罗朗级数说明材料

第三讲、罗朗级数
1、双边幂级数 2、解析函数的罗朗展式 3、罗朗展式计算围线积分 4、练习与思考
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问题：若 f (z)在z a 的去心邻域解析，f (z)是否也有与
泰勒展式类似的展开结果？
1、双边幂级数
定义：称形如
cn (z z0 )n c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n
研究函数 f (z) 1 在z 0和z 1处的展开。 z(1 z)
函数 f (z) 1 在z 0 及z 1 都不解析，但在 z(1 z)
圆环域0 z 1及0 z 1 1内都是处处解析的。
先研究在圆环域：0 z 1内的情形。 我们有 f (z) 1 1 1 , z(1 z) z 1 z
注4、上面的定理给出了将一个在圆环域内解析的函 数展开成洛朗级数的一般方法。但这个方法往往比较麻
烦，通常采用间接展开法。另外洛朗级数的系数计算公
式 cn
1
2i
C
(
f
( )
z0 )n1
d
为计算围线积分提供了新
方法。
注5、泰勒展开式是洛朗展开式的特例。
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例2，试用直接展法和间接展法将f 内展成洛朗级数
1
在圆环域：
(z 1)(z 2)
i) 0 z 1; ii) 1 z 2; iii) 2 z ;
内是处处解析的。试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗
级数。
解: 先把 f (z)用部分分式来表示：
f (z) 1 1 . 1 z 2 z
i) 在0 z 1内,由于 z 1, 从而| z | 1.
1
[e z 2)!
]( n 2 )
z0
(n
1
2)!
所以
ez z2
1 z2
1 z
1 2!
z 3!
zn (n 2)!
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(间接展法) ez 1 z z2 zn n!
所以
ez z2
1 z2
1 z
1 2!
z 3!
zn (n 2)!
例3、函数 f (z) 1 2i 能在哪几个形如 r | z i | R
1)
1 48(1
z
)
z
4
1 4z
1 3z
1 3z2
1 (1 48
z 4
z2 16
).
由此可见
c1
1 4
1 3
1 12
,从而
c
z(
z
1 1)(
z
dz 4)
2i(
1) 12
i
6
.
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1
2) 函数 f (z) ze z 在1 z 内解析，z 2 在此圆环 1 z
域内，把它在此圆环域内展开得
这是一个一般的幂级数，存在一个收敛圆域，设为
| z z0 | R
另一个是负幂项部分：
cn(z
z0 )n
c1 ( z
z0 )1
cn ( z
z0 )n
n1
作变量代换 (z z0 )1
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则
cn
(z
z0
)n
cn
n
c1
cn n
n1
n1
级数 cn 也是正常幂级数，存在收敛圆域，设为
z(z i)
的环形区域内展成 z i的洛朗级数？
解：f (z) 分别以z 0和z -i 为奇点， 由定理 f (z)只能在如下区域展开 (如图所示) D1 :| z i | 1
D2 :1 | z i | 2 D3 : 2 | z i |
D3
i
D2 D1
0 -i
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例 4、函数 f (z)
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当 z 1时，有 1 1 z z2 zn , 1 z
所以 f (z) 1 z1 1 z z2 zn 。 z(1 z)
由此可见， f (z)在0 z 1 内也可以展开为级数的。 其次在圆环域：0 z 1 1内， 此时有 f (z) 1 1 [ 1 ]
1
f
(z)
ez (1
1)
(1
1 z
1 z2
...)(1
1 z
1 2! z 2
...)
z
(1
2 z
5 2z2
...).
故 c1 2, 从而
1
|z|
2
ze 1
z
dz z
2ic1
4i.
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思考与练习
1、 将下列函数按要求展成洛朗级数
1)
1
，
(z 1)(z 2)
分别在圆环0 | z 1 | 1,1 | z 2 | 2内展开。
2)、
|z|2
ze 1
z
dz. z
解 1)函数 f (z)
1
在圆环域1 z 4 内
z(z 1)(z 4)
处处解析，且 z 3 在此圆环域内。
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所以
原式 2ic1
而 f (z)在1 | z | 4 内
f
(z
)
1 4z
1 3(z
1)
1 1（2 z
4）
1 4z
1 3z(1
1 z2
)
1 (1 2
z 2
z2 4
)
1 zn
1 z n1
1 z
1 2
z 4
z2 8
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iii) 在2 z 内, | 2 | 1, 1 另行展开如下：
z
2 z
2
1
z
1 z
1
1
2
1 (1 z
2 z
22 z2
)
另外，| 1 | 1 所以 z
z
1
1
z
1 z
1
1
1
1 z
(1
1 z
的表达式为双边幂级数，其中cn(n 0,1,2,)及z0 均
为复常数，简记作 cn(z z0 )n 。
n
下面分析双边幂级数的收敛性：
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把双边幂级数
cn
(
z
z0
)n
分成两部分
n
一是正幂项(包括常数项)部分：
cn(z
z0 )n
c0
c1 ( z
z0 )
cn ( z
z0 )n
,
n0
1
(z 1)(z 2)
在z 0处是解析的。
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ii)
在1 | z | 2内，此时| 1 | 1,
z
1 另行展开 如下： 1 z
1
1
z
1 z
1
1
1
1 z
(1
1 z
1 z2
...)
z
且
2
1
z
1 2
1 1
z
1 (1 2
z 2
z2 22
zn 2n
).
2
所以
f
(z)
1 (1 z
1 z
n0
n1
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即：
cn
(
z
z0
)n
cn
(
z
z0
)n
cn ( z
z0
)n
n
n0
n1
由定义可知，只有当r R 时级数 cn(z z0 )n 才有收
n
敛域，收敛域为圆环：r | z z0 | R。
例1，讨论级数
n0
zn an
n1
bz nn的收敛性,
(a,
b为常数)。
解：
容易知道
n0
f (z) cn(z z0 )n ,
n
其中cn
1
2i
C
(
f
( )
z0 )n1
d
，称为函数
f
( z ) 在以z0
为中心的圆环域： R1 z z0 R2 内的洛朗展开式，
它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数。级
数中整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的 解析部分和主要部分。
z(1 z) 1 z 1 (1 z) 1 [1 (1 z) (1 z)2 (1 z)n ]
1 z (1 z)1 1 (1 z) (1 z)2 (1 z)n1
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从以上的讨论看来，函数 f (z) 1 是可以展开为 z(1 z)
级数的。
dz
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可求出围线积分
C
(
z
f
(z) z0 )n1
dz
2icn
特别
C f (z)dz 2ic1
其中C是任意在r | z z0 | R内绕z0
的简单正向闭曲线。(如图)
C
z0
| z z0 | r
例 6、 求下列各积分的值：
| z z0 | R
1
1)、
z 3
z(
z
1 1)(
z
dz; 4)
项，而且 z0 又是这些项的奇点，但是z0 可能是函数f (z)
的奇点，也可能不是 f (z)的奇点。
思考题：例4中f (z)在不同区域的洛朗展式不一样 这是否和洛朗展式的唯一性矛盾？
3、利用洛朗展式求围线积分
若已知 f (z)在r | z z0 | R的洛朗展式，则由
cn
1
2 i
C
(z
f (z) z0 )n1
所以
n1
cn
(z
z0
|
)n
| 1 r
在| z
| z z0 |
z0 | r r 内收敛,在|
z
z0
|
r
n1
内发散。
定义：
如果级数
cn
(
z
z0
)n
与
cn
(
z
z0
)n
都是收
n0
n1
敛的，那末我们称双边幂级数 cn (z z0 )n 收敛，并
n
把它看作是级数
cn ( z
z0
)n
与
cn
(z
z0
)n
的和。
2
所以
1 1 z z2 zn ,
1 z
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1 2
z
1 2
1 1
z
1 (1 2
z 2
z2 22
zn 2n
).
因此,我们有 2
f (z) (1 z z2 ) 1 (1 z z2 )
2 24
1 3 z 7 z2 。
24 8
结果中不含有z 的负幂项，原因在于 f (z)
zn an
收敛圆为|
z
||
a
|
，并且在|
z
| |
a
|
时发散。级数
n1
bn zn
(b)n
n1 z
在
|
b z
|
1时收敛，| bz
|
1
时发散，即| z | b时收敛，| z | b时发散。
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所以，当
|
b
||
a
|
时级数
n0
zn an
n1
bn zn
收敛。
收敛域为：| b || z || a |
(z)
ez z3
在0
|
z
|
解： (直接展开)
cn
1
2i
C
f z
(z)
n1
dz
1
2i
C
ez z n 3
dz
其中C 是圆环域内任意一条绕z 0 的简单闭曲线(如图)
当n 3时
ez z n 3
解析
cn
1
2i
C
ez z n 3
dz
0
y
C
当n 3时，由高阶导数公式
0
x
cn
1
2i
C
ez z n 3
dz
(n
1 z2
)
从而
z
f
(z)
1 (1 z
2 z
4 z2
)
1 z
(1
1 z
1 z2
)
1 z2
3 z3
7 z4
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1
例 5 把函数 f (z) z3e z 在0 z 内展开成洛朗级
数。
1
解：函数 f (z) z3e z 在0 z 内是处处解析的。
e z 在复平面内展开式是：ez 1 z z2 z3 zn ,
2! 3!
n!
而1 在0 z 解析，
z源自文库
所以
1
ez
1
1 z
z
1 2 2!
z
1 3 3!
1 z n n!
,
从而
1
z3e z
z3(1
1 z
1 2! z 2
1 3! z 3
1 4! z 4
)
z3 z2 z 1 1 2! 3! 4!z
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注 1、从以上的两例可以开出，一个函数 f (z)在以z0 为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有z z0 的负幂
注2、罗朗展式的唯一性，是指在相同的区域，展成同 一种形式，尽管方法不同，结果一致。
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注3、由定理可知，若 f (z) 的展开式的收敛圆环域为
r | z z0 | R，那么在内圆周| z z0 | r 上一定有f (z)
的奇点，在外圆周上或者也有 f (z) 的奇点，或者外圆周
的半径为无穷大。
当
|
b
||
a
|
时级数
n0
zn an
n1
bn zn
发散。
双边幂级数在收敛圆环内有着幂级数类似的分析性质：
定理 1：双边幂级数 cn(z z0 )n 的和函数在收敛圆环
n
r | z z0 | R内解析，并且可以逐项求导和逐项求积。
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2、解析函数的洛朗展式
有了双边幂级数的知识后，来回答前面提出的问题。 先看一个具体例子：
事实上确实是这样，我们有以下定理：
定理 2：设 f (z)在圆环域R1 z z0 R2 内处处解析，
那么
f (z)
cn
(
z
z0
)n
,
n
其中
cn
1
2i
C
(
f
( )
z0 )n1
d
.(n
0,1,2,...)
并且展式
唯一，这里C 为在圆环域内绕 z0 的任何一条正向简单
闭曲线。
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注1、公式
1
2)e1z ，
分别在0 | z | 1 和1 | z | 内展开。
2、用两种方法求积分
|z|
3
(
z
2)(z z(z 1)
3)dz
。
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