【最新推荐】2020高考数学(文科)专题复习通用版(跟踪检测) 专题1 不等式、函数与导数专题1 第4讲 Word

第一部分 专题一 第4讲

基础热身(建议用时：40分钟)

1．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．无数个

A 解析 函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1

x －2＝6x 2－2x ＋1x ，由于x >0，而g (x )

＝6x 2－2x ＋1＝0的Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上

单调递增，无极值点．故选A 项．

2．(2019·福建福州八县联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1

x

，则f (1)＝( ) A ．－e B ．2 C ．－2

D ．e

B 解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1

x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，

则f (1)＝2f ′(1)＝2.故选B 项．

3．(2019·广东广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1 C ．1－ln 2

D ．1＋ln 2

D 解析 由y ＝x ln x 知y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，x 0ln x 0)，则切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，因为切线y ＝kx －2过定点(0，－2)，所以－2－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，解得x 0＝2，故k ＝1＋ln 2.故选D 项．

4．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )

A ．f (a )

B ．f (a )

C ．f (1)

D ．f (b )

A 解析 由题意知f ′(x )＝e x ＋1>0恒成立，所以函数f (x )在R 上单调递增，而f (0)＝e 0

＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，所以函数f (x )的零点a ∈(0,1)；由题意知g ′(x )＝

1x ＋1>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g (x )的零点b ∈(1,2)．综上，可得0

5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )

x 2

<0恒成立，则

不等式x 2f (x )>0的解集是( )

A ．(－2,0)∪(2，＋∞)

B ．(－2,0)∪(0,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(0,2)

D 解析 当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2

<0，所以φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，所以当00，即f (x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，所以h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选D 项．

6．(2019·湘赣十四校联考)已知f (x )＝x ＋1，g (x )＝ln x ，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 2－x 1的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．2－ln 2

D ．2＋ln 2

B 解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，所以x 1＝t －1，x 2＝e t ，所以x 2－x 1＝e t －t ＋1.令h (t )＝e t －t ＋1，则h ′(t )＝e t －1，所以h (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (0)＝2.故选B 项．

7．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．

解析 因为f (x )＝x 2－ax ＋3，x ∈(0,1)，则f ′(x )＝2x －a ，依题意可知f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，故f ′(1)＝2－a ≤0，得a ≥2.因为g (x )＝x 2－a ln x ，x ∈(1,2)，则g ′(x )＝2x －a

x ，依

题意可知g ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，故g ′(1)＝2－a

1

≥0，得a ≤2，故a ＝2.

答案 2

8．(2019·河北石家庄模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点M (2，t )可作曲线y ＝f (x )的两条切线，且点M 不在函数f (x )的图象上，则实数t 的值为________．

解析 f (x )＝x 3－3x 的导函数为f ′(x )＝3x 2－3，假设过点M (2，t )的切线斜率为k ，则有k ＝3x 20－3＝

x 30－3x 0－t x 0－2

，可得2x 30－6x 20＋6＋t ＝0，因为过点M 有两条切线，即2x 30－6x 2

0＋6＋t

＝0有两个不相等的实数根，可令y ＝2x 3－6x 2＋6＋t ，则该函数恰好有两个零点，又y ′＝6x 2－12x ，由导函数的性质知函数的两个极值点为x 1＝0，x 2＝2，极值分别为y 1＝6＋t ，y 2＝t －2，当且仅当只有一个极值为零时，函数才刚好有两个零点，所以y 1＝6＋t ＝0或y 2＝t －2＝0，即t ＝－6或t ＝2，所以t 的值为－6或2.

答案 －6或2