56}，B＝{a i+a j|i，j∈A}，求B中元素的个数．解：（Ⅰ）正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，设等比数列{a n}的公比为q，等差数列{b n}的公差为d，则q＞0，又a1＝1，S3＝13，则1+q+q2＝13，即q2+q﹣12＝0，又q＞0，则q＝3，则a n=3n−1，又b4＝13，T3＝27，则{b1+3d=133b1+3d=27，即{b1=7 d=2，即b n＝7+2（n﹣1）＝2n+5．（Ⅱ）由（1）可得T n=n(7+2n+5)2=n(n+6)，又A＝{n|8＜T n＜56}，则A＝{n|8＜n（n+6）＜56}，则A＝{2，3，4，5}，又B＝{a i+a j|i，j∈A}，则B＝{a2+a2，a2+a3，a2+a4，a2+a5，a3+a3，a3+a4，a3+a5，a4+a4，a4+a5，a5+a5}，则B中元素的个数为10．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面ACB1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）若∠BAD=π3，求二面角C﹣AB1﹣E的正弦值．解：（Ⅰ）证明：在直四棱柱中，BB 1⊥平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，因为四棱柱的各棱长均相等，故四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为BB 1∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1，因为AC ⊂平面ACB 1，所以平面ACB 1⊥平面BDD 1B 1；（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，−√3，0)，C(0，√3，0)，B 1（1，0，2），E(0，√3，1)，则AC →=(0，2√3，0)，AB 1→=(1，√3，2)，AE →=(0，2√3，1)，设平面AB 1C 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=2√3y =0m →⋅AB 1→=x +√3y +2z =0，解得y ＝0，令x ＝2，得z ＝﹣1，所以m →=（2，0，﹣1），设平面AB 1E 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅AB 1→=a +√3b +2c =0n →⋅AE →=2√3b +c =0，令b ＝1，得a =3√3，c =−2√3，所以n →=(3√3，1，−2√3)，因为cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=8√3√5×2√10=2√65， 所以二面角C ﹣AB 1﹣E 的正弦值为√1−(265)2=15． 20．（12分）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A 类题和B 类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母A ，另外2个标有字母B ，小张从中任取3个小球，若取出的A 球比B 球多，则答A 类题，否则答B 类题．（Ⅰ）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及E（X）．（Ⅱ）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率．解：（Ⅰ）根据题意，X可取的值为1、2、3，P（X＝1）=C31C22C53=310，P（X＝2）=C32C21C53=35，P（X＝3）=C33C20C53=110，故X的分布列为：E（X）＝1×310+2×35+3×110=95；（Ⅱ）（i）记事件A＝“小张回答A类题”，B＝“小张回答B类题”，C＝“小张回答论述题”，则P（A）＝P（X＝2）+P（X＝3）=710，P（B）＝1﹣P（A）=310，P（C|A）=45，P（C|B）=35，则P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=45×710+35×310=3750，（ii）P（AC）＝P（A）P（C|A）=45×710=2850，故P（A|C）=P(AC)P(C)=2837．21．（12分）已知函数f(x)=e x−aln xa．（Ⅰ）若a＝e，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞）和a∈（0，+∞），不等式f（x）≥ka恒成立，求k的最大值．解：（I）函数f(x)=e x−aln x a ，若a＝e，则f（x）＝e x﹣elnx+e，x∈（0，+∞），f′（x）＝e x−e x ，可得函数f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，f′（1）＝0，而x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴函数f（x）在x∈（0，1）时单调递减，在x∈（1，+∞）时单调递增．∴x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝2e．（Ⅱ）函数f(x)=e x−aln xa，x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），则f′（x）＝e x−ax在x∈（0，+∞）上单调递增，又x →0+时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞．∴存在唯一x 0，使得f ′（x 0）＝0，即e x 0=a x 0，可得x 0＝lna ﹣lnx 0， ∴x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0；x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＞0．∴函数f （x ）在x ∈（0，x 0）时单调递减，在x ∈（x 0，+∞）时单调递增．∴x ＝x 0时函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）=e x 0−alnx 0+alna =a x 0−a （lna ﹣x 0）+alna =a x 0+ax 0≥a •2√1x 0⋅x 0=2a ， 当且仅当x 0＝1时取等号，因此函数f （x ）的最小值为2a ，由不等式f （x ）≥ka 恒成立，∴ka ≤2a ，即k ≤2，∴k 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线C ：4x 2﹣y 2＝λ（λ≠0）经过点A(√2，2)，直线y ＝t （t ≠±2）与C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴相交于点P ，Q ．（Ⅰ）证明：以线段PQ 为直径的圆恒过点R （2，0）；（Ⅱ）若|MN|＜2√2，且|AM||AN|=|AQ||AP|，求t ． （Ⅰ）证明：将点A 的坐标代入双曲线的方程可得：4×（√2）2﹣22＝λ，可得λ＝4，所以双曲线的方程为：x 2−y 24=1， 设M （m ，t ），可得N （﹣m ，t ），将y ＝t 代入双曲线的方程m 2−t 24=1，可得t 2＝4m 2﹣4， 直线AM 的方程为y ﹣2=2−t √2−m （x −√2），令x ＝0，可得y P =√2t−2m √2−m ，即P （0，√2t−2m √2−m）， 将m 换成﹣m ，可得Q （0，√2t+2m √2+m）， 所以RP →•RQ →=（﹣2，√2t−2m √2−m ）•（﹣2，√2t+2m √2+m ）＝（﹣2）•（﹣2）+（√2t−2m √2−m ）•（√2t+2m √2+m） ＝4+2t 2−4m 22−m 2， 因为t 2＝4m 2﹣4，所以RP →•RQ →=0，可证得以线段PQ 为直径的圆恒过点R （2，0）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|MN |=√4+t 2＜2√2，M （m ，t ），N （﹣m ，t ），|2m |＜2√2，即|m |＜√2， 因为|AM||AN|=|AQ||AP|，可得|AM |•|AP |＝|AN |•|AC |，记AM 的斜率为k =2−t √2−m， 所以|AM |=√1+k 2√(√2+m)2−4√2m =√1+k 2•（√2−m ）， |AP |=√1+k 2⋅√(√2−0)2−4√2×0=√2•√1+k 2， 所以|AM |•|AP |=√1+k 2•（√2−m ）•√2•√1+k 2=（1+k 2）•√2（√2−m ）＝[1+(2−t)2(√2−m)2]•√2（√2−m ）=√2•√2−m)22√2−m， 将m 换成﹣m ，可得 |AN|⋅|AQ|=√2(√2+m)2+(2−t)2√2+m ， 所以√2−m)22√2−m =√2+m)22√2+m ． 化简可得2﹣m 2＝（2﹣t ）2，又m 2=1+t 24， 所以5t 2﹣16t +12＝0，解得t =65或t ＝2（舍去）． 即t =65．。
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高三数学第一学期期末试题2cos 2sin2sin sin β-αβ+α=β+α 2sin2cos 2sin sin β-αβ+α=β-α 2cos 2cos 2cos cos β-αβ+α=β+α 2sin2sin 2cos cos β-αβ+α-=β-α一、选择题：（本大题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．在等差数列}a {n 中，90S 15=，则8a 等于 A ．3 B ．4 C ．6 D ．122．如果)x (f )x (f -=π+且)x (f )x (f -=，则f(x)可以是 A ．sin2x B ．cosx C ．sin|x| D ．|sinx|3．题设：平面α、β、γ直线l 、m 满足：α⊥γ，γI α=m ，γI β=l ，l ⊥m ，结论：①β⊥γ；②m ⊥β；③α⊥β，那么由题设可以推出的正确结论是 A ．①和② B ．③ C ．②和③ D ．①和③4．从1、2、3…，100这100个数中任取两个数相乘，如果乘积是3的倍数，则不同的取法有A ．167133C CB ．233167133C C C + C ．233CD ．1C 2C 267100--5．若复数z 满足|z+2i|+|z-2i|=4，记|z+1+i|的最大值和最小值分别为M ，m 则mM等于（ ） A ．2 B ．5 C ．10 D ．210 6．过抛物线x 4y 2=的焦点F 做直线与抛物线交于P ，Q 两点，当此直线绕其焦点F 施转时，弦PQ 中点的轨迹方程为（ ）A ．)1x (2y 2-=B ．1x 2y 2-=C ．1x y 2-=D ．21y y 2-= 7．设复数i 31z 1+=，i 3z 2+=，则)z z arg(21等于（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．将长为2πcm ，宽为πcm 的长方形纸片围成一个容器（不考虑底面及粘接处），立放于桌面上，下面四个方案中，容积最大的是A ．直三棱柱B ．直四棱柱C ．高为π的圆柱D ．高为2π的圆柱9．椭圆1m )6y (4)3x (222=++-的一条准线为x=7，则随圆的离心率等于A ．21 B ．22 C ．23 D ．4110．在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1和AC 的公垂线，则直线EF 与1BD 的关系是A ．异面B ．平行C ．相交且垂直D ．相交但不垂直 11．（理）在极坐标系中，点)611,2(P π到直线1)6sin(=π-θρ的距离等于A ．2B ．1C ．3D ．31+（文）自点（-1，4）作圆012y 6x 4y x 22==--+的切线，则切线长为 A ．5 B ．5 C ．10 D ．312．某工厂8年来某种产品总产量c 与时间t （年）的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越慢；②前三年中，产量增长的速度越来越快；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（ ）A ．②与③B ．②与④C ．①与③D ．①与④二、填空题：（本大题共四道小题每小题4分共16分）13．已知曲线C 与曲线02y 2x 2==+关于直线x-y=0对称，则曲线C 的焦点坐标为_________。
14．若n )x2x (+展开式中的第5项为常数项，则n=___________。
15．现有三个电阻，串联后的电阻为R ，并联后的电阻为r ，令r t R ⋅=，则t 的取值范围是________________。
16．____________________n21n 2n 85n 43n 21n =⋅-+⋯+++三、解答题：（本大题共六道小题，17—21小题每题12分，22题14分共74分） 17．已知复数z 满足4z 4z -+为纯虚数 （1）求|z|； （2）若3)4z arg(π=+，求z 。
18．某厂生产一种产品，使用的两种原料的价格随月份发生波动，生产每一件产品所需这两种原料的资金1P （元），2P （元）与月份t 的关系式为：)3t 6sin(30200P 1π+π+=，)N t ,12t (t6sin 30300P 2∈≤π-=，预计每件产品的其它费用为100元，且保持每件产品的利润总为50元。
（1）求每月产品的出厂单价3P 与月份t 的关系式，并求出3P 的最大最小值。
（2）若产品出厂后一个月才上市出售，且商店利润为10%，求该产品的市场价格4P 与月份t 的关系式。
19．已知数列}a {n 中，21a 1=，)N n (a n S n 2n ∈⋅=（1）求432a a a 、、的值。
（2）推测数列}a {n 的通项公式，并用数学归纳法证明所得的结论。
（3）求n n S lim ∞→20．（文科做①、②，理科做①、②、③）设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面的圆心，底面半径为10cm ，C 是SB 上一点。
①求证：AC 与平面SOB 不垂直；②若∠AOB=60°，C 是SB 的中点，AC 与底面所成的角为45°，求O 到平面SAB 的距离； ③在②的条件下，求二面角O —SB —A 的大小。
21．已知椭圆)0b a (1bya x 222>>=+ （m>0，n>0）有共同的焦点21F F 、，设P 为椭圆和双曲线的交点。
①求|PF ||PF |21⋅的值； ②当b=n 时，求证：21PF PF ⊥。
22．设0<a<1，函数)1x (log 1)x (g ,3x 3x log )x (f a a-+=+-=，设f(x)和g(x)的定义域的公共部分为D ，求当D ]n ,m [⊂，f(x)在)n m ](n ,m [<上的值域是[g(n)，g(m)]时a 的取值范围高三数学参考答案 一、选择题二、填空题： 13． )0,23(- 14． 12 15． t ≥9 16．⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n 23n 23n 1三、解答题： 17．（1）设)0m ,R m (mi 4z 4z ≠∈=-+ 解得1mi )1mi (4z -+=，……………………3分 所以41m 1m 41mi 1mi 4|z |22=++=-+=………………………………………6分（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π=+3sin i 3cos r 4z ，则)0r (ri 234r 21z >+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=……………………9分 因为|z|=4，所以16r 234r 2122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛- 即r=4 所以i 322z +-=…………………………………………………………12分 18．①依题意⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π+=+++=6t 6cos 30650t 6sin 3t 6sin 3065050100P P P 213)N t 12t (6t 6cos 30650P 3∈≤⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π+=∴且当t=11时，3P 有最大值680元，当t=5时，3P 有最小值620元………………6分②依题意知t 6cos 337156)1t (6cos 30650%)101(P 4π+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+-π++=)N t 12t (t 6cos 33715P 4∈≤π+=∴且………………………………12分19．22a 4S = 即61a a 4a 21222=∴=+33a 9S = 即121a a 9a 32333=∴=+44a 16S = 即201a a 16a 43444=∴=+………………………………3分 （2）猜想)1n (n 1a n +=………………………………………………5分证明：①当n=1时，21121a 1⨯==结论成立 ②假设n=k 时结论成立，即)1k (k 1a k +=则1k k1k 11a L a a a S k 321k +=+-=++++= 由()1k 21k a 1k S +++=即()1k 21k k a 1k a S +++=+，得)2k )(1k (1k2k S a 2k 1k ++=+=+说明当n=k+1时结论也成立。
由①②可知，对于一切N n ∈都有)1n (n 1a n +=………………………………10分（3）1n n 1n 11)1n (n 1L 4.313.212.11S n +=+-=+++++=1S lim n n =∴∞→ ………………………………12分（20）（1）证明：假如AC ⊥平面SBO QSO ⊥底面AOB ， ∴平面SBO ⊥底面AOB ，交线为BO ，做AD ⊥BO 于D ，则AD ⊥平面SBO 又AC ⊥平面SBO ∴AC ∥AD ，这与AD ∩AC=A 矛盾，因而假使不成立，即AC 与平面SBO 不垂直………………………………4分 （2）作CK ⊥OB 于K ，连AK 、ACQ 平面SBO ⊥底面AOB∴CK ⊥底面AOB ，则∠CAK 是AC 与底面AOB 所成的角∠CAK=45°。
又C 是SB 的中点，CK ∥SO ∴BO 21BK ,SO 21CK ==， 在Rt △ACK 中3560sin AO KA CK =︒==，∴310SO =设G 为AB 中点，连接OG 、SG 则AB ⊥GO ，AB ⊥SG ，∴AB ⊥平面SGO ，平面SAB ⊥平面SGO ，过O 作OM ⊥SG 于M ，则OM ⊥平面SAB在Rt △SGO 中，点152SGGOSO OM =⋅=∴点到平面的距离为152………………………………9分 ③过O 作ON ⊥SB 于N ，连接MN ， 则∠ONM 为二面角O-SB-A 的平面角，在Rt △SBO 中，35SBOBOS ON =⋅=， 在Rt △ONM 中，552ON OM ONM sin ==∠ ∴二面角O-SB-A 为552arcsin ………………………………12分21．解：（1）设点P(x ，y)为曲线交点2211r |PF |r |PF |== θ=∠21PF F 则a 2r r 21=+ ①m 2r r 21=- ②………………………………………………………………3分得2221m a r r -=即2221m a PF PF -=⋅……………………………………………………6分 （2）方法1：由得：222221m 2a 2r r +=+，…………………………8分 而n b n m b Qa 2222=+=-222m n 2a +=∴…………………………………………………………10分222222222221c 4)n m (4m 2)m n 2(2m 2a 2r r =+=++=+=+∴21PF PF ⊥∴…………………………………………12分方法2：用1k k 21PF PF -=⋅也可证明；方法3：在21F PF ∆中，θ-+=cos r r 2r r )c 2(2122212 2cos r r 4)r r (c 42212212θ-+= 21221222r r b r r c a 2cos=-=θ 2sinr r 4)r r (c 42212212θ--= 21221222r r n r r c m 2sin =-=θ …………………………………………………………………………………………10分222b n 2tg =θ∴当n=b 时 ︒=θ=θ9012tg即 21PF PF ⊥………………………………………………………………12分22．解：可以求得f(x)的定义域为{}3x 3x |x >-<或，g(x)的定义域为{}1x |x > ∴D={}3x |x >…………………………………………3分又)3x 61(log 3x 3x log )x (f a a +-=+-- 令3x 61t +-=，则t 在D 上是增函数 ∴0<a<1是，f(x)在D 上是减函数，g(x)在D 上也是减函数。