人教A版选修2-1高中数学《第二章圆锥曲线与方程复习课》ppt课件

因为原点O到直线FA的距离为 2 b ae 1 e2 , 所以
2 2 2 2 解得 e . 1 e ga ae 1 e . 2 2
(2)设椭圆C的左焦点 F( 2 a,0) 关于直线l:2x+y=0的对称点为
y0 1 , 2 2 x0 a P(x0,y0)，则有 2 2 x 0 2 a y0 2g 0, 2 2
2
解得 x 3 2 a, y 2 2 a. 0 0
10 5
因为P在圆x2+y2=4上，所以 所以a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
(
3 2 2 2 2 2 a) ( a) 4. 10 5
x 2 y2 6 8 1, 点P的坐标为 ( , ). 故椭圆C的方程为 8 4 5 5
(1)求椭圆C的离心率e. (2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭 圆C的方程及点P的坐标.
【自主解答】(1)由点F(-ae,0)，点A(0，b)，及 b 1 e 2 a， 得直线FA的方程为 x
ae y 1 e2 a
2
1, 即
1 e2 x ey ae 1 e 2 0.
1 2
2
2
【方法技巧】“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定
义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问
题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点
的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去
阶段复习课 第 二 章
【答案速填】
x 2 y2 1(a＞b＞0) a 2 b2 y2 x 2 ② 2 2 1(a＞b＞0) a b
① ③(〒a,0)(0,〒b)或(0,〒a),(〒b,0) ④2a ⑦2c ⑤2b ⑧ ⑥(-c,0),(c,0)
c a
x 2 y2 ⑨ 2 2 1(a, b＞0) a b

4 2 5 3 0
2

2

4 2 5 3 0

2
2
5
24

2

5
2 4

2
8,
即2a=8,a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9.
2 2 x y 所以双曲线的标准方程为 1. 16 9
主题三
圆锥曲线的性质及应用
2 2 x y 【典例3】已知椭圆C： 1 (a＞b＞0)的左焦点F及点 a 2 b2 A(0,b)，原点O到直线FA的距离为 2 b. 2
6.抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论. (1)y2=2px(p>0)中,|AB|=x1+x2+p. (2)y2=-2px(p>0)中,|AB|=-x1-x2+p. (3)x2=2py(p>0)中,|AB|=y1+y2+p. (4)x2=-2py(p>0)中,|AB|=-y1-y2+p.
【自主解答】(1)|PF1|+|PF2|=2a= 2 2, 所以 a 2,e c 2 , 所以 c 2 2 1,
a 2 2
所以b2=a2-c2=2-1=1,
x2 所以椭圆的标准方程为 y 2 1. 2



所以b2=a2-c2=20,
2 2 x y 所以所求椭圆的方程为 1. 25 20
【方法技巧】处理圆锥曲线问题的策略
(1)待定系数法求圆锥曲线的步骤:
①定位置:先确定圆锥曲线焦点的位置,从而确定方程的类型;
②设方程:根据方程的类型,设出方程;
③求参数:利用已知条件,求出a,b或p的值;
【方法技巧】 1.圆锥曲线的主要性质 圆锥曲线的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴 (椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线 (抛物线).
2.“三法”应对离心率 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲 线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2) 以及 e c ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这
x 2 y2 1, 9 16
由双曲线的定义知|m-n|=2a=6,又已知m·n=64,
在△PF1F2中，由余弦定理知
PF1 PF2 F1F2 cos∠F1PF2= 2 | PF1 |g | PF2 |
2 2 2
=
m 2 n 2 2c
2
2mgn 36 2 64 4 25 1 = . 2 64 2
为|AF1|+|AF2|=4，|AF1|2+|AF2|2= 2 3 12，所以|AF1|·|AF2|= 又||AF1|-|AF2||=2a， 所以(|AF1|-|AF2|)2=4a2，所以a2=2, a 2， 所以 e c 3 6 .
a 2 2


2
主题四
直线与圆锥曲线的位置关系
④得方程:代入所设方程,从而得出所求方程.
(2)焦点位置不确定的曲线方程的设法: ①椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n); ②双曲线方程可设为mx2+ny2=1(m·n<0); ③抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).
(3)共焦点的曲线方程的设法:
2 2 2 2 x y x y ①与椭圆 1 共焦点的椭圆方程设为 2 2 1 ； 2 2 a m b m a b 2 2 2 2 x y x y ②与双曲线 1 共焦点的双曲线方程设为 2 1. 2 2 2 a b a k b k
a
是基本且常用的方法. (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离 心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平 面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之 间的关系.通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形 象、直观.
为焦点且∠F1PF2=α ，则△PF1F2为焦点三角形. (1)焦点三角形的面积 S b 2 tan .
2
(2)焦点三角形的周长L=2a+2c.
3.双曲线渐近线的设法技巧 (1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法 是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程.如
2 2 2 2 x y x y 双曲线 2 2 1 (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 0 (a＞ 2 2 a b a b 2 2 b y x 0,b＞0),即 y x; 双曲线 2 2 1(a＞0,b＞0)的渐近线方 a a b 2 2 程为 y x 0 (a＞0,b＞0)，即 y a x. b a 2 b2 (2)如果双曲线的渐近线为 x y 0 时，它的双曲线方程可设 a b 2 2 为 x y (λ ≠0). a 2 b2
4.共轭双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距.
2 2 2 2 x y x y (3)与 2 2 1 具有相同渐近线的双曲线系方程为 2 2 a b a b
k(k 0)
5.抛物线方程的设法 对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为 y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).
线PF1来自百度文库点M，求点M的轨迹方程.
x 2, 2b 【解析】(1)由 解得 由双曲线及其渐近线的对 y ， b a y x, a 称性知四边形ABCD为矩形，故四边形ABCD的面积为 4 4b 16 3, a
所以 b 3a，结合c=2且c2=a2+b2得：a=1, b 3，所以双曲线C
解决.
2 2 x y 【补偿训练】(2014·长沙高二检测)过双曲线C: 2 2 1 a b
(a＞0,b＞0)的左焦点F1(-2,0)，右焦点F2(2,0)分别作x轴的
垂线，交双曲线的两渐近线于A，B，C，D四点，且四边形ABCD
的面积为 16 3.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射
x 【补偿训练】(2013·浙江高考)如图，F1,F2是椭圆C1： y2 1 4
2
与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公
共点.若四边形AF1BF2是矩形，则C2的离心率是(
)
A. 2
B. 3
C.
3 2
D.
6 2
【解析】选D.由椭圆C1与双曲线C2有公共焦点可知 c 3，因
主题一
圆锥曲线的定义及应用
【典例1】(2013·合肥高二检测)双曲线16x2-9y2=144的左、 右两焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=64,求 △PF1F2的面积.
【自主解答】双曲线方程16x2-9y2=144化简为 即a2=9,b2=16,所以c2=25, 解得a=3,c=5,所以F1(-5,0),F2(5,0). 设|PF1|=m,|PF2|=n,
m n
2
2mgn 4c 2
2mgn
所以∠F1PF2=60°,
所以 SVPF F 1 | PF1 |g| PF2 |gsinF1PF2
1 2
= 1 mgn gsin 60 16 3,
2
2
所以△PF1F2的面积为 16 3.
【延伸探究】本题条件“|PF1|·|PF2|=64”改为PF1⊥PF2，则 △PF1F2的面积是多少？ 【解析】双曲线16x2-9y2=144,化简为 即a2=9,b2=16,所以c2=25, 即a=3,c=5,所以|F1F2|=10. 记|PF1|=m,|PF2|=n.
主题二
圆锥曲线的方程
2 2 x y 5 【典例2】求与椭圆 1 有相同的焦点，且离心率为 9 4 5
的椭圆的标准方程.
【自主解答】因为 c 9 4 5,
所以所求椭圆的焦点为 5， 0 ， 5， 0，
2 2 x y 设所求椭圆的方程为 2 2 1 (a＞b＞0), a b 因为 e c 5 ,c 5, 所以a=5, a 5
b ⑩ y x a
y2=〒2px(p＞0) x2=〒2py(p＞0)
a y x b
p ( ,0) 2
y
p 2
【核心解读】 1.椭圆中的特征三角形 a2=c2+b2,a>b>0,a最大,其中a,b,c构成 如图的直角三角形,我们把它称作“特 征三角形”.
2.椭圆的焦点三角形
2 2 x y 设P为椭圆 2 2 1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1,F2 a b
2 2 x y 【补偿训练】求以椭圆 1 的长轴端点为焦点，且经过 25 9
点 P(4 2， 3) 的双曲线的标准方程.
2 2 x y 【解析】椭圆 1 长轴的顶点为A1(-5，0)，A2(5，0)， 25 9
则双曲线的焦点为F1(-5，0)，F2(5，0).由双曲线的定义知， |PF1|-|PF2|= =
2 2 x y 【典例4】(2014·威海高二检测)已知椭圆 2 2 1(a＞b＞0) a b 上的点P到左右两焦点F1,F2的距离之和为 2 2， 离心率为 2 . 2
(1)求椭圆的方程.
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点 M(0, 3 )
7
满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值.
2 y 的标准方程为 x 1. 3 2
(2)P是双曲线C上一动点，故||PF1|-|PF2||=2,又M点在射线PF1 上，且|PM|=|PF2|，故|F1M|=||PF1|-|PM||=||PF1|-|PF2||=2, 所以点M的轨迹是以F1为圆心，半径为2的圆，其轨迹方程为 (x+2)2+y2=4.
x 2 y2 1, 9 16
因为PF1⊥PF2，所以有m2+n2=(2c)2=100, 由双曲线的定义得|m-n|=2a=6, 所以(m-n)2=36,即m2+n2-2m·n=36, 因此有m·n=32, 所以 SVPF F 1 | PF1 |g| PF2 | 1 mgn 16.