2008年考研数学二真题及参考答案

2008年考研数学二真题及参考答案

一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2

()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D).

【详解】3

2

2

()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-．

令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).

(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0

()a

xf x dx '?

在几何上

表示【 】．

(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】

'0

()()()()a

a a

xf x dx xdf x af a f x dx ==-?

??，

其中()af a 是矩形面积，0

()a

f x dx ?

为曲边梯形的面积，所以'

()a

xf x dx ?为曲边三角形ACD

的面积．故应选(C).

(3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x

y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通

解的是【 】．

(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.

(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).

【详解】由123cos 2sin 2x

y C e C x C x =++，可知其特征根为

11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为

2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+

3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+-

所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).

(4) 判定函数ln ()|1|

x

f x x =

-，(0)x >间断点的情况【 】．

(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点． (C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点. 【答案】 应选(A).

(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．

(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).

【详解】若若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).

(6)设函数()f x 连续，2

2

1x y +=，2

2

2

,1x y u u +=>

，若22(,)D

F u v =

，

则

F

u

?=?【 】

． (A) 2

()vf u (B) ()vf u (C)

2()v f u u (D) ()v

f u u

【答案】 应选(A).

【详解】利用极坐标，得

22220

1

1()

(,)()v u

u D

f r F u v dv rdr v f r dr

r

===??

?，所以

F

u

?=?2()vf u ．故应选(A). (7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若3

0A =，则下列结论正确的是【 】． (A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.

(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).

【详解】2

3

()()E A E A A E A E -++=-=，2

3

()()E A E A A E A E +-+=+=．

故E A -，E A +均可逆．故应选(C).

(8) 设1221A ??

= ???

，则在实数域上，与A 合同矩阵为【 】

． (A) 2112-??

?-?? . (B)

2112-?? ?-??. (C) 2112?? ???. (D) 1221-?? ?-??

.

【答案】 应选(D). 【详解】

221

2

(1)423(1)(3)02

1

E A λλλλλλλλ---=

=--=--=+-=--

则121,3λλ=-=，记1221D -??

=

?-??

，则

221

2

(1)423(1)(3)02

1

E D λλλλλλλλ--=

=--=--=+-=-

则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.

二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) (9)已知函数()f x 连续，且01cos[()]

lim 1(1)()

x x xf x e f x →-=-，则(0)f =

【答案】 应填2．

(10)微分方程2()0x

y x e dx xdy -+-=的通解是 . 【答案】 应填()x

y x C e -=-．

(11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+． 【详解】

(12)曲线23

(5)y x x =-的拐点坐标为 . 【答案】 (1,6)--． 【详解】 (13)设x y

y z x ??

=

???，则(1,2)

z x ?=? . 【答案】

21)2

-． (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．

三、解答题(15－23小题，共94分)．

(15)(本题满分9分) 求极限[]4

sin sin(sin )sin lim

x x x x x →-．

【详解1】[]4

sin sin(sin )sin lim

x x x x

x →-[]3

sin sin(sin )lim

x x x x →-=

＝20cos cos(sin )cos lim

3x x x x x →-2

01cos(sin )

lim

3x x x →-= 0sin(sin )cos lim

6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x →=，或22

2

01sin (sin )2lim 3x x o x x →+=) 16

=． 【详解2】[]40

sin sin(sin )sin lim

x x x x x →-[]40

sin sin(sin )sin lim sin x x x x x

→-=

＝30sin lim t t t t →-201cos lim 3t t t →-=2

202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16

=． (16)(本题满分10分)

设函数()y y x =由参数方程2

0()ln(1)t x x t y u du =??

?=+??

?确定，其中()x x t =是初值问题0

20

x

t dx te dt

x -=?-=???=?的解，求22d y dx ． 【详解1】由

20x dx

te dt

--=得 2x e dx tdt =，积分得2x e t C =+．

由条件00t x ==，得1C =，即2

1x e t =+， 故 2

ln(1)x t =+．

方程组2

20ln(1)ln(1)t x t y u du ?=+??=+??

?两端同时对t 求导得 2

2212ln(1)dx t dt t dy t t dt

?=??+?

?=+??． 所以22(1)ln(1)dy dy dt t t dx

dx dt

==++，

从而22

22

22(1)ln(1)(1)ln(1)d t t d t t d y dt

dx dx dx

dt

??++??

??++??=

=

2222

2ln(1)2(1)[ln(1)1]21t t t t t t t ++==++++．

17（本题满分9分

）计算

21

?

．

【详解1】

由于21

lim x -

→=+∞

，故21

?

是反常积分．

令arcsin x t =，有sin x t =，[0,

)2

t π

∈．

21

22

20

0cos 2sin ()22

t t

t tdt dt ππ

==-?

??

22

20

01

sin 24

4t td t π

π

=-?2

220

sin 21sin 21644t t tdt ππ

π=-+? 2

20

1cos 2168t π

π

=-21

164π=+． 【详解2】

21

122

01(arcsin )2

x d x =

?

?

212

2200

1(arcsin )(arcsin )2x x x x dx π

=

-?

2

1

20

(arcsin )8

x x dx π=

-?

令arcsin x t =，有sin x t =，[0,

)2

t π

∈．

1

2

2

2001(arcsin )sin 22x x dx t tdt π=??

22

200

1(cos 22cos 2)4t t t tdt π

π

=--?

2

1

16

4

π=

-

，

所以

22

1

1164

π=

+?

． (18)(本题满分11分) 计算

max{,1}D

xy dxdy ??，其中{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤．

【详解】将区域D 分成如图所示得两个子区域12,D D 和3D ．于是

1

2

3

max{,1}max{,1}max{,1}max{,1}D

D D D xy dxdy xy dxdy xy dxdy xy dxdy =++????????

1

2

3

11D D D xydxdy dxdy dxdy =++??????1122

22

21110

2

2

x x

dx xydy dx dy dx dy =++??????

1519ln 212ln 2ln 244

=

-++=+． (19)(本题满分11分)

设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =．对任意的

[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周

生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式． 【详解】根据题意，因为

旋转体体积2

()t

V f x dx π

=?

，侧面积0

2(t

S f x π=?．

所以 20

2()2(t

t f x dx f x ππ=??．

上式两边同时对t 求导得

2()(f t f t =

解得 1ln(y t C =+，t y Ce +=．

由(0)1y =，得1C =．

所以 t y e = 或 1

()()2

t t y f x e e -==+．

(20)(本题满分11分) (I)

证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得

()()()b

a

f x dx f b a η=-?

；

(II)

若函数()x ?具有二阶导数，且满足(2)(1)??>，32

(2)()x dx ??>?

，则至少存在

一点(1,3)ξ∈，使得()0?ξ''<．

【证法1】若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则必存在最大值M 和最小值m ．即

()m f x M ≤≤，[,]x a b ∈

于是有

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-?．

即

1

()b a m f x dx M b a

≤

≤-? 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点[,]a b η∈，使得

1

()()b a f f x dx b a

η=

-? 因此而的证．

（II ）存在[2,3]η∈，使得

32

()()x dx ??η=?

．

由3

2

(2)()()x dx ???η>=?，知(2,3]η∈．

由(2)(1)??>，利用微分中值定理，存在1(1,2)ξ∈，使得

1(2)(1)

()021

???ξ-'=

>-．

由(2)()??η>，利用微分中值定理，存在2(2,)ξη∈，使得

2()(2)

()02

?η??ξη-'=

<-．

存在存在12(,)(1,3)ξξξ∈?，使得

2121

()()

()0?ξ?ξ?ξξξ''-''=

<-．

（21）(本题满分11分)

求函数222

u x y z =++在约束条件2

2

z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值． 【详解1】作拉格朗日函数

22222(,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμ=++++-+++-．

令

22

22022020040x

y z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ?'=++=??'=++=??'

=-+=??+-=??++-=??

解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6．

【详解2】由题意知，4422222u x y x y x y =++++在条件22

4x y x y +++=下的最值．

令3232

22442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y x y x y λλ?'=++++=??'=++++=??+-++=??

2222022020040x

y z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ?'=++=??'=++=??'

=-+=??+-=?

?++-=??

解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6．

(22) (本题满分12分)．

设n 元线性方程组Ax b =，其中

2

222212121

212a a a a a A a a a a ?? ?

?

?=

? ?

? ? ??

?

，12n x x x x ?? ? ?= ? ???，12n b b

b b ?? ? ?= ? ?

??．

（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；

（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．

【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2

2

2

2

212121||2

12n n

a a a a a

D A a a a a ==

以下用数学归纳法证明(1)n

n D n a =+．

当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2

22

2132a D a a a

=

=，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得

2

2

12

2

1

21212122

12n n n a a a a a

D aD a a a a --=-

2122n n aD a D --=-

1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+

故 (1)n

A n a =+．

【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --=

=-得，

2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-=

=-=．于是(1)n n D n a =+

（I ）【证法2】消元法．记2

2

2

2

212

121||212n

a a a a a

A a a a a =

221

2

2

213

12

1212

212n

a a a a

r ar a a a a -

32

22

22130

124

123

3

2121

2n

a

a a r ar a a

a a a a -

=

21

213

12

21

10

111

n n n

a a a

a

n r ar n

n a n n a n ----+

(1)n n a =+．

（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为

2

2

2

112

2

2

2

1

11

21021212121212122n n n

n a a

a a a a

a a

D na a a a a a a a a ---=

==

所以，11(1)n n D a

x D n a

-=

=+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为

12101101001000n n x x x x -?????? ?

? ? ? ? ?

? ? ?=

? ? ? ? ? ? ? ? ?????

?? 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为

()()01

010

0T

T

x k =+，其中k 为任意常数．

(23) (本题满分10分)

设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足

321A ααα=+，

(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1

P AP -．

【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．

由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此

130k k ==，从而有20k =．

故 123,,ααα线性无关．

（II ）由题意，100011001AP P -?? ?

= ? ???

．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)

P ααα=可逆．故

1100011001P AP --??

?

= ? ???

．