(完整版)平行四边形经典题型(培优提高)
1.平行四边形的性质:
①平行四边形两组对边相等。
②平行四边形两组对角相等。
③平行四边形对角线互分平分。
2.平行四边形判定:
定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
4.逆定理1:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是
三角形的中位线。
逆定理2:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
第四节:中心对称图形
课堂练习
1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()
A.正三角形B.平行四边形C.等腰直角三角形D.正六边形
2.下列图形中,不是中心对称图形的是()
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是().
4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形,请你再添加一个同样大小的小正方形,
使所得的新图形分别为下列A,B,C题要求的图形,请画出示意图.
(1)是中心对称图形,但不是轴对称图形;
(2)是轴对称图形,但不是中心对称图形;
(3)既是中心对称图形,又是轴对称图形.
第五节:平行四边形的判定
例题讲解
例1:判断下列说法的正误,如果错误请画出反例图
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。( )
②一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
③一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.( )
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.( )
⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( )
⑥ 相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。 ( ) ⑦ 对角互补的四边形是平行四边形 ( ) ⑧ 一条对角线分四边形为两个全等三角形,这个四边形是平行四边形 ( ) ⑨ 两条对角线相等的四边形是平行四边形 ( ) 例2:如图所示,平行四边形ABCD 中,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,连结AN 、DN 、BM 、CM ,且AN 、BM 交于点P ,CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗?为什么?
变式1:□ABCD 中,E 在AB 上,F 在CD 上,且AE=CF,求证:FM=NE ME=NF
N M
E F
C
D B A
课堂练习:
1. 点A ,B ,C ,D 在同一平面内,从四个条件中(1)AB=CD ,(2)AB ∥CD ,(3)BC=AD ,
(4)BC ∥AD 中任选两个,使四边形ABCD 是平行四边形,这样的选法有( )
A .3种
B .4种
C .5种
D .6种
2. 如图所示,□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ,EF 过点O 交AD 于E ,交BC 于F ,G
是OA 的中点,H 是OC 的中点,四边形EGFH 是平行四
边形,说明理由.
3.如图:在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别A、
C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,__秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5
个单位得到△DEF,AC与DE相交于G点,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____.
①四边形ABED是平行四边形;②△AGD≌△CGE;
③△ADE为等腰三角形;④AC平分∠EAD.
5.在平面直角坐标系XOY中,有A(3,2),B (﹣1,﹣4 ),P是X轴上的一点,Q
是Y轴上的一点,若以点A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形,则Q点的坐标是_________.
6.如图1,图2,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC边上的两个动点(与点A、
B、C不重合),始终保持BD=CE.
(1)当点D、E运动到如图1所示的位置时,求证:CD=AE.
(2)把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF
的位置(如图2),分别连接DF、EF.
①找出图中所有的等边三角形(△ABC除外),并对其中一个给予证明;
②试判断四边形CDFE的形状,并说明理由.
7.如图,以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ,等边△BCR,
求证:四边形PAQR为平行四边形。
A
B C
P R
Q
8.等边三角形ABC的边长为a,P为△ABC内一点,且PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,
那么,PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值是多少?请你说出这个定值的来历.
9.如图所示,M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点,且MN∥BD,则?AND
的面积?ABM的面积怎样?请说明理由.
10.如图,某村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃
树,这村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问这村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由.
D
11.如图,四边形ABCD是一块某地示意图,EFG是流经这块菜地的水渠,水渠东边的地
第9题
N
B
C
A
D
M
属张家承包,西边的地属李家承包,现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直,并要保持张、李两家的承包土地面积不变,请你设计一个挖渠的方案,就在给出的图形上画出设计示意图,并说明理由.
第六节:三角形的中位线
1.如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中
点,连接DE,则△BDE的周长是()
A.7+B.10 C.4+2D.12
2.如图,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的
中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的是()
A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关
3.如图DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AB于点G,则AG:
GD等于()
A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3
4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,若∠DAC=20°,
∠ACB=66°,则∠FEG等于()
A.47°B.46°C.11.5°D.23°
5.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,
BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是()
A.28 B.32 C.18 D.25
6.如图,在△ABC中,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,AH⊥BC于点H,FD=8cm,
则HE的值为()
A.20cm B.16cm C.12cm D.8cm
7.已知:如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的
中点,且S△ABC=4cm2,则阴影部分的面积为_________cm2.
8. 如下图,已知BE 、CD 分别是△ABC 的角平分线,并且AE ⊥BE 于E 点,AD ⊥DC 于
D 点.求证:(1)D
E ∥BC ;(2).
9. 如图,已知四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,BD AC =,M 、N 分
别是AB 、CD 的中点,M 、N 分别交BD 、AC 于E 、F 。求证:OEF ?是等腰三角形。
10. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD=BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F .
求证:∠DEN=∠F .
A
D
C B
M
N O
F
E
课下练习
1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.平行四边形B.正八边形C.等腰梯形D.等边三角形
2.下面的说法中,正确的是()
A.对角分别相等的四边形是平行四边形B.两边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行的四边形是平行四边形D.一组对边相等的四边形是平行四边形3.根据下列条件,能作出平行四边形的是()
A.两组对边的长分别是3和5
B.相邻两边的长分别是3和5,且一条对角线长为9
C.一边的长为7,两条对角线的长分别为6和8
D.一边的长为7,两条对角线的长分别为6和5
4.如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN:
S四边形ANME等于()
A.1:5 B.1:4 C.2:5 D.2:7
5.如图,已知矩形ABCD中,R、P分别是DC、BC上的点,E、F分别是AP、RP的中
点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是()
A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定
6.如图:A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1
的中点…这样延续下去.已知△ABC的周长是1,△A1B1C1的周长是L1,△ABC的周长是L2…A n B n C n的周长是L n,则L n=_________.
7.如图,在△ABC中,AB=AC.M、N分别是AB、AC的中点,D、E为BC上的点,
连接DN、EM.若AB=13cm,BC=10cm,DE=5cm,则图中阴影部分的面积为cm2.
8.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发,沿AD、
BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止、已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm,
(1)当x为何值时,点P、N重合;
(2)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
9.如图,已知AD为△ABC的角平分线,AB<AC,在AC上截取CE=AB,M、N分别
为BC、AE的中点.求证:MN∥AD.
10.(1)如图所示,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,
垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC分别交于点M、N,那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么?
即:FG=__(AB+BC+AC)(直接写出结果即可)
(2)如图,若BD,CE分别是△ABC的内角平分线;其他条件不变,线段FG与△ABC
三边之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,其他条件不变,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?直接写出你的猜想即可.不需要证明.答:线段FG与△ABC三边之间数量关系是_________.