求极限的几种方法毕业论文

浅谈求极限的几种方法

理学院 数学与应用数学 082本 陈梦思 指导老师 梅春亮

摘要：数学分析很多概念都离不开极限,而求数列或函数的极限,是数学学习中遇到的比较困难的问题.本文通过归纳和总结,从不同的方面罗列了它的几种求法.

关键词：数列极限,函数极限,柯西准则,洛必达法则,泰勒展式,迫敛法则

1 数列极限

1.1数列极限的(ε-N)定义

设{n a }为数列,a 为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数 N,使得当n>N 时有 ∣n a —a ∣<ε,则称数列{n a }收敛于a,定数a 称为数列{n a }的极限,并记作lim n n a →∞

=a,或

n a →a(n →∞).

如果数列没有极限,就说数列是发散的. 数列lim n n a →∞

=a 的几何解释：

将常数a 及数列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅在数轴上用它们对应的点表示出来,再在数轴上作点a 的ε领域即开区间（a-ε,a+ε）如图

a ε- 2ε a ε+

因不等式∣n a a -∣ε<与不等式n a a a εε-<<+等价,所以,当n>N 时,所有的点n a ,即无限多个点 123,,,N N N a a a +++…都落在开区间（a-ε,a+ε）内,而只有有限个点（至多只有N 个）在这区间以外.

注1 上面定义中正数ε可以任意给定是很重要的,因为只有这样,不等式∣n a —a ∣<ε才能表达出n a 与a 无限接近的意思.

注2 定义中的正整数N 是与任意给定的正数ε有关的,它随着ε的给定而选定.

1.2利用定义求极限

例1 试证：lim

1

n n

n →∞+=1.

证明：对ε∀＞0,由不等式∣

1n n +—1∣=11n +<ε成立,解得n ＞1ε

—1,可取 N=[1ε—1]+1.于是,对ε∀＞0,∃N=[1

ε—1]+1,当n ＞N 时,

有∣1n n +—1∣<ε,即lim 1

n n n →∞+=1.

总结：像例1这类简单的极限问题,可以分为两个步骤:

第一步,寻找N ：ε∀〉0,求出使∣n a -a ∣<ε成立的n 所要满足的条件; 第二步：取出N. 例2 证明: 1

lim !

n n →∞=0. 证：

1!

n =1(1)(2)1n n n --≤1

n ,

令

1n ε〈,即1n ε

〉, 存在N=[

1ε],当n>N 时,不等式1!

n =1(1)(2)1n n n --≤1

n <ε成立,

所以1

lim

!

n n →∞=0. 总结：像例2这类题目利用适当放大法,可以分为三个步骤:

第一步：将∣n a -a ∣做适当放大成g(n),即对一切n,有∣n a -a ∣< g(n)成立; 第二步：寻找N （ε）：ε∀〉0,寻求使g(n) <ε成立时n 所要满足的条件; 第三步：取出N.

1.3利用单调有界原理求极限

【单调有界定理】 若数列{an}递增（递减）有上界（下界）,则数列{an}收敛,即单调有界数列必有极限.

例3 设a ＞0,0x ＞0,1n x + =12

(n x +n a

x ),n=0,1,2,…证明数列{n x }的极限存在，并

求之.

证明：易见n x ＞0,n=0,1,2…,所以有 1n x +=

1

2（n x +n a x

,

1n x +=12（n x +n a x ）≤12（n x +2

n n

x x ）=n x ,

即数列{n x }单调递减有下界,极限存在.记lim n x x →∞

=A,对关系式1n x +=（n x +

n

a

x ）, 令n →∞取极限得到

因不合题意,舍去）.

总结：这种类型的题目一般给出数列的第n 项和n+1项的关系式,先运用归纳法等方法,证明其单调性和有界性.由单调有界原理得出极限的存在性,然后对关系式取极值.

1.4 利用两边夹定理

我们来分析如下问题：设{n a },{n b }和{n c }都是实数序列,它们满足不等式

n n n a c b ≤≤,n N ∀∈.如果{n a },{n b }都是收敛序列,它们的极限都是a:

lim lim n n n n a b a →∞

→∞

==,那么关于序列{n c }的收敛性有什么样的结论呢？

我们来考虑a 的任意一个ε领域(a-ε,a+ε).从某一项之后,n a 和n b 都应落在a 的这一领域之中,这时夹在n a 和n b 之间的n c 自然也必须落在这一领域之中.从这一分析出发,我们得到了一下定理的证明.

【两边夹定理】设收敛数列{n a },{n b }都以a 为极限,数列{n c }满足：存在正数0N ,当 n ＞0N 时有n n n a c b ≤≤,则数列{n c }收敛,且lim n n c →∞

=a.

证明定理成立：任给ε>0,由lim lim n n n n a b a →∞

→∞

==,分别存在正数1N 与2N ,使得

当n>1N 时有a —ε2N 时有n b a ε<+,存在0N ,当n>0N 时有n n n a c b ≤≤, 取N=max{0N ,1N ,2N },当n>N 时,有a —ε

例4 求13(21)

lim

24(2)

n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.