牛顿迭代法、二分法,定点法的区别与联系
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牛顿迭代法、二分法,定点法的区别与联系
牛顿迭代法
牛顿迭代法,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要
Newton法是求解方程f(x)=0的最著名的和最有效的数值方法之一,其基本思想
点处可以是将方程转化为线性方程来求解,设f(x)连续可微,则将函数f(x)在x
k
进行taylor展开,即
如果,取taylor展开式的线性部分近似代替f(x),得到f(x)=0的近
,则得到
似方程,将此方程的根记作x
k+1
这就是Newton迭代公式
迭代函数为
不动点迭代
将方程f(x)=0改写成等价方程
则方程的根又称为函数的不动点.
,用迭代格式
为了求的不动点,取一个初始近似值x
,k=1,2
},这种迭代法我们称之为不动点迭代,或简单迭代又称为迭产生序列{x
k
代函数.假设一个迭代法产生的序列{x
},k=0,1,2,,收敛,,X*是方
k
程f(x)=0的一个解.
区间对分法
区间对分法是求解方程f(x)=0的一种直观而又简单的迭代法,它是建立在介值定理的理论基础之上的,第一个取值点取在含优区间的1/2处,然后逐渐逼近最优值的单因素试验设计方法。
联系
都是用来近似求方程根的方法,利用数列收敛于方程的根。在应用方面,区间对分法可用来求根的初始近似值,以供其它对初始值要求严格的迭代法使用,牛顿法和不定点迭代法都有局限性,收敛有方向性,如果初始值选的不恰当,则方程不收敛,也就不能得到方程的根。另外,方程f(x)=0和x=是等价的,于是 Newton迭代公式也属于不动点迭代。
区别
对分法每次50%的区间舍弃,试验选值跨跃的幅度过大,会使对分法漏掉了最佳值。从此误差估计式看出,近似解的误差下降速度较慢.但此方法比较简单,且安全可靠.在实际应用中,.需要注意的是此方法只能求单实根,而不能求复根或偶数重根.
在牛顿迭代和不动点迭代中,对不动点方程x=,它导出的迭代过程有可能发散,也可能收敛得非常缓慢,注意到x=x和x=都是不动点方程,它们的加权平均h(x)=也是不动点方程,而h(x) 和有完全相同的不动点。适当选取的值,可以使发散的迭代过程变得收敛,使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。