高考数学谈谈三次曲线的切线问题

谈谈三次曲线的切线问题

1 关于三次曲线切线的四道高考题

题1 (2014年高考北京卷文科第20题)已知函数x x x f 32)(3-=．

(1)求)(x f 在区间]1,2[-上的最大值；

(2)若过点),1(t P 存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围；

(3)问过点)2,0(),10,2(),2,1(C B A -分别存在几条直线与曲线)(x f y =相切？只需写出结论．

解 36)(2-='x x f ．

(1)用导数可求得：当且仅当2

2

-

=x 时，)(x f 在区间]1,2[-上取最大值且最大值是2． (2)当点P 在曲线)(x f y =上即1-=t 时：

又当点)1,1(-P 是切点时，曲线)(x f y =过点P 的切线是1条．

又当点)1,1(-P 不是切点时，可设切点为)1)(32,(3

≠-P P P P x x x x ，得

)1(361

1322

3

≠-=-+-P P P P P x x x x x

2

1-=P x

所以此时过点P 的切线是1条．

得过点P 存在2条直线与曲线)(x f y =相切，不合题意．

所以1-≠t ，即点P 不在曲线)(x f y =上．可设切点为)32,(3

P

P P x x x '-''，得 3613223

-'=-'-'-'P

P P

P x x t x x 03642

3

=++'-'t x x P

P 题意即这个一元三次方程有三个实根．

设364)(2

3++'-'='t x x x g P P P ，得)1(12)(-''=''P

P P x x x g ，所以题意即 ⎩

⎨

⎧<+=='>+=='01g(1))(03g(0))(t x g t x g P P 极小值极大值

13-<<-t

所以所求t 的取值范围是)1,3(--．

(3)①因为点)2,1(-A 不在曲线)(x f y =上，所以可设切点为)32,(3

A A A x x x -，得

361

2322

3

-=+--A A A A x x x x

01642

3=-+A A x x

2

1

-

=A x 或231±-=A x

所以可得过点A 存在3条直线与曲线)(x f y =相切．

②因为点)10,2(B 在曲线)(x f y =上，所以点B 可以是切点也可以不是切点． 当点B 是切点时，曲线)(x f y =过点B 的切线是1条．

当点B 不是切点时，可设切点为)2)(32,(3

≠-B B B B x x x x ，得

)2(362

10322

3

≠-=---B B B B B x x x x x

1-=B x

所以此时过点B 的切线是1条．

得过点B 存在2条直线与曲线)(x f y =相切．

③因为点)2,0(C 不在曲线)(x f y =上，所以可设切点为)32,(3

C C C x x x -，得

362322

3

-=--C C

C C x x x x

3420C x +=

3

2

1-=C x 所以可得过点C 存在1条直线与曲线)(x f y =相切．

题 2 (2010年高考湖北卷文科第21题)设函数c bx x a x x f ++-=

2

32

31)(，其中0>a ，曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为1=y ．

(1)确定c b ,的值；

(2)设曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 及))(,(22x f x 处的切线都过点)2,0(，证明：当

21x x ≠时，)()(21x f x f '≠'．

(3)若过点)2,0(可作曲线)(x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围． 答案 (1)1,0==c b ；(2)略；(3)),32(3+∞⋅．

题3 (2007年高考全国卷II 理科第22题)已知函数x x x f -=3

)(． (1)求曲线)(x f y =在点))(,(t f t M 处的切线方程；

(2)设0>a ，如果过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，证明：)(a f b a <<-． 答案 (1)3

2

2)13(t x t y --=；(2)略．

题4 (2004年高考重庆卷文科第15题)已知曲线3

4313+=x y ，则过点)4,2(P 的切线

方程为 ．

答案 044=--y x 和02=+-y x ． 2 关于三次曲线切线的结论

定理1 过已知点),(00y x M 可作已知的三次曲线)(x f y =切线的条数即关于t 的一元三次方程

0)()()()(00=-'-+=y t f t x t f t g ① 的相异实数解的个数．

证明 设切点为))(,(t f t ,得切线方程为

))(()(:0t x t f t f y l -'=-

由0l M ∈,得

))(()(00t x t f t f y -'=-

此即方程①，从而可得定理8成立．

引理

2

[1]

设∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(2

3；R )，方程

023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=∆，则

(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0>∆⇔且)(x f 的两个极值异号；

(2)方程0)(=x f 有一个二重根和一个一重根0>∆⇔且)(x f 有一个极值为0； (3)方程0)(=x f 有三重实根0=∆⇔且d a b 2

3

27=；

(4)方程0)(=x f 有一个实根和两个共轭虚根⇔除(1),(2),(3)之外的所有情形． 引理

3 设

∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(23；R )，方程

023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=∆(当0>∆时,设)(/x f =0的两根为

21,x x )，则方程0)(=x f 相异实根个数的情形是：

(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0)()(021<⋅>∆⇔x f x f 且；