全微分的推导

例1
解
计算函数 z x 2 y y 2 的全微分.
z 因为 2 xy , x
z x 2 2 y, y
所以 dz 2 xydx ( x 2 2 y )dy .
例2 解
计算函数 z e xy 在点 ( 2, 1) 处的全微分.
z z xy xy xe , ye , y x z 2 z 2 e , 2 e . ( 2 ,1 ) ( 2 ,1 ) x y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 ! xy , x2 y2 0 2 2 x y 反例: 函数 f ( x, y )
0,
易知 f x (0,0) f y (0,0) 0 但
x2 y2 0
x y
z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
注意到
0
x y
x y
2 2
| | | | 0 ,
, 故有
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y o( )
例5 解
计算 (1.04)2.02 的近似值. 设 f ( x, y) x y ,
取 x 1, y 2, Δx 0.04, Δy 0.02, 则
f x ( x, y ) yx
y 1
, f y ( x, y ) x ln x,
y
f (1,2) 1, f x (1,2) 2, f y (1,2) 0, (1.04) 2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
记
z f ( x0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 )( x x 0 ) f y ( x 0 , y0 )( y y0 ),
空间中的平面方程 平面过点 ( x 0 , y0 , f ( x 0 , y0 )),
法向量为n { f x ( x 0 , y0 ), f y ( x 0 , y0 ),1}.
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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由微分定义 :
x 0 y 0
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) y o( y )
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对x的偏微分 函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对y的偏微分
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
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z [ f x ( x, y ) ] x [ f y ( x , y ) ] y
f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
记 r , h 和 V 得增量依次为Δ r , Δ h和Δ v , 则有
ΔV dV Vr Δr VhΔh 2 π rhΔr π r 2Δh. 把 r 20, h 100, Δ r 0.05, Δ h 1 代入, 得
ΔV 2π 20 100 0.05 π 20 2 ( 1) 200 π(cm 3 ). 即此圆柱体在受压后体 积减少了200πcm 3 .
处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax By. 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
几何意义
如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y0 ) 处可微, 则曲面 z f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y0 , f ( x 0 , y0 )) 近旁的一小部分可 以用平面来近似, 这张平面就是曲面在该点的切平面.
全微分的几何意义 用切面立标的增量近似曲面立标的增量
例6
利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是
4π2l g 2 . 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为 T l 100 0.1cm , T 2 0.004s.问由于测定l与T的 误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少?
解
如果把测量l与T时所产生的误差当作Δ l 与Δ T ,
x
Q
四、全微分在近似计算中的应用
当 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 的两个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续, 且 x , y 都较小时, 有近似等式
z dz f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
( x) ( y )
2
2
x y ( x) 2 ( y ) 2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理2 (充分条件)
若函数
的偏导数
在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分. 证： z f ( x x, y y) f ( x, y)
复习一元函数微分
微分的几何意义
lim f ( x 0 ) x 0 y x
微分是函数的局部线性化
.
f (x)
N
(x )
tan
dy = f ( x 0 )x =tan x
在图上是哪条线段？
y
y
y dy (x )
当x很小时
dy
f ( x0 )
M

y dy
所以 dz e 2 dx 2e 2 dy .
例3 解
y 计算函数 u x sin e yz 的全微分. 2
u 1, x
u 1 y yz u ye yz , cos ze , z y 2 2
1 y yz yz 所以 du dx ( cos ze )dy ye dz . 2 2
z f ( x, y )
M ( x0 , y0 , z0 ) N ( x 0 x , y 0 y, z 0 z )
N z= f (x ,y)
( )
z
z =AN ：曲面立标的增量
过点M的切平面： f x ( x 0 , y 0 )( x x 0 ) f y ( x 0 , y 0 )( y y 0 ) 即： ( z z0 ) 0
M
z
B
z z0
dz
A
.
dz f x ( x 0 , y 0 )x f y ( x 0 , y 0 )y z z 0 =AB dz=AB : 切面立标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
0 P y
y
当x , y 很小时
z dz
所以函数
在点
可微.
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多元函数连续、可偏导 、可微的关系
重要关系:
函数连续 函数可微
函数可导
偏导数连续
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回头看全微分公式
z z dz x y x y z dx z x 称为函数关于 x 的偏微分. x z dy z y 称为函数关于 y 的偏微分. y
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ), f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
若 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可偏导,
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x o( x )
d z dx z dy z
这与物理中的叠加原理相符.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f ( x, y, z ) 的全微分为
du
u u u dx d y dz x y z
du d x u d y u d z u
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全微分的概念与计算
一、全微分的定义
二、全微分存在的条件 三、全微分的几何意义
四、全微分在近似计算中的应用
复习:一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x )
d y f ( x )x
可微
可导
一、全微分的定义
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对x和y的偏增量
或 f ( x x , y y ) f ( x , y ) f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
例4 有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径有20cm 增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm.求此圆 柱体体积变化的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r, h 和V,则有 2 V πr h.
x
.
.
用切线增量近似曲线增量
即：
o
x0
x 0 x
x
f ( x ) f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x
三、全微分的几何意义
设二元函数 z f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y0 ) 可微, 则在 点 ( x 0 , y0 ) 的某邻域内有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 )( x x 0 ) f y ( x 0 , y0 )( y y0 ), 那么 f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 )( x x 0 ) f y ( x 0 , y0 )( y y0 ),
z z , x y
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)]
f x ( x 1 x, y y) x f y ( x, y 2 y ) y ( 0 1 , 2 1 ) [ f x ( x, y) ] x [ f y ( x, y ) ] y
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 偏导数存在 函数可微
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(2) 偏导数连续
二、全微分存在的条件
1.必要条件
2. 充分条件
、可微的关系 3. 多元函数连续、可偏导
定理1(必要条件)
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 必存在,且有
则该函数在该点偏导数
z z d z x y x y 证: 由全增量公式 令 y 0, 得到对 x 的偏增量 f ( x x , y ) f ( x , y ) Ax o ( x ) z xz lim A x x 0 x z B , 因此有 同样可证 y