同济大学(高等数学)-第十章-重积分

第十章重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数

f x 在区间a,b 上的定积分，

并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形， 便得到重积分的概念.本

章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用

第1节二重积分的概念与性质

1.1二重积分的概念

F 面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义 1.1.1.曲顶柱体的体积

曲顶柱体 是指这样的立体，它的底是 xOy 平面上的一个有界闭区域 D ，其侧面是以D 的

边界为准线的母线平行于 z 轴的柱面，其顶部是在区域

D 上的连续函数 z f x,y ，且

现在讨论如何求曲顶柱体的体积

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的 .可以用与定积分类似的方法 （即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图 10— 2）.

（1）分割闭区域D 为n 个小闭区域

1

， 2，L ， n ,

f x, y

0所表示的曲面（图 10— 1

)

图 10—1

图 10—2

同时也用A ^表示第i 个小闭区域的面积，用 d A CT 表示区域 A °的直径(一个闭区域的直径

是指闭区域上任意两点间距离的最大值)

，相应地此曲顶柱体被分为 n 个小曲顶柱体.

(2) 在每个小闭区域上任取一点

E ， n ， E ， n ， L , 旨，n

对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为 f ( E, n )而底为A i (y 的平顶柱体的体积来近似代替

.

(3) 这n 个平顶柱体的体积之和

n

f (

i , i ) i

i 1

就是曲顶柱体体积的近似值 •

⑷用X 表示n 个小闭区域 A 0的直径的最大值，即 入m i axd A 0 •当入0

(可理解为 A °

收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：

n

V lim 0

f( i , i ) i .

i 1

1.1.2平面薄片的质量

设薄片在xOy 平面占有 平面闭 区域D ，它在点(x , y)处的面密 度是p P x,y).设 (x, y) 0且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3).

图 10-3

先分割闭区域D 为n 个小闭区域 1， 2

丄， n

在每个小闭区域上任取一点

E , n ， E , n ， L , E , n

近似地，以点(E ，n )处的面密度p E , n )代替小闭区域 A 0上各点处的面密度，则得到第 i

块小薄片的质量的近似值为

p E , n ) A 0，于是整个薄片质量的近似值是

n

(

i , i )

i

i 1

用入maxd A 莎表示n 个小闭区域 A 0的直径的最大值，当 D 无限细分，即当 入0时，

1 i n

上述和式的极限就是薄片的质量 M ，即

n

M lim 0

p E , n )A r.

X 0 i 1

以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限

.抽象出来

就得到下述二重积分的定义 .

定义1设D 是xOy 平面上的有界闭区域，二元函数

z f(x,y)在D 上有界.将D 分为n

个小区域

同时用A jO表示该小区域的面积，记 A jO的直径为d ，并令入rTi axd △ 0 .

在A i吐任取一点(E, n), (i 1,2, L , n)，作乘积

f E , n A q-

并作和式

n

S n f(E,n) A q-.

i 1

若入0时，S n的极限存在(它不依赖于D的分法及点(乍，n)的取法)，则称这个极限值为函数z

f(x,y)在D上的二重积分，记作f (x, y)d ，即

D

n

f (x,y)d lim0 f ( i, i)A i , (10-1-1)

i 1

D

其中D叫做积分区域，f(x,y)叫做被积函数，d q叫做面积元素，f (x , y)d q叫做被积表达n

式，x与y叫做积分变量， f (E, n) Aq-叫做积分和.

i 1

在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线(y=常数和X=常数)把区域D分割成

小矩形，它的边长是x和A y，从而A q A x Ay，因此在直角坐标系中的面积元素可写成

d dx dy，二重积分也可记作

n

f (x,y)dxdy li叫f( i, J i .

D i 1

有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示•曲顶柱体的体积V是函

数z f (x, y)在区域D上的二重积分

f(x, y)d ;

V

D

薄片的质量M是面密度p p x, y)在区域D上的—重积分

M(x, y)d .

D

因为总可以把被积函数z f (x , y)看作空间的一曲面，所以当f(x,y)为正时，二重积分的

几何意义就是曲顶柱体的体积；当f(x,y)为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲

顶柱体体积的负值•如果f (x,y)在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和

如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称f(x,y)在D上可积•什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.

如果f (x , y)是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则 f (x , y)在D上可积•

我们总假定z f (x, y)在闭区域D上连续，所以f (x, y)在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明•

1.1.3 二重积分的性质

设二元函数f(x,y), g(x,y)在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积

分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.